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ROSÁRIO LAUREANO
1
Background para primitivas (e ñ só..)
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Ano letivo: 2013/2014 - 2o Sem.
Turma: GA4
––––––––––––––––––––––––––––––––-
Elaborado por ROSÁRIO LAUREANO
DM — Dpto de Matemática (ISTA)
ROSÁRIO LAUREANO
1
2
Background para o cálculo de primitivas (e não
só...)
1.1
Funções trigonométricas inversas
Sabemos que as funções trigonométricas seno, coseno e tangente são
periódicas. Como tal, não são funções injectivas nos respectivos domínios
Dsin = Dcos = R e Dtan = R \ {π/2 + kπ}k∈Z .
No entanto, podemos considerar (novos) domínios destas funções, mais restritivos, de que resultam as chamadas restrições principais destas funções
trigonométricas,
π π
y = sin x apenas para x ∈ − ,
⊂R
2 2
e
y = cos x apenas para x ∈ [0, π] ⊂ R
π π
y = tan x apenas para x ∈ − ,
⊂ R \ {π/2 + kπ}k∈Z .
2 2
Estas restrições principais já garantem a injectividade (i.e, cada imagem
é "exclusiva" de um objecto) e mantêm todos os valores dos respectivos
contradomínios,
CDsin = CDcos = [−1, 1]
e CDtan = R.
Para estes novos domínios, existem então as funções inversas:
arco-seno (de y)
π π
x = arcsin y com y ∈ [−1, 1] , para x ∈ − ,
2 2
arco-coseno (de y)
e
arco-tangente (de y)
x = arccos y com y ∈ [−1, 1] , para x ∈ [0, π]
π π
x = arctan y com y ∈ R, para x ∈ − ,
.
2 2
Temos Darcsin = Darccos = [−1, 1] e Darctan = R. Note que o contradomínio de cada uma destas funções é o domínio da função da qual é
inversa, ou seja,
CDarcsin = R = Dsin ,
CDarccos = R = Dcos
e
CDarctan = R \ {π/2 + kπ}k∈Z = Dtan .
ROSÁRIO LAUREANO
3
Exemplo 1 Sabendo que cos (π/3) = 1/2, podemos escrever que
π
1
= arccos .
3
2
Portanto, arccos (1/2) designa o ângulo/arco (em radianos) cujo coseno é
1/2, ou seja, o ângulo π/3.
√
Exemplo 2 Sabendo que sin (π/3) = 3/2, podemos escrever que
√
π
3
= arcsin
,
3
2
√ ou seja, arcsin 3/2 designa o ângulo/arco (em radianos) cujo seno é
√
3/2 (o ângulo π/3).
√
Exemplo 3 Sabendo que tan (π/3) = 3, podemos escrever que
√
π
= arctan 3,
3
√
√
ou seja, arctan 3 designa o ângulo/arco (em radianos) cuja tangente 3
(o ângulo π/3).
1.2
Funções trigonométricas secante, cosecante e
cotangente
Quando consideramos uma função inversa estamos a inverter os papeis
das variáveis x e y, não a inverter números. A inversão de números tem,
na trigonometria, outras designações: secante, cosecante e cotangente.
Temos então
sec x =
1
,
cos x
SECANTE
csc x =
1
sin x
COSECANTE
e
cot x =
1
cos x
=
.
tan x
sin x
COTANGENTE
Como funções, apenas estão definidas onde os respectivos denominadores
não se anulam, ou seja,
Dsec = R \ {kπ/2}k∈Z
e Dcsc = Dcot = R \ {kπ}k∈Z .
ROSÁRIO LAUREANO
4
Exemplo 4 A secante de π/3 é
sec
π
1
1
=
=
= 2,
3
cos (π/3)
1/2
por ser o número inverso de cos (π/3), que é 1/2.
Exemplo 5 A cosecante de π/3 é
1
1
2
π
=
=√
=√ ,
3
sin (π/3)
3/2
3
√
por ser o número inverso de sin (π/3) que é 3/2.
csc
Exemplo 6 A cotangente de π/3 é
cot
π
1
1
=
=√ ,
3
tan (π/3)
3
por ser o número inverso de tangente de π/3 que é
√
3.
