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Mecânica dos Sólidos I
Lista de Exercícios III
Tensões , Deformações e Relações Constitutivas.
1. Inverta a relação tensão deformação para materiais elásticos , lineares e isotrópicos para
obter a relação em termos de deformação.
1
1
1
εz =
σy =
)
ε xy =
(
)
ε xz =
(
)
ε yz =
⋅σ − ν ⋅ σ x + σ z
E  y
εy =
σx =
(
⋅σ − ν ⋅ σ y + σ z
E  x
εx =
E
⋅σ z − ν ⋅ σ y + σ x

σ xy
2G
σ xz
2G
σ yz
2G
⋅ ( 1 − ν ) ⋅ ε x + ν ⋅ ( ε y + ε z) 

(ν + 1)⋅ ( 1 − 2⋅ ν ) 
E
E
(ν + 1)⋅ (1 − 2⋅ ν
σz =
(
⋅ (1 − ν )⋅ ε y + ν ⋅ ε z + ε x
) 
σ xy = 2G⋅ ε xy
σ xz = 2G⋅ ε xz
)
⋅ (1 − ν )⋅ ε z + ν ⋅ (ε y + ε x)

( ν + 1) ⋅ (1 − 2⋅ ν ) 
E
σ yz = 2G⋅ ε yz
2 - Particularize as relações constitutivas acima mencionadas para os casos de estado
de tensão e estado plano de deformação.
Estado Plano de tensão
εx =
εy =
1
E
σ xz = σ zx = σ yz = σ zy = 0
σ xy
(
)
ε xy =
(
)
ε xz = 0
⋅ σ x − ν ⋅σ y
E
1
σz = 0
⋅ σ y − ν ⋅σ x
ν
εz = − ⋅ σy + σx
E
(
)
2G
ε yz = 0
σx =
E
(
⋅ ε x + ν ⋅ε y
2
(1 − ν )
σy =
)
E
(1 − ν )
2
(
⋅ ε y + ν ⋅ε x
)
σ xy = 2G⋅ ε xy
Estado Plano de deformação
(1 + ν )
εx =
E
(1 + ν )
εy =
σx =
σy =
E
⋅ ( 1 − ν ) ⋅ σ x − ν ⋅ σ y


ε xy =
⋅ ( 1 − ν ) ⋅ σ y − ν ⋅ σ x

ε xz = ε zx = ε yz = ε zy = 0
σ xy
2G

E
⋅ ( 1 − ν ) ⋅ ε x + ν ⋅ ε y

) 
σ xy = 2G⋅ ε xy
E
⋅ ( 1 − ν ) ⋅ ε y + ν ⋅ ε x

) 
σ xz = 0
(ν + 1)⋅ (1 − 2⋅ ν
(ν + 1)⋅ (1 − 2⋅ ν
σz =
εz = 0
ν ⋅E
( ν + 1) ⋅ (1 − 2⋅ ν )
(
⋅ εy + εx
σ yz = 0
)
3-A placa plana mostrada na figura é carregada no plano xy . Sabendo-se que:
σx=145 MN/m2
σ xy= 42 MN/m2 e
εz=-3.6 x 10-4
z
determinar o valor de σy.
9
GPa := 10 Pa
Considerando :
x
6
MN := 10 N
E := 210GPa
−6
µ := 10
ν := 0.3
y
6
MPa := 10 Pa
σ x := 145MPa
−4
ε z := −3.6⋅ 10
ν
εz = − ⋅ σy + σx
E
(
Placa em estado plano de tensão :
σ y := − σ x + ε z⋅
ν
− ⋅ σy + σx = εz
E
(
)

