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LISTA 2 – 3º BIMESTRE – NÚMEROS COMPLEXOS
1ª) Dados os números complexos z1  2  2 i e z2  2 i , resolva seis das operações abaixo:
a) z1  z2 
b) z1  3z2 
c) z1  z2 
e) z1  1
f) z2  
g)
z1

z2
j) 2  z1 
l) z2  z1 
i)
2
d) z1  2
z2

z1
h)
3

z2
m) z1  z2 
2ª) Resolva duas das operações indicadas:
a)
i  3i 2  i 5  2i 3  i 4

1  i3
b)
 i 2  4i 3  5i  2i 4  i 5

 2  i5
c)
i 4  2i 2  i 6  3i 9

i16  i 20  i 35
3ª) Determine o número complexo z  x  yi em dois dos seguintes casos:

2
a) z  z  6 xi  18  6i
b) 5z  2z  21  6i
c) 4z  i z  4  14i  0
d) z  z  18  6i  0
e) 2iz  z  z  3  4i
4ª) Um triângulo eqüilátero, inscrito em uma circunferência de centro na origem, tem como um de
seus vértices o ponto do plano associado ao número complexo
3  i . (Resolva o item a)
a) Que números complexos estão associados aos outros dois vértices do mesmo triângulo? Faça a
figura desse triângulo.
b) Qual a medida do lado desse triângulo?
(Resolva a 5ª ou a 6ª questão)
1 x 2 0
5ª) No universo dos complexos, qual é a solução da equação 1
5 3  0?
x 1 1 x
1
i
1
6ª) O determinante i
1
i define um número complexo. Determine o módulo desse
1 i 1 i 0
complexo.
2
7ª) Um número complexo tem a forma z  2  bi e seu módulo é 8. Calcule b.
8ª) Resolva, no campo dos números complexos, três das equações a seguir:
a) x 2  6 x  13  0
b) 4 x 2  4 x  5  0
c) x 2  x  4  0
d) 3 x 2  4 x  8  0
9ª) Se z é o conjugado do complexo z  x  yi , então a equação z  z  4  0 representa:
a) ( ) uma reta paralela ao eixo real;
b) ( ) uma circunferência com centro na origem;
c) ( ) a semi-reta bissetriz do primeiro quadrante;
d) ( ) um segmento de reta de comprimento 4;
e) ( ) uma elipse de eixo maior igual a 8.
10ª) Se z é o conjugado do complexo z  x  yi , então a equação z  z  4  0 representa:
a) ( ) uma reta paralela ao eixo imaginário;
b) ( ) uma circunferência com centro na origem;
c) ( ) a semi-reta bissetriz do primeiro quadrante;
d) ( ) um segmento de reta de comprimento 4;
e) ( ) uma elipse de eixo maior igual a 8.
11ª) Se z é o conjugado do complexo z  x  yi , então a equação z  z  4  0 representa:
a) ( ) uma reta paralela ao eixo real;
b) ( ) uma circunferência com centro na origem;
c) ( ) a semi-reta bissetriz do primeiro quadrante;
d) ( ) um segmento de reta de comprimento 4;
e) ( ) uma elipse de eixo maior igual a 8.

2
12ª) Se z é o conjugado do complexo z  x  yi , então a equação z 2  z  4  0 representa:
a) ( ) uma reta paralela ao eixo real;
3
b) ( ) uma circunferência com centro na origem;
c) ( ) a semi-reta bissetriz do primeiro quadrante;
d) ( ) um segmento de reta de comprimento 4;
e) ( ) uma hipérbole.
13ª) Se a 
1
1 i
,b 
e c  b  i  2 , encontre o valor de a c .
1 i
1 i
14ª) O número complexo a, b , representado abaixo no plano complexo, pode ser escrito na forma
algébrica a  bi , sabendo que:
a) módulo é
3
eixo imaginário
P(a, b)
2
3
eixo real
b) módulo é 4
eixo imaginário
3
4
eixo real
P(a, b)
15ª) Escreva dois dos seguintes números complexos na forma polar:
a) z1  
3
i
3
b) z2  1 
3
i
3
4
c) z3  
d) z4  2  2i
3
i
3
16ª) Dados os números complexos

 z  1  3 i
2
 1 2
 z  2[cos(315º )  isen (315º )]
 2
, determine:
a) o conjugado de cada um dos nºs acima;
b) o módulo de cada um dos nºs acima;
c) a representação gráfica, destacando o módulo e o ângulo  .
17ª) Escreva os seguintes números na forma retangular (algébrica):
a) z1 
d)
3  e i 45º
z 4  3  e i 330º
b)
z 2  2  e i 0º
i ( 135º )
e) z5  5  e
c) z3  7  ei180º
f)
z 3  5  e i 90º
2e i 360º  8  e i ( 270º )  3  e i180º  7  e 90º
18ª) Determine o número complexo z 
e represente-o
e i (180º )
na:
a) forma algébrica;
b) forma polar;
c) forma exponencial
19ª) Considere o número complexo z  1  yi , em que y é um número real e i a unidade
imaginária. Se w  z  z , em que z é o conjugado de z , e a forma trigonométrica de w é