Temos o seguinte quadro-resumo:
função trigonom.
função trigonom. inversa
y = sin x
x = arcsin y
y = cos x
x = arccos y
w=
1
= sec x
cos x
x = arctan y
w=
1
= cot x
tan x
y = tan x =
sin x
cos x
número inverso
1
w=
= csc x
sin x
NOTA: Também se designa por arco-cotangente de y o valor do ângulo (medido em radianos) cuja cotangente é y. Esta função trigonométrica
inversa tem por domínio
Darccot = CDcot = R.
ROSÁRIO LAUREANO
1.3
5
Algumas fórmulas trigonométricas
Consideremos a fórmula fundamental da trigonometria,
sin2 (x) + cos2 (x) = 1 ,
donde se conclui facilmente que
Temos ainda
sin2 x = 1 − cos2 x
e
cos2 x = 1 − sin2 x .
sin x
cos x
e
cot x =
tan x =
cos x
.
sin x
Dividindo em sin2 (x) + cos2 (x) = 1 por cos2 x = 0 obtemos
tan2 (x) + 1 =
1
, ou ainda
cos2 x
tan2 (x) + 1 = sec2 x.
Dividindo em sin2 (x) + cos2 (x) = 1 por sin2 x = 0, obtemos
1 + cot2 x =
1
, ou ainda 1 + cot2 x = csc2 x.
sin2 x
Consideremos ainda a fórmula de duplicação de ângulo para o
coseno
cos (2x) = cos2 (x) − sin2 (x) .
Dado que cos2 x = 1 − sin2 x, obtemos
sin2 x =
1 − cos(2x)
2
pois
cos (2x) = cos2 (x) − sin2 (x) = 1 − sin2 (x) − sin2 (x) = 1 − 2 sin2 x.
Analogamente, dado que sin2 x = 1 − cos2 x, obtemos
cos2 x =
1 + cos(2x)
,
2
atendendo a que
cos (2x) = cos2 (x) − 1 − cos2 x = cos2 (x) − 1 + cos2 x = 2 cos2 (x) − 1.
Finalmente, interessa considerar a fórmula de duplicação de ângulo
para o seno,
sin (2x) = 2 sin (x) cos (x) .
ROSÁRIO LAUREANO
1.4
6
Notas soltas
Não é válido (em geral):
nem (u · v) = u · v , nem
u v
=
u
v
nem
a
b+c
=
a a
1
1 1
+ , nem
= +
b
c
b+c
b c
nem
a
b−c
=
a a
1
1 1
− , nem
= −
b
c
b−c
b c
Não é válido (em geral):
nem (a + b)2 = a2 + b2 ,
nem
nem
√
√
√
a+b =
a + b, nem
a2 + b2 = a + b
√
√
√
a−b =
a − b, nem
a2 − b2 = a − b
nem |a| = a, nem
2
nem (a − b)2 = a2 − b2 ,
√
√ 2
a2 = a, embora
a =a
Sobre limites e continuidade
Proposição 7 Sejam f : Df ⊆ R → R e g : Dg ⊆ R → R funções reais de
variável real e a ∈ R um ponto de acumulação de Df e de Dg . Se existirem
os limites limx→a f (x) = L e limx→a g (x) = G então também existem nesse
ponto a os limites seguintes:
limx→a (f ± g) (x) = L ± G ,
limx→a (c × f) (x) = c × F
limx→a (f × g) (x) = F × G ,
e
f
F
limx→a
(x) =
g
G
sempre que limx→a g (x) = G = 0 e a função g é não-nula numa vizinhança
de a, do quociente das funções.
ROSÁRIO LAUREANO
7
Seja L um número real. São válidas as seguintes operações (no sentido
de limite):
(+∞) + (+∞) = +∞ ,
(+∞) + L = +∞
(−∞) + (−∞) = −∞ ,
(−∞) + L = −∞
(±∞) · (±∞) = +∞ ,
(±∞) · (L positivo) = ±∞
(±∞) · (∓∞) = −∞ ,
(±∞) · (L negativo) = ∓∞
(±∞)
= ±∞ ,
L positivo
L positivo
= 0± ,
(±∞)
(±∞)
= ∓∞ ,
L negativo
L negativo
= 0∓ ,
(±∞)
(±∞)
= +∞ ,
0±
0±
= 0+
(±∞)
.
(±∞)
= −∞,
0∓
0∓
(±∞)
= 0−
No enquanto, temos indeterminações.nas operações
(±∞) − (±∞) = ? ,
0 · (±∞) = ? ,
0
=?
0
e
(±∞)
=?.