)
E

σ y = 107 MPa
ν
4. Uma força F é aplicada uniformemente nos lados de uma placa quadrada, de tal forma
que , em duas faces opostas, tem-se tração e, nas duas outras faces opostas, compressão.
Em quais planos da placa não ocorrerá tensão normal ? Qual é a tensão de cisalhamento
em tais faces ?
σx =
F
F
F
1
1
−F
A
c := 0
a=
F
A
A
Face sem tensão normal a 450 de X e a -45 0 de X.
0
1
σ y :=
σ xy = 0
F
Y
F
A
B
1
X
σ AB =
−F
A
5
Uma barra de metal se encaixa entre dois suportes rígidos, à temperatura
ambiente (21ºC), como se vê na figura. Calcular as tensões normal e de
cisalhamento na seção inclinada, quando a temperatura aumenta para 95ºC.
Admitir α = 3.6 x 10-6 por ºC e E=21 x 103 kgf/mm2.
60º
E := 21000
kgf
−6
α := 3.6⋅ 10
2
∆t := 95 − 21
mm
Barra : estado uniaxial de tensão, ou seja, a única tensão não nula é a tensão σx.
Cinemática :
σ x = −5.59
ε x := 0
=>
σx
E
+ α∆t = 0
σ x := −( E⋅ α ⋅ ∆t)
kgf
2
mm
No plano inclinado
θ := 30deg
σx
σx
σ n :=
+
⋅ cos( 2 ⋅ θ )
2
2
σ ns := −
σx
2
⋅ sin( 2 ⋅ θ )
σ n = −4.2
kgf
2
mm
σ ns = 2.42
kgf
2
mm
6 Uma barra tracionada é composta de dois pedaços de material que são colados
ao longo da linha mn. Por razões práticas, o ângulo θ é limitado `a faixa de
0º a 60º. A tensão de cisalhamento permissível , τ adm, na junta colada é ¾
da tensão de tração permissível (σadm). Qual deve ser o valor do ângulo θ ,
afim de que a barra suporte o máximo de carga P , admitindo que a
resistência da junta colada controle o projeto.
m
θ
P
P
n
P
σx =
σy = 0
A
σ xy = 0
τ adm =
3
4
⋅ σ adm
Para P ser máximo, σx deve ser máximo. Logo:
σx
2
(1 + cos( 2θ ) ) ≤ σ adm
σx ≤
σ ( θ ) :=
2 ⋅ σ adm
−σ x
2
⋅ sin( 2 ⋅ θ ) ≤
σx ≤
( 1 + cos(2θ ))
2
τ ( θ ) :=
( 1 + cos(2θ ))
3
4
⋅ σ adm
3 ⋅ σ adm
2 sin( 2θ )
3
2 sin( 2θ )
θ := 10deg , 15deg .. 60deg
smax( θ ) := if ( σ ( θ ) ) ≤ τ ( θ ) , σ ( θ ) , τ ( θ )
6
Portanto o máximo admissivel ocorre em
θ = 600
4
2
Neste caso :
0
0.5
1
normal maxima
cisalhante maxiima
maximo admissivel
σx =
3 ⋅ σ adm
 π
2 ⋅ sin 2 
 3
σ x = σ adm⋅ 3
7
As deformações medidas em um ponto sobre uma superfície livre de um
elemento de máquina fornecem os seguintes dados de deformações:
εx= 100 µ
εy= 180 µ
γxy= 60 µ .
e
0 material é liga de magnésio com um módulo de elasticidade de 45GPa e
coeficiente de Poisson de 0.35.
(a) Determine as deformações principais e tangenciais máximas
(b)Usando os resultados da parte (a), determine as tensões principais e
tangenciais máximas no ponto.
Superficie livre :
σ z = σ xz = σ zx = σ yz = σ zy = 0 (Estado Plano de Tensão)
ν := 0.35
E := 45GPa
ε x := 100µ
G :=
ε y := 180µ
εx + εy
2
 εx − εy 
2
a := 
 + ε xy
 2 
2
Deformações principais
ε 1 := c + a
ε 1 = 190 µ
ε 2 := c − a
ε 2 = 90 µ
ε 3 := ε z
ε 3 = −150.77 µ
Tangenciais máximas
ε1 − ε2
ε 12 :=
2
ε 13 :=
ε 23 :=
ε1 − ε3
2
ε2 − ε3
2
2⋅ (1 + ν )
ε xy := 30µ
(a) Deformações principais e tangenciais máximas
c :=
E
ε 12 = 50 µ
ε 13 = 170.38 µ
ε 23 = 120.38 µ
 ν ⋅ ε + ε
 ( y x)
 (1 − ν )
ε z := −
(b)Tensões principais e tangenciais máximas
Tensões principais
Considerando o material isotrópico:
σ 1 :=
⋅ (1 − ν )⋅ ε 1 + ν ⋅ (ε 2 + ε 3)

