O modelo CAPM

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO, ATUÁRIA, CONTABILIDADE E SECRETARIADO
DEPARTAMENTO DE ADMINISTRAÇÃO
Documento de Estudo no. 2
O modelo CAPM
Copyright Pereira, F. I.
INTRODUÇÃO
O modelo de formação de preços de ativos de capital (CAPM) associa o risco não-diversificável
e retorno de todos os ativos. Discutir-se-á o modelo em cinco partes.
• A primeira delas define, deriva e descreve o coeficiente beta, o qual é uma medida de
risco não-diversificável, tanto para ativos individuais como para carteiras.
• A segunda parte apresenta uma equação do modelo.
• A terceira descreve graficamente a relação entre risco e retorno.
• Na quarta parte, são discutidos os efeitos de mudanças nas expectativas inflacionárias e a
aversão ao risco na relação entre risco e retorno.
• A parte final apresenta alguns comentários gerais sobre CAPM.
ORIGEM
Os investimentos em ativos físicos ou em títulos formam carteiras de investimento. O retorno
esperado dessas carteiras depende de vários fatores, aos quais chamamos de fatores de risco.
Alguns riscos referem-se ao mercado como um todo, por exemplo: riscos climáticos, riscos
políticos, comportamento da inflação. Outros riscos são específicos do negócio em que se está
aplicando recursos.
Naturalmente, o gestor financeiro tem maior gerência dos riscos especificamente relacionados
aos projetos, podendo até deixar de investir no ativo, dependendo desse nível de risco, ou ainda
investir em outros ativos, para evitar submeter todos os recursos ao mesmo tipo de risco; ou
seja, pode diversificar o investimento. Esse é o risco diversificável.
Por outro lado, existem riscos aos quais todo e qualquer ativo está submetido: é o risco do
mercado, aquele do qual não se pode fugir. Esse é o risco não diversificável.
Harry Markovitz e William Sharpe desenvolveram o modelo do CAPM preocupando-se com o
risco não diversificável, pois o risco diversificável, como o próprio nome afirma, pode ser
“desviado”. Em mercados em equilíbrio, o retorno de todos os ativos aproxima-se do retorno de
mercado. O modelo fez com que os autores fossem agraciados com o Prêmio Nobel de
Economia em 1990.
É afirmação do equilíbrio de mercado que as taxas de retorno em equilíbrio de todos os ativos
com risco são função da sua covariância com o portfólio de mercado. Em outras palavras, na
avaliação do risco de uma carteira de investimentos importa a contribuição de cada um dos
ativos.
TIPOS DE RISCO NO CAPM
O modelo do CAPM considera dois tipos distintos de risco: o risco diversificável, relativo ao
risco de cada um dos papéis da carteira, e o risco não diversificável, inerente à economia como
um todo. O risco não diversificável chama-se sistemático, pois essa variação de retornos ocorre
em qualquer carteira. Risco não sistemático é o diversificável, ou seja, aquele inerente à
variabilidade dos retornos de cada um dos ativos da carteira. Ao risco total há que se somar uma
margem de erro, que pode ser expresso estatisticamente como um erro randômico.
O risco não sistemático de uma carteira com mais de um ativo é o somatório dos riscos de cada
um dos ativos que a compõem. É o somatório ponderado das variabilidades dos retornos de cada
um dos papéis da carteira. Quando se altera a composição dos ativos na carteira, obtém-se uma
alteração do risco, medida pela covariância dos retornos de cada ativo. Dessa forma, o risco de
um título pode ser entendido como a variância de seus retornos, e o risco da carteira como a
covariância entre os retornos dos ativos considerados.
PREMISSAS DO MODELO
Para desenvolver o modelo de precificação de ativos de capital, William Sharpe e outros partem
de algumas premissas:
1. Os investidores são indivíduos aversos ao risco que buscam maximizar a utilidade
esperada de sua riqueza no final do período do investimento.