(±∞)
Consideremos uma função f tal que f(x) > 0 para todo x ∈ Df . Temos
limx→a g(x)
lim f (x)g(x) = lim f (x)
x→a
x→a
sempre que não ocorra uma das indeterminações
00 = ? , 1(±∞) = ? e (+∞)0 = ? .
No que segue exp denota a exponencial de Neper e ln o logarítmo respectivo.
Dada a igualdade
f (x)g(x) = exp ln f (x)g(x) = exp [g (x) · ln f (x)] ,
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8
qualquer uma destas três indeterminações pode escrita como indeterminação
0 · (±∞).
São válidos os seguintes limites de referência:
limx→0
sin x
=1,
x
limx→0
limx→+∞
limx→+∞
limx→0
ln (x + 1)
=1
x
ax
= +∞ para a > 1, p ∈ R
xp
loga x
= 0 para a > 1, p ∈ R+
xp
e
limx→0
tan x
=1,
x
exp x − 1
=1,
x
k x
limx→+∞ 1 +
= exp k
x
Definição 8 Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real e
a ∈ R. A função f diz-se contínua no ponto a se e só se são verificadas
as três condições seguintes: (i) existe a imagem f (a), ou seja, a ∈ Df ; (ii)
existe o limite limx→a f (x); (iii) são iguais os elementos garantidos em (i)
e (ii), ou seja,
lim f (x) = f (a) .
x→a
A função f diz-se contínua se for contínua em todos os pontos do seu
domínio.
A continuidade de f no ponto a traduz-se intuitivamente por "os valores
f (x) e f (a) serão arbitrariamente próximos (isto é, a distância |f(x) − f(a)|
será tão pequena quanto se queira) sempre que considerarmos valores de x
suficientemente próximos de a (isto é, desde que |x − a| seja suficientemente
pequeno)". Simbolicamente, podemos escrever
∀δ > 0, ∃ε > 0
|
tal que
∀x ∈ Df ∧ 0 < |x − a| < ε =⇒ |f (x) − f (a)| < δ.
em que ε depende do δ tomado, ou seja, ε = ε (δ).
ROSÁRIO LAUREANO
9
Elementos do cálculo diferencial
3
3.1
Derivada num ponto e retas tangente e normal
Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real. Seja ainda a
um ponto do seu domínio, a ∈ Df .
Definição 9 A derivada (de ordem 1 ou de 1a ordem) da função f
no ponto a é
f (a) = limx→a
f (x) − f (a)
, ou ainda
x−a
f (a) = limh→0
f (a + h) − f (a)
,
h
sempre que este limite exista como número real.
Se a função f define a trajectória de uma partícula em movimento no
decurso do tempo, a derivada f (a) é a velocidade instantânea da partícula
no instante de tempo t = a.
O número real f (a) é o declive da recta tangente ao gráfico de f no
ponto x = a. Logo a equação desta recta é
y − f(a) = f (a) (x − a) ,
pois passa no ponto (a, f(a)) (ponto de tangência).
A recta normal ao gráfico de f no ponto x = a tem por declive
−
1
f (a)
por ser perpendicular (⊥) à recta tangente. Logo, a equação da recta normal
que passa no ponto (a, f (a)) é
y − f (a) = −
1
(x − a) .
f (a)
NOTA: Uma função é crescente nos pontos em que a derivada é positiva
e decrescente nos pontos em que a derivada é negativa. Os valores de x nos
quais a derivada é nula, designados por pontos críticos, são os "candidatos"
a extremos (máximos ou mínimos) relativos da função.
NOTA: Definem-se as derivadas de ordem superior a 1:
ROSÁRIO LAUREANO
10
f (x) = f f (x) , também denotada por f (2) (x)
de ordem 3 :
f (x) = f f (x) , também denotada por f (3) (x)
···
de ordem 2 :
de ordem n :
f (n) (x) = f f (n−1) (x) .
Também se pode escrever f (1) (x) em vez de f (x) e f (0) (x) em vez de f (x).
3.2
Derivação da função composta e da função inversa
São válidas as fórmulas de derivação que se seguem.
Fórmula de derivação da função composta (ou regra da cadeia):
(f ◦ u) (x) = f (u(x)) · u (x) .
(1)
Fórmula de derivação da função inversa:
−1 f
(y) =
3.3
1
f (x)
em que y = f(x).
(2)
Regras de derivação
Sejam u = u(x) e v = v(x). Em consequência de (1), são válidas as regras
de derivação que se seguem.