(ν + 1)⋅ ( 1 − 2⋅ ν ) 
σ 1 = 11.36 MPa
σ 2 :=
⋅ (1 − ν )⋅ ε 2 + ν ⋅ (ε 3 + ε 1)

(ν + 1)⋅ ( 1 − 2⋅ ν ) 
σ 2 = 8.03 MPa
E
E
σ 3 := 0
Tangenciais máximas
σ 12 := 2G⋅ ε 12
σ 13 := 2G⋅ ε 13
σ 12 = 1.67 MPa
σ 13 = 5.68 MPa
σ 23 := 2G⋅ ε 23
8
σ 23 = 4.01 MPa
Um cilindro, A, de borracha de diâmetro d é comprimido em um
cilindro, B, de aço por uma força P. Determinar a pressão p entre a
borracha e o cilindro, quando P= 500 kgf, d= 5cm e o coeficiente de
Poisson para a borracha é 0.45.
P
A
P := 500kgf
d := 5cm
d
ν := 0.45
B
A :=
π⋅d
4
2
3
Estado de tensão na borracha
σ z :=
−P
A
2
A = 1.96 × 10 mm
 −p 0 0 
T( p ) :=  0 −p 0 
 0 0 σz 


Cinemática
 0 0 0 
0 0 0 
E( δ ) := 

δ 
0 0 L 


Portanto, pela relação constitutiva:
logo :
p :=
−ν ⋅ σ z
0=
1
E
p = 20.83
(1 − ν )
(
(
⋅ −p − ν −p + σ z
))
kgf
cm
2
9 O tensor de tensões em um ponto é da do como se segue:
0 
 21 28

T =  28 35 −14
 0 −14 −49
Se E =210 GPa e ν =0.3, qual é a deformação normal na direção
en=0.6 i + 0.8 j
E := 210GPa
ν := 0.3
σ x := 21MPa
σ xy := 28MPa
G :=
E
2⋅ (1 + ν )
σ y := 35MPa
σ yz := −14MPa
σ z := −49MPa
σ xz := 0MPa
ε x ε:=x
ε y :=
ε z :=
1
(
)
ε xy :=
(
)
ε xz :=
(
)
ε yz :=
⋅σ − ν ⋅ σ y + σ z
E  x
1
⋅σ − ν ⋅ σ x + σ z
E  y
1
E
 εx

ε :=  ε xy

 ε xz
⋅σ z − ν ⋅ σ y + σ x

ε xy ε xz 

ε y ε yz 
ε yz ε z
 0.6 
en :=  0.8 
 
0 


σ xy
2G
σ xz
2G
σ yz
2G
0
 120 173.33


ε = 173.33 206.67 −86.67  µ


−86.67 −313.33 
 0
ε n := ε ⋅ en ⋅ en
ε n = 341.87 µ
10. Uma placa de baquelite, com um orifício elíptico, é ensaiada para determinar
o fator de concentração de tensões K. Estando a placa em um estado plano
de tensões , determinou-se por meio de fotoelasticidade que a tensão σy no
ponto A, na borda da placa, como sendo de 14 MPa. Qual é o tensor de
deformações em A ? Assumir E=3,5 x 104 MPa e ν =0.2.
y
A x
ν := 0.2
E := 35GPa
σ z = σ xz = σ zx = σ yz = σ zy = 0 (Estado Plano de Tensão)
Superfície livre:
σ x := 0MPa
σ y := 14MPa
σ xy := 0MPa
ε x :=
1
(
⋅ σ x − ν ⋅σ y
E
ε xy :=
ε y :=
σ xy
1
(
⋅ σ y − ν ⋅σ x
E
ν
ε z := − ⋅ σ y + σ x
E
)
(
ε xy ε xz 

