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1) Calcular os catetos de um triângulo
retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um
dos ângulos mede 60º.
2) Quando o ângulo de elevação do sol é de
65 º, a sombra de um edifício mede 18 m.
Calcule
a
altura
do
edifício.
(sen 65º = 0,9063, cos 65º = 0,4226 e tg
65º = 2,1445)
6) Um foguete é lançado sob um ângulo de
30 º. A que altura se encontra depois de
percorrer 12 km em linha reta?
7) Do alto de um farol, cuja altura é de 20 m,
avista-se um navio sob um ângulo de
depressão de 30º. A que distância,
aproximadamente, o navio se acha do farol?
(Use √3 = 1,73)
8 ) Num exercício de tiro, o alvo está a 30 m de
3) Quando o ângulo de elevação do sol é de
altura e, na horizontal, a 82 m de distância
60º, a sombra de uma árvore mede 15m.
do atirador. Qual deve ser o ângulo
Calcule
a
altura
da
árvore,
(aproximadamente) de lançamento do
considerando √3 = 1,7.
projétil? (sen 20º = 0,3420, cos 20º =
0,9397 e tg 20º = 0,3640)
4) Uma escada encostada em um edifício tem
seus pés afastados a 50 m do edifício, 9) Se cada ângulo de um triângulo equilátero
formando assim, com o plano horizontal,
mede 60 º, calcule a medida da altura de
um ângulo de 32º. A altura do edifício é
um triângulo equilátero de lado 20 cm.
aproximadamente: (sen 32º = 05299, cos
10) Um alpinista deseja calcular a altura de
32′ = 0,8480 e tg 32º = 0,6249)
uma encosta que vai escalar. Para isso,
a) 28,41m b) 29,87m c) 31,24 m d) 34,65 m
afasta-se, horizontalmente, 80 m do pé da
encosta e visualiza o topo sob um ângulo
5) Um avião levanta vôo sob um ângulo de
de 55º com o plano horizontal. Calcule a
30º. Depois de percorrer 8 km, o avião se
altura da encosta. (Dados: sem 55º = 0,81,
encontra a uma altura de:
cos 55º = 0,57 e tg 55º = 1,42)
a)2 km b)3 km c)4 km d)5 km
Gabarito:
1) 3√3 e 3
6) 6 km
2) 38,6m
7) 34,6m
3) 25,Sm
8 ) 20º
4) 31,24m
9) 10√3
5) 4 km
1O) 113,6m
Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é
retângulo em A e seus elementos são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa a hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
Relações métricas
Para um triângulo retângulo ABC podemos estabelecer algumas relações entre as
medidas de seus elementos:
- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse
cateto sobre a hipotenusa.
b² = a.n
c² = a.m
- O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a
hipotenusa.
b.c = a.h
- O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a
hipotenusa.
h² = m.n
- O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²
Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS.
Exemplo:
Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:
a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10
b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8
c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6
b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4
Determine os valores literais indicados nas figuras:
a)
b)
c)
d)
Determine a altura de um triângulo eqüilátero de lado l.
Determine x nas figuras.
a)
O triângulo ABC é eqüilátero.b)
O triângulo ABC é eqüilátero.
c)
Determine a diagonal de um quadrado de lado l.
Razões trigonométricas
Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir:
- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do
triângulo.
senÊ = e/a
senÔ = o/a
- Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa
do triângulo.
cosÊ = o/a
cosÔ = e/a
- Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto
adjacente.
tgÊ = e/o
tgÔ = o/e
Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º
Exemplo:
senÔ = 3/5 = 0,6
senÊ = 4/5 = 0,8
cosÔ = 4/5 = 0,8
cosÊ = 3/5 = 0,6
tgÔ = 3/4 = 0,75
tgÊ = 4/3 = 1,333....
Ângulos notáveis
Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos
chamados de notáveis, são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e
tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um
triângulo eqüilátero de lado l. Traçando a altura AM, obtemos o triângulo retângulo
AMC de ângulos agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razões trigonométricas ao
triângulo AMC temos:
Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado de
lado l. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.
No triângulo ABD, temos:
Observação: sen45° = cos45°
Resumindo temos a tabela:
Exercícios resolvidos:
1) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento
BC é igual a 10 m e cos α = 3/5
Solução:
2) Calcule a altura de um triângulo eqüilátero que tem 10 cm de lado.
Solução:
3) A altura de um triângulo eqüilátero mede 4 cm. Calcule:
a) A medida do lado do triângulo
b) A área do triângulo
4) Calcule x indicado na figura
Solução:
Solução:
6) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m dos solo, forma com
essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada em metros?
Solução:
7) Na figura indicada calcule AB.
Solução:
8) Observe na figura os três quadrados identificados por 1,2 e 3. Se a área do
quadrado 1 é 36cm² e a área do quadrado 2 é 100cm², qual é, em centímetros
quadrados, a área do quadrado 3 ?
A2 = A1 + A3
100 = 36 + A2
A2 = 100 – 36 = 64cm²
9)As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidas dos
catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro
desse triângulo.
10) Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à
hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um triângulo retângulo tem
catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a representação decimal da medida da mediana
relativa a hipotenusa nesse triângulo.
11) Um quadrado e um triângulo eqüilátero têm o mesmo perímetro. Sendo h a medida
da altura do triângulo e d a medida da diagonal do quadrado. Determine o valor da
razão h/d.
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
EQUAÇÃO DO 1° GRAU
INEQUAÇÃO DO 1° GRAU
PRODUTOS NOTÁVEIS
EQUAÇÃO DO 2° GRAU
LOGARITMOS
PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
NÚMEROS COMPLEXOS
FUNÇÃO DO 2º GRAU
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Professor: Joaquim Julio Marcondes Sigaud
Campos do Jordão - SP