2. Os investidores são tomadores de preço que têm expectativa homogênea sobre o retorno
dos ativos, que assumem distribuição normal.
3. Existe um ativo livre de risco, que pode ser emprestado sem limites de quantias.
4. A quantia de ativos é fixa. Todos os ativos são divisíveis e negociáveis no mercado.
5. Os ativos de mercado estão acessíveis a todos, assim como as informações, que não tem
custos. Os custos de captação são iguais aos custos de aplicação.
6. Não existem imperfeições de mercado, tais como impostos, regulações e restrições para
vendas de curto prazo.
DECISÃO DO INVESTIDOR
A decisão de investir é balizada na análise de risco – retorno, o risco sendo entendido como
variação dos retornos esperados e o retorno sendo associado a probabilidades de ocorrência. Em
outras palavras: a utilidade do investidor é função do valor esperado da riqueza e de seu desvio
padrão. O primeiro fator deve ser maximizado e o segundo, minimizado. Como o retorno de
mercado é o parâmetro do investidor, e o mercado é considerado eficiente, a curva dos retornos
constitui a fronteira eficiente, sob a qual repousarão as diferentes curvas de utilidade do
investidor, a variar conforme o perfil de risco assumido.
Para provar o CAPM é necessário que a carteira de mercado seja eficiente. Se as expectativas
dos investidores são homogêneas, todos irão perceber a mesma variância de risco, independente
de sua tolerância a ele. Se todos escolhem carteiras eficientes, a linha de mercado será eficiente,
pois é um somatório das escolhas individuais.
A composição da carteira é uma combinação de ativos, e o retorno será calculado a partir dos
pesos de cada um deles. A variação dos retornos, entendida como risco, pode ser evitada pelo
investidor quando ele opta por papéis com reduzida covariância; o que é mais difícil evitar é a
variação dos retornos médios do mercado.
Portanto, o modelo de CAPM é a associação dos riscos não diversificáveis ao retorno de todos
os ativos. Utiliza-se de coeficientes para estabelecer uma equação e um gráfico de interpretação
COEFICIENTE BETA
O coeficiente beta, b, é usado para medir o risco não diversificável. É um índice do grau de
movimento do retorno de um ativo em resposta à mudança no retorno de mercado. É o índice de
variação do retorno em função das flutuações de mercado, a medida da volatilidade da ação em
relação à de uma média.
O coeficiente beta de um ativo pode ser encontrado examinando-se os recursos históricos do
ativo, relativos aos retornos do mercado. O retorno de mercado é o retorno da carteira de
mercado de todos os títulos negociados. O retorno de uma carteira de ações no Standard &
Poor’s 500 Stock Compsite Index ou qualquer outro índice de ações similar é geralmente usado
para medir o retorno de mercado. Se bem que os betas dos títulos ativamente negociados podem
ser obtidos de uma variedade de fontes, é importante entender sua derivação, interpretação e
aplicação às carteiras.
Beta derivado de dados de retorno
A relação entre o retorno de um ativo e o retorno de mercado e seu uso na derivação do beta
pode ser demonstrado graficamente. A Figura 1 mostra a relação entre os retornos de dois ativos
– R e S – e o retorno de mercado. Observe que o eixo horizontal (X) mede os retornos de
mercado e o eixo vertical (Y) mede os retornos de cada ativo (R ou S). O primeiro passo para
derivar o beta envolve a marcação das coordenadas do retorno de mercado e dos retornos do
ativo em vários pontos no tempo. Tais coordenadas de retorno de mercado anual – retorno do
ativo são vistas na Figura 1 para o ativo S somente para os anos de 1987 a 1994 (com os anos
anotados entre parênteses). Por exemplo, em 1994, o retorno do ativo S foi de 20%, quando o
retorno de mercado estava 10%. Pelo uso das técnicas de estatísticas, a “linha característica” que
melhor explica a relação entre as coordenadas do retorno do ativo e do retorno de mercado é
ajustada aos pontos dados. A inclinação dessa linha é o beta. O beta para o ativo R está próximo
de 0,80, e para o ativo S está próximo de 1,30. Evidentemente, o beta mais alto do ativo S
(inclinação mais acentuada da linha característica) indica eu seu retorno é mais sensível à
mudança dos retornos de mercado e, portanto, é mais arriscado que o ativo R.