 −80 0 0 
ε =  0 400 0  µ


 0 0 −80 
ε y ε yz 
ε yz ε z
i
)
ε yz := 0
ε xz := 0
2G
 εx

ε :=  ε xy

 ε xz
11 D d
)


d d
ã
d
i
õ
i i i
di
ã
11. Dado o seguinte estado de tensão, determinar as tensões principais e a direção
da tensão de cisalhamento máximo:
σxy= 2.1 MPa
σxz= 0
σyz= 3.5 MPa
σ x = -5.6 MPa
σ y = 3.5 MPa
σ z = 1.4 MPa
σ x := −5.6MPa
σ y := 3.5MPa
σ xy := 2.1MPa
σ xz := 0MPa
 σ x σ xy σ xz 


T :=  σ xy σ y σ yz 


 σ xz σ yz σ z 
σ z := 1.4MPa
σ yz := 3.5MPa
 −5.6 2.1 0 
T =  2.1 3.5 3.5  MPa


 0 3.5 1.4 
Direções Principais: cálculo de auto- valorers
 −6.15 
σ =  −0.9  MPa


 6.35 
σ := eigenvals( T)
(
 0.96 
e1 =  −0.25 


 0.12 
)
e1 := eigenvec T , σ 0
(
 −0.24 
e2 =  −0.53 


 0.81 
)
e2 := eigenvec T , σ 1
(
 0.14 
e3 =  0.81 


 0.57 
)
e3 := eigenvec T , σ 2
Cisalhamento máximo
 σ0 − σ1 σ0 − σ2 σ1 − σ2 
,
,

2
2
2


τ max := max
Direção :
emax :=
e1 + e3
e1 + e3
 0.78 
emax =  0.39 


 0.49 
τ max = 6.25 MPa
12. Um tubo de paredes finas, com curva em ângulo reto, é
representado na figura abaixo. O diâmetro externo D do tubo
é de 50 mm e a espessura é de 1.6 mm . Uma carga de 0.45
kN é aplicada na extremidade livre do sistema. Um
extensômetro acha-se orientado na direção x em A, na parte
superior do tubo, e fornece uma deformação de 0.00346 . Um
segundo extensômetro em A, orientado na direção z, fornece
uma deformação de 0.00137. Quais são as componentes do
tensor de tensões no ponto A em relação ao sistema xyz. O
coeficiente de Poisson é 0.25 e o módulo de Elasticidade de
Young é 14 x 104 MPA. Determinar também εy.
P
A
y
x
A
D
mm
600
z
σxz
σzz
σzx
σxx
Detalhe do estado de tensão próximo de A
DADOS:
D := 50mm
3
kN := 10 N
d := 1.6mm
l := 600mm
E := 140GPa
ε x := 3460µ
Rm :=
D− d
2
Rm = 24.2 mm
P := 0.45kN
ν := 0.25
ε z := 1370µ
SOLUÇÃO:
Estado de Tensão em A, localizado na superfície livre do tubo => σ yy = σ xy = σ yz = 0
logo:
 σ x 0 σ xz 


T= 0 0 0 
σ 0 σ 
z
 xz
(Estado plano de tensão )
Componentes do tensor de tensão
M t := −P⋅ l
logo:
σ xz :=
M t = −0.27 kN⋅ m
Mt
σ xz = −45.86 MPa
2
2 ⋅ π ⋅ Rm ⋅ d
Relação constitutiva para Estado plano de tensão:
εx =
εy =
1
E
1
E
εz =
De onde se obtem que:
⋅σ x − ν ⋅ σ z + 0

(
)
(
)
⋅0 − ν ⋅ σ z + σ x

1
E
σ x :=
σ z :=
Deformação
ε y :=
−ν
E
(
⋅σ z − ν ⋅ 0 + σ x

(
E
(1 − ν 2)
E
(1 − ν 2)
⋅ σz + σx
)
)
( ε x + ν ⋅ ε z)
(ε z + ν ⋅ ε x)
σ x = 567.84 MPa
σ z = 333.76 MPa
ε y = −1610 µ