Uma maneira simples de se demonstrar que gama de meio é raiz
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Notas de aula
Uma maneira simples de se
demonstrar que gama de meio é
raiz de Pi
Rodrigo Marín1
Para demonstrar (5), usaremos como auxílio outra fun-
Universidad de Santiago de Chile
ção famosa, a função beta. Após sua definição, estabeleceremos a relação entre essa função e a função gama.
A
A função beta toma pares (u, v) de números positivos
função gama Γ : (0, +∞) → R se define, para
e leva a valores reais, pela fórmula
p > 0 não necessariamente inteiro, por
Γ( p) =
∞
0
x
p −1 − x
e
dx .
β(u, v) =
(1)
∞
x u −1
dx .
(1 + x ) u + v
0
(6)
É um exercício dos cursos de cálculo mostrar que essa
Mostrar a convergência da integral para u > 0 e v > 0
integral está bem definida, para todo p > 0 (pois o de-
é também um exercício de cálculo (note que perto de
crescimento exponencial sempre domina o crescimento
zero o integrando diverge apenas se u < 1, mas domi-
polinomial).
nado por uma potência com expoente entre −1 e 0; o
A função gama tem uma propriedade recursiva notá-
que notadamente implica a convergência da integral; e
vel. Para todo p > 0, mediante integração por partes,
p − x ∞
1 ∞ p −x
x e
Γ( p) =
+
x e dx
p
p 0
0
(2)
1
= · Γ ( p + 1) ,
p
que perto de infinito a convergência é garantida porque
a potência dominante do denominador é estritamente
maior do que a potência do numerador mais um).
Pela substituição de variáveis x =
β(u, v) =
isto é,
(3)
Γ ( p + 1) = p Γ ( p ) .
∞ −x
Em particular, como Γ(1) = 0 e dx = 1, a recorrên-
yu−1 (1 − y)v−1 dy ,
0
(7)
definida).
Lema 1. Para quaisquer u > 0 e v > 0,
(4)
β(u, v) =
para todo inteiro n positivo.
Nesta nota, demonstraremos que
√
1
Γ( ) = π ,
2
se chega a
que é outra forma como a função beta é conhecida (ou
cia (3) implica
Γ ( n ) = ( n − 1) ! ,
1
y
1− y
Γ(u)Γ(v)
.
Γ(u + v)
(8)
Demonstração. Em primeiro lugar, notemos o que faz a
substituição de variáveis x = ay, para a > 0, na integral
(5)
(1) que define a função gama. É fácil ver que obtemos
o que permite calcular imediatamente, usando (3), to-
Γ( p) = a p
dos os valores Γ(n + 12 ), com n 0.
∞
0
y p−1 e− ay dy ,
(9)
A demonstração da igualdade (5) será feita apenas
para qualquer p > 0. Isto nos dá uma maneira alter-
com as ferramentas usuais dos dois ou três primeiros
nativa para escrevermos a potência negativa de um nú-
semestres dos cursos de cálculo.
mero positivo a:
1
O autor foi orientado por seu professor, Rafael Labarca, na redação
a− p =
deste artigo.
1
14
Matemática Universitária nº47
1
Γ( p)
∞
0
x p−1 e− ax dx .
(10)
{Notas de aula}
Em seguida tomamos como ponto de partida a pró-
Usando (8), (3) e (4), chegamos em
pria definição da função beta em (6) para obter
Γ ( 1 )2
π
= 2 ,
8
8
Γ(u + v) β(u, v)
∞
y u −1
= Γ(u + v)
dy
u+v
0 (1 + y )
∞ ∞
x u+v−1 yu−1 e−(1+y) x dx dy ,
=
de onde resulta a igualdade procurada.
(11)
Rodrigo Marín
0
0
(17)
sendo que na passagem entre a segunda e a terceira linhas aplicamos a fórmula (10) com a = 1 + y e p =
u + v ao denominador da integral. A integral iterada
da terceira linha é finita (pois é igual a β(u, v)) e tem
integrando positivo, logo, pelo Teorema de Fubini, podemos mudar a ordem de integração, obtendo
Γ(u + v) β(u, v)
∞
=
x u + v −1
0
∞
0
yu−1 e−(1+y) x dy dx .
Chamemos de Y a integral interna
∞
0
(12)
yu−1 e−(1+y) x dy
de (12). Fazendo a substituição de variáveis t = xy,
obtemos
Y = x −u e− x
∞
0
tu−1 e−t dt = x −u e− x Γ(u) .
(13)
Inserindo (13) em (12), resulta
∞
Γ(u)
β(u, v) =
x v−1 e− x dx
Γ(u + v) 0
Γ(u)Γ(v)
=
,
Γ(u + v)
(14)
como queríamos demonstrar.
Sabemos que a área delimitada por uma semicircunferência de raio
1
2
é
π
8.
A equação de uma tal semicircun-
ferência, centrada em ( 12 , 0), é
1
1
( x − )2 + y2 = ,
2
4
(15)
implicando que sua área é a integral, no intervalo [0, 1],
da função y = x (1 − x ). Portanto
1
π
=
x (1 − x )
8
0
=
1
0
3
3
x 2 −1 (1 − x ) 2 −1 dx
(16)
3 3
= β( , ) .
2 2
2
Matemática Universitária nº47
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