CÁLCULO I 1 Propriedades da Integral De nida 2 Teorema

CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aulas no 21: Integral de Riemann - Parte 2
Objetivos da Aula
• Apresentar as propriedades elementares da integral denida;
• Apresentar o Teorema Fundamental do Cálculo.
1 Propriedades da Integral Denida
Teorema 1.
∫
1.
a
Sejam f e g uma função contínua em [a, b] e c uma constante real.
∫
f (x) dx
b
∫
2.
b
f (x) dx = −
a
a
f (x) dx = 0
a
∫
3.
b
c dx = c(b − a)
a
∫
4.
∫
b
[f (x) + g(x)] dx =
a
∫
5.
∫
b
g(x) dx
a
b
f (x) dx
a
a
6.
b
f (x) dx +
a
c.f (x) dx = c.
∫
∫
b
∫
b
f (x) dx =
a
∫
c
f (x) dx +
a
b
f (x) dx, com c ∈ (a, b)
c
∫
7. Se f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], então
b
f (x) dx ≥ 0
a
8. Se f (x) ≥ g(x), então a função h(x) = f (x) − g(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b]. Logo, pelas
propriedades 5), 6) e 7), temos:
∫
b
∫
f (x) dx ≥
a
b
g(x) dx.
a
2 Teorema Fundamental do Cálculo
O Teorema a seguir relaciona a integral indenida (primitiva) com a integral denida no intervalo [a, b].
Teorema 2
denida por
(Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1). Se f for contínua em [a, b], então a função g é
∫
g(x) =
é contínua em [a, b] e derivável em (a, b) e
Exemplo 1.
x
f (t) dt
a
′
g (x)
a≤x≤b
= f (x).
∫ x√
Encontre a derivada da função g(x) =
1 + t2 dt.
0
1
Cálculo I
Solução:
Aulas n
Uma vez que f (t) =
Exemplo 2.
Solução:
Encontre
d
dx
∫
o
21
√
1 + t2 é contínua, a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo fornece
√
g ′ (x) = 1 + x2 .
x4
sec(t) dt.
1
Seja u = x4 , temos
d
dx
∫
∫ u
d
sec(t) dt
dx 1
[∫ u
]
d
du
sec(t) dt
du 1
dx
du
sec(u)
dx
3
4x sec(x4 ).
x4
sec(t) dt =
1
=
=
=
Exemplo 3.
Se
∫
x2
xsen(πx) =
f (t) dt,
0
onde f é uma função contínua, calcule f (4).
Solução:
Derivando ambos os membros, temos:
d
[xsen(πx)] =
dx
d
dx
[∫
]
x2
f (t) dt
0
sen(πx) − πx cos(πx) = 2xf (x2 )
Para x = 2, temos:
π
sen(πx) − πx cos(πx) = 2xf (x2 ) ⇒ sen(2π) − 2π cos(2π) = 4f (4) ⇒ f (4) = − .
2
Teorema 3
(Teorema Fundamental do Cálculo-Parte 2). Se f for contínua em [a, b], então
∫
b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F ′ = f .
Exemplo 4.
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule
∫
b
x dx.
a
Solução:
Pelo TFC, temos
∫
b
x dx = F (b) − F (a),
a
∫
onde F é uma primitiva de f (x) = x, ou seja, F (x) =
∫
a
b
[
x2
x dx =
2
x dx =
]b
=
a
x2
+ C . Assim
2
b2 a2
− .
2
2
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2
Cálculo I
Aulas n
Exemplo 5.
Calcule
∫
o
21
3
(x + 3) dx.
0
Solução:
Pelo TFC, temos
∫
0
3
[
]3
x2
(x + 3) dx =
+ 3x
2
( 2
)0 ( 2
)
0
3
+9 −
+0
=
2
2
27
=
.
2
Exemplo 6.
Calcule:
∫
6
3
Solução:
1
dx.
x
Pelo TFC, temos:
∫
6
3
1
dx = ln(x)|63
x
= ln(6) − ln(3)
( )
6
= ln
3
= ln(2).
Exemplo 7.
Calcule
∫
2π
cos θ dθ.
π
Solução:
Pelo TFC, temos:
∫
2π
cos θ dθ =
π
−senθ|2π
π
= −sen2π + senπ
= 0.
Exemplo 8.
Calcule:
∫
1
Solução:
2
v 3 + 3v 6
dv.
v4
Pelo TFC, temos:
∫
1
2
v 3 + 3v 6
dv =
v4
=
∫
2
1
+ 3v 2 dv
v
1
2
v 3 2
ln(x)|1 + 3 3
1
= ln(2) + 7.
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3
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Aulas n
Exemplo 9.
Calcule:
∫
o
21
3
(|x| + 1) dx.
−1
Solução:
Note que:
{
x + 1, se x ≥ 0
−x + 1, se x < 0
|x| + 1 =
Usaremos a propriedade 6) para calcular a integral:
∫
∫
3
∫
0
(|x| + 1) dx =
−1
3
(−x + 1) dx +
−1
(x + 1) dx
0
0
3
x2
x2
= − + 1 +
+ x
2
2
−1
0
= 9.
Exemplo 10.
Calcule
∫
1
|sen(πx)| dx.
−1
Solução:
Observamos que sen(πx) ≥ 0 se 0 ≤ x ≤ 1 e sen(πx) ≤ 0 se −1 ≤ x ≤ 0. Segue que:
∫
1
−1
∫
|sen(πx)| dx =
∫
0
−1
−sen(πx) dx +
1
sen(πx) dx
0
cos(πx) 0
cos(πx) 1
−
π −1
π 0
4
.
π
=
=
Exemplo 11.
Calcule:
∫
8
√
3
x(x − 1) dx.
0
Solução:
Temos que:
∫
8
∫ 8
√
√
3
3
x x dx −
x dx
0
0
∫ 8
∫ 8
4
1
=
x 3 dx −
x 3 dx
0
0
4 8
7 8
3x 3 3x 3 =
−
7 4 √
3
x(x − 1) dx =
0
∫
8
0
=
0
300
.
7
Exemplo 12.
Calcule
∫
π
f (x) dx,
−π
onde
{
f (x) =
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sen(x), se x ≤ 0
1 − cos(x), se x > 0
4
Cálculo I
Solução:
Aulas n
o
21
Temos que:
∫
∫
π
0
f (x) dx =
−π
−π
∫ 0
=
−π
=
∫
sen(x) dx +
π
1 − cos(x) dx
0
∫
sen(x) dx +
− cos(x)|0−π +
π
∫
1 dx −
0
π
x|0 −
π
cos(x) dx
0
π
sen(x)|0
= − cos(0) + cos(−π) + π − sen(π) + sen(0)
= −2 + π.
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 350 − 356 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das páginas 357 − 359 do livro texto.
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