Regras operacionais de derivação:
(u ± v) = u ± v
(k · u) = k · u
(u · v) = u · v + u · v
e
(up ) = p · up−1 · u
(para k ∈ R)
u v
=
u · v − u · v
v2
(para p ∈ Q),
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11
Regra de derivação da exponencial: para a > 0, a = 1,
(au ) = u · au · ln a .
Em particular (exp u) = u · exp u .
Regras de derivação das funções trigonométricas:
(sin u) = u · cos u
u
= u · sec2 u
cos2 u
(tan u) =
e
e
(cos u) = −u · sin u
(cot u) = −
u
= −u · csc2 u .
sin2 u
De facto, aplicando a regra de derivação do quociente obtemos
(tan u)
=
=
sin u u · cos u · cos u − sin u · (−u · sin u)
=
cos u
cos2 u
u · cos2 u + sin2 u
u
=
= u · sec2 u
cos2 u
cos2 u
e
cos u −u · sin u · sin u − cos u · u · cos u
sin u
sin2 u
−u · sin2 u + cos2 u
u
=
−
= −u · csc2 u.
=
cos2 u
sin2 u
Quanto às derivadas das funções secante e cosecante, temos
(cot u) =
(sec u) =
=
u · sin u
= u · tan u · sec u
cos2 u
e
(csc u) =
−u · cos u
= −u · cot u · csc u.
sin2 u
De facto, por aplicação da regra de derivação da potência, temos
(sec u)
=
=
u · sin u
sin u
1
= u ·
·
= u · tan u · sec u
2
cos u
cos u cos u
1
cos u
= (cos u)−1 = (−1) · (cos u)−2 · −u · sin u
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12
e
(csc u)
=
=
−u · cos u
cos u
1
= −u ·
·
= −u · cot u · csc u.
2
sin u sin u
sin u
1
sin u
= (sin u)−1 = (−1) · (sin u)−2 · u · cos u
Regras de derivação para as funções inversas: para a > 0, a = 1,
(loga u) =
u
u · ln a
(em particular, (ln u) =
u
)
u
u
1 + u2
e
(arccot u) = −
u
(arcsin u) = √
1 − u2
e
u
(arccos u) = − √
,
1 − u2
(arctan u) =
u
1 + u2
por aplicação de (1) e (2).
Por exemplo, temos x = arcsin y sempre que y = sin x. Por (2) obtemos
(arcsin y) =
1
1
.
=
cos x
(sin x)
Pela
fórmula fundamental da trigonometria, temos cos x =
1 − y 2 , logo
1
(arcsin y) = .
1 − y2
1 − sin2 x =
Por (1) concluímos então que
1
u
(arcsin u) = √
· u = √
.
1 − u2
1 − u2
Analogamente, temos x = arctan y sempre que y = tan x. Por (2) obtemos
1
1
(arctan y) =
=
1
(tan x)
cos2 x
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Como
13
1
= 1 + tan2 x = 1 + y 2 , temos
cos2 x
(arctan y) =
1
.
1 + y2
Por (1) concluímos então que
(arctan u) =
3.4
1
u
·
u
=
.
1 + u2
1 + u2
Exercícios propostos
Escreva a expressão da primeira derivada de cada uma das seguintes funções:
1. f(x) = 4x3 + 3x +
√
1
+5 x
x
2. f(x) = 2 5 + exp x2
3 x
+
x 3
3. f(x) = (2x − 3)4 − ln 2x3 + cos x
4. f(x) = cos3 x − 6 cos x3 − tan(4x) + 5 sin (3x)
5. f(x) =
3x + x2
+ 4 arcsin (2x) − cot x2
5
6. f(x) = sec (−3x) + csc (5x) − 4 arctan x3 .
3.4.1
Soluções
1
5
+ √
2
x
2 x
3 x
3
1
2
2
2. f (x) = 2 2x exp x
+
+ 5 + exp x
− 2+
x 3
x
3
1. f (x) = 12x2 + 3 −
3. f (x) = 8 (2x − 3)3 −
3
− sin x
x
ROSÁRIO LAUREANO
4. f (x) = −3 cos2 (x) sin (x) + 18x2 sin x3 −
5. f (x) =
3 + 2x
2x
8
+√
+
2
5
1 − 4x2 sin (x2 )
6. f (x) = −
3 sin (−3x) 5 cos (5x)
12x2
−
−
2
cos2 (−3x)
1 + x6
sin (5x)
14
4
+ 15 cos (3x)
cos2 (4x)