Retorno do ativo
(%)
Ativo S
(1988)
o
35
(1993)
o
30
25
20
10
5
-20
-10
-5
(1994)
o
(1992)
o
b s = inclinação = 1,30
(1991)
o
Ativo R
b s = inclinação = 0.80
(1987)
o
10
15
20
25
30
Retorno de
mercado
35(%)
(1990) o
Linha característica R
Linha característica R
-10
-15
-20
-25
-30
Figura 1 – Gráfico dos desvios do beta para os ativos R e S
Obtenção e interpretação dos betas
Ainda insistindo no aspecto conceitual do beta (β) de um título, que nada mais é que uma
medida de risco de um título em uma carteira ampla.
O beta de um título significa o quanto esse título deverá variar quando o mercado variar de uma
unidade, ou seja, é a sensibilidade das ações às variações do valor da carteira de mercado.
O coeficiente beta considerado para o mercado é igual a 1. Coeficientes beta positivos
representam ativos que se movimentam na mesma direção do mercado. Coeficientes negativos
indicam movimentação oposta. Jornais e publicações especializadas fornecem os coeficientes
beta para as empresas mais importantes.
O Quadro 1 fornece alguns valores de beta selecionados e suas correspondentes interpretações.
Beta
2,0
1,0
0,5
0
- 0,5
- 1,0
-2,0
Comentário
Movimentam-se na
mesma direção do
mercado
Movimentam-se em
direção oposta do
mercado
Interpretaçãoª
Duas vezes com maior reação ou risco que o mercado
Mesma reação ou risco que o mercado (i. e., risco médio)
Apenas a metade da reação ou risco que o mercado
Não afetado pelos movimentos do mercado
Apenas a metade da reação ou risco que o mercado
Mesma reação ou risco que o mercado (i. e., risco médio)
Reação ou visão duas vezes maior que o mercado
ª Espera-se que uma ação que reaja duas vezes mais que o mercado tenha uma mudança de 2% em seu retorno para
cada mudança de 1% ao retorno da carteira de mercado, enquanto se espera que uma ação cuja reação é a metade,
com relação ao mercado, tenha uma mudança de ½ de 1% para cada 1% de mudança no retorno da carteira de
mercado.
Suponha que o retorno de uma determinada ação e o retorno de mercado seja o seguinte:
Dia
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
Retorno de
Mercado (%)
3,0
2,0
0,0
(1,5)
(1,0)
(3,0)
4,5
2,0
1,5
0,5
Retorno da
ação A (%)
4,0
2,5
0,5
(2,0)
(1,8)
(3,1)
7,0
3,0
2,0
0,9
Deve-se, inicialmente, calcular a média aritmética dos retornos de mercado e da ação A. Assim,
tem:
XM =
3,0 + 2,0 + 0,0 − 1,5 − 1,0 − 3,0 + 4,5 + 2,0 + 1,5 + 0,5
8,0
⇒ XM =
= 0,80%
10
10
XA =
4,0 + 2,5 + 0,5 − 2,0 − 1,8 − 3,1 + 7,0 + 3,0 + 2,0 + 0,9
13,0
⇒ XA =
= 1,30%
10
10
O procedimento seguinte cabe calcular a co-variância do retorno da carteira de mercado e a ação
A.