2   cos  i sen  , encontre o valor de y .
2
2




20ª) Se z = 2   cos  i sen  , então qual será o conjugado do complexo z 2 ?
4
4

5
u  u  cos   i sen  

21ª) Sejam os seguintes números complexos v  3  cos 60º i sen 60º  e , determine o
w  2  cos 30º i sen 30º 

u
 w.
v
complexo u , tal que
22ª) Dados os números complexos z1
 4e i 30
0
,
z 2  2e i 60
0
z 3  2 e i120
,
  
 
   
 3  cos30   i sen 30  , resolva as seguintes operações:
0
,

z4  4  cos 2400  i sen 2400 , z5  cos 330 0  i sen 330 0 ,
z6
0
a) z1  z 2

z2

z3
i)
 z 4 2
0
z1  z 2 
b)
z4

z6
f)

j)
c)
g)
z5  z 4 
 z 5 3

d)
z5  z 4 
h)
 z 3 6
e)

z1  z 6

z4
23ª) Determine os pontos singulares e os polos das funções:
a) f ( z ) 
z2
z  z2  4
c) f ( z ) 
3z
z  1  z2  5


2


b) f ( z ) 
3

d) f ( z ) 
1
z 9

2

3
z7
z   z  1  z  1 2 z 2  3


6
RESPOSTAS
b) 2  4 2 i
1ª) a) 2
f) 
c) 2  2 2 i
1
2
i
g)  
3 3
1
2
l)  2
m)
3 2
i
2
h) 
b)
2 60
 i
17 17
2
9ª) item b
15ª)
a) z1 
b) z2 
2 3 u.c.
z  2  2i
6ª)
b  60 ou b   60
1 
1
 i;  i 
2 
2
 2 2 5
2 2 5 

i; 
i
3
3
3 
 3
d) S  
11ª) item a
3 3
 i
2 2

2 3
 cos 3000  i sen 3000
3
12ª) item e
z  2 2  2 2 i
b)
2 3
 cos 600  i sen 600
3

7ª)
b) S  
15 1
15 
i; 
i
2
2
2 
10ª) item a
14ª) a) z  
e) z  2  i
b)
S  3  2i; 3  2i

j) 2 6
b) z  3  2i
d) z  8  6i
6 3 6 3 
5ª) S    i ;  i 
5 5 5 5 
1
1
2

i
3 6
c) 3  2i
4ª) a) z   3  i e z  2i
c) S  
i) 1 2 i
 16  17i
5
3ª) a) z  3  2i ou z   3  4i
8ª) a)
e)
6 2
2ª) a) 3  i
c) z  
d) 2  4 2 i


z1 
z2 
2 3 i 60º
e
3
2 3 i 300º 
e
3
13ª) -4
7

2 3
 cos1500  i sen 1500
3
c) z3 
d)


z 4  2  cos 45 0  i sen 45 0

1
3
i
 z1  
2
2


16ª) a)  z 2  2  2i

 z   10  10 i
 3
2
2
6
6

i
2
2
3 3 1
 i
d) z4 
2
2
19ª) y  1
22ª) a)
20ª)
8ei 90
e) z5  
c) z3   7
5 2 5 2

i
2
2

f)

21ª)


h)
z



0

4
 cos 210 0  i sen 210 0
3
8e i 720  8e 0
0
i)
c) z 
2  ei 315
0
u  6i
d) 4  cos 5700  i sen 5700  4  cos 2100  i sen 2100 e) 2  e
f)
5 i
c) 2 3  i
b) 1  2 3  2  3 i

 z1  1

c)  z 2  4

 z3  5
2  cos 3150  i sen 3150
z 2  4i

0
z 4  2e i45º
b) z 2  2
b) z 
a) z  1  i

2 3 i 150º 
e
3
 z1  1

b)  z 2  2

 z 3  5
17ª) a) z 1 
18ª)
z3 
0
e i 240
g)
cos 990
0
j)
i ( 600 )
 
 i sen 9900  cos 2700  i sen 2700
0
3e i 180 
z  0  ponto singular de polo simples
z  3  ponto singular de polo triplo
23ª)a) z  2i  ponto singular de polo triplo
b)
z  3  ponto singular de polo triplo
z  2i  ponto singular de polo triplo

8
c)
z  i  ponto singular de polo simples
z  i  ponto singular de polo simples
z  5  ponto singular de polo simples
z   5  ponto singular de polo simples
z  0  ponto singular de polo simples
z  1  ponto singular de polo simples
d) z  1  ponto singular de polo duplo
z  - 3i  ponto singular de polo simples
z  3i  ponto singular de polo simples