Dia
Diferença em relação
Diferença em relação
Produto das
ao retorno esperado
ao retorno esperado
diferenças
(R Ai − R A )
(R Ai − R A ) x R Mi − R M
R Mi − R M
(0,040-0,013)= 0,027
(0,030-0,008)= 0,022
0,000594
(0,025-0,013)= 0,012
(0,030-0,008)= 0,012
0,000144
(0,005-0,013)= -0,008 (0,030-0,008)= -0,008
0,000064
(-0,020-0,013)= -0,033 (0,030-0,008)= -0,023
0,000759
(-0,018-0,013)= -0,031 (0,030-0,008)= -0,018
0,000558
(-0,031-0,013)= 0,044 (0,030-0,008)= -0,038
0,001672
(0,070-0,013)= 0,057
(0,030-0,008)= 0,037
0,002109
(0,030-0,013)= 0,017
(0,030-0,008)= 0,012
0,000204
(0,020-0,013)= 0,007
(0,030-0,008)= 0,007
0,000049
(0,009-0,013)= -0,004 (0,030-0,008)= -0,003
0,000012
10
∑ [(R Ai − R A )x (R Mi − R M )]
0,006165
σ R A , R M = i =1
=
= 0,000617
10
10
(
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
Dia
(
Diferença em relação
ao retorno esperado
R Mi − R M
(R Mi − R M ) x (R Mi − R M ) = (R Mi − R M )2
(0,030-0,008)= 0,022
(0,030-0,008)= 0,012
(0,030-0,008)= -0,008
(0,030-0,008)= -0,023
(0,030-0,008)= -0,018
(0,030-0,008)= -0,038
(0,030-0,008)= 0,037
(0,030-0,008)= 0,012
(0,030-0,008)= 0,007
(0,030-0,008)= -0,003
0,000484
0,000144
0,000064
0,000529
0,000324
0,001444
0,001369
0,000144
0,000049
0,000009
(
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
)
)
Produto das
diferenças
10
2
∑ (R Mi − R M )
i =1
σ2
M =
βA =
10
=
0,004560
= 0,000456
10
cov(R A , R M ) 0,000617
=
=1,3531
0,000456
σ 2M
)
O fato de o beta dessa ação A ser igual a 1,3531 quer dizer que na média, quando o mercado
tiver alteração marginal, ação variará 1,35%, ou seja, quando o mercado subir 1% a ação A
subirá 1,3531% e quando o mercado cair 1% a ação A cairá 1,3531%.
O que acontecerá com a ação A quando o mercado subir 3%?
∆A = 1,3531 x 3% = 4,0593%
Nesse caso específico da ação A, o beta foi igual a 1,3531. No entanto, o beta poderia ter sido
um número negativo e isso indicaria que na média, quando o mercado subir, a ação cairá. Nada
impede que o beta seja igual a zero.
Betas de Carteiras
O beta de uma carteira pode ser facilmente obtido através de betas de ativos individuais que são
incluídos. Representando por w j a porção do valor total em unidades monetárias da carteira do
ativo j e b j sendo igual ao beta do ativo j, podemos usar a equação que segue para encontrar o
beta da carteira, b p :
n
b p = (w1.b1 ) + (w 2 .b 2 ) + ... + (w n .b n ) = ∑ w j .b j
j =1
n
Evidentemente, ∑ w j = 1 , significa que 100% dos ativos da carteira devem estar incluídos
j =1
nesse cálculo.
Os betas da carteira são interpretados exatamente da mesma maneira que os betas individuais
dos ativos. Eles indicam o grau de reação dos retornos da carteira com relação a mudanças no
retorno de mercado. Por exemplo, quando o retorno de mercado incrementa-se em 10%, a
carteira com beta de 0,75 experimentará um aumento de seus retornos de 7,5 (0,75 x 10%),
enquanto que a carteira com um beta de 1,25 sofrerá um incremento de 12,5% em seus retornos
(1,25 x 10%). Carteiras com betas baixos têm menor reação e, portanto, são de menor risco que
as carteiras com betas altos. Evidentemente, uma carteira contendo a maior parte em ativos com
betas baixos terá um beta baixo, e uma carteira com ativos de betas altos terá um beta alto.
A EQUAÇÃO
No modelo CAPM, utiliza-se como ponto de partida o retorno do ativo livre de risco. A partir
desse ponto, qualquer variação no retorno da carteira de mercado alterará o retorno da carteira
pelo produto entre o beta do título e a variação do retorno da carteira decrescido do retorno livre
de risco. Veja como fica esse modelo matematicamente:
E(R A ) = R L + β(R A − R L )
Façamos um exemplo:
Suponha que um investidor aplique R$ 1.000,00 em determinada ação que possui a seguinte
característica:
βA =
cov(R A , R M )
σ 2M
= 1,50
Ainda tem-se que o ativo livre de risco dá um retorno de 8% ao ano e que o retorno de mercado
é de 13% ao ano. Façamos agora ao cálculo para vermos quanto essa ação A dará de retorno ao
investidor.
E(R A ) = R L + β(R A − R L )
E(R A ) = 8% + 1,50(13% − 8% )
E(R A ) = 8% + 1,50.5%
E(R A ) = 8% + 7,50%
E(R A ) = 15,50%
Isso quer dizer que uma vez que esse título possui um beta igual a 1,50; que a esperança de
retorno do mercado em um ano é de 13%; e que o retorno do ativo livre de risco é de 8% ao ano,
espera-se que essa ação A valorize-se 15,50% nesse ano.
Pode-se mostrar isso graficamente:
20
18
A
Retorno (%)
16
14
B
12
10
8
6
4
2
0,5
1,0
1,5
2,0
Beta
Suponhamos uma ação B que tenha um beta igual a 1, pelo gráfico, vê-se claramente, por meio
do ponto B, que o retorno esperado dessa ação seria 13%, ou seja, o mesmo retorno de mercado.
No entanto, conforme previsto anteriormente, quando beta é igual a 1,50 (ação A), o retorno
obtido é de 15,50%.
Portanto, tem-se que:
Retorno
Esperado
de um
título
=
Retorno do
ativo
sem
risco
+
Beta
do
título
Diferença entre o
retorno
esperado da
X
carteira de mercado e a
taxa livre de risco
REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, A. e LIMA, F. G. Curso de administração Financeira. São Paulo, Atlas, 2009.
GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira, 10.ed. São Paulo: Addison Wesley,
2004.
FULLER, R. J. FARREL JÚNIOR, J. L. Modern investments and security analysis.McGraw
Hill: New York. 1987.
Entenda o Coeficiente Beta
Para proteger sua carteira de ações com a venda de mini-ibov, é importante conhecer o Beta da
carteira. Como uma antecipação da postagem sobre estratégia de hedge com Derivativos,
explicarei um pouco sobre o Coeficiente Beta e como calcular esse índice.
Beta, nada mais é do que uma regressão linear dos retornos dos ativos com o retorno do
mercado. Ou seja, um cálculo estatístico na qual trabalha com os dados da rentabilidade de um
ativo ( ação ), com a rentabilidad de um índice do mercado ( o melhor parâmetro é o índice
bovespa).
O valor deste Beta, serve para indicar qual será a variação da ação, quando o Ibov variar 1%.
Se o Beta for menos do que 1, ele possui um Beta defensivo. Por exemplo, se o Beta da ação
for 0,75. Significa que se o Ibov variar 6% durante a semana, é bastante provável que a ação
varie 0,75×6% = 4,5%.
Se o Beta for igual a 1, ele possui um Beta neutro. Isso significa que a rentabilidade de ação
acompanha a mesma rentabilidade do índice de parâmetro, no caso Ibov.
Se o Beta for maior que 1, trata de um índice Beta agressivo. Se o Beta for 1,90 e o índice
variar 4%, o valor da ação deve variar próximo de 7,6%.
Você pode aplicar o Coeficiente Beta da ação a qualquer índice. E caso deseje exercitar o
cálculo veja o video no Youtube em duas aulas, como calcular Coeficiente Beta