Problemas semanas 10 e 11

Mecânica dos Fluidos II
Semana 10
(9 a 15 de Maio de 2009)
Problema 1 – Uma tubeira convergente acelera ar desde um reservatório à pressão
p0  2  10 6 Pa , com temperatura T0  300 K . Suponha que a temperatura do
reservatório é mantida aproximadamente constante, mas o escoamento é adiabático
em todo o resto da instalação. Admita também que não há atrito significativo em
nenhuma parte da instalação. A secção mais pequena, à saída, tem uma área
A  1,5  10 2 m 2 .
a) Para que valores da pressão exterior o escoamento é sónico na garganta, isto é,
na secção de saída?
b) Calcule o caudal para o caso em que o escoamento é sónico.
c) Represente esquematicamente num gráfico as possíveis evoluções de pressão
estática ao longo da conduta, supondo que a pressão no reservatório se
mantém e a pressão de saída é variada, desde o vácuo até uma pressão igual à
do
reservatório.
Sugestão: marque pelo menos uma evolução em que o escoamento seja
subsónico em toda a conduta, outra em que o escoamento seja sónico à saída,
com a pressão de saída igual à pressão exterior, e, finalmente, uma evolução
de pressão em que haja onda de expansão no exterior.
d) Calcule a temperatura de estagnação à saída.
e) Calcule o caudal mássico máximo que pode escoar-se na instalação, nas
condições do enunciado.
Considere agora que a contracção anterior é complementada com um troço de
conduta divergente, também isolado termicamente, com uma área de saída
A  1,5  10 1 m 2 . A conduta divergente descarrega para uma atmosfera cuja pressão
é pext  105 Pa .
f) Calcule a temperatura de estagnação à saída. Esta temperatura depende de o
escoamento ser subsónico ou supersónico nalgum ponto da instalação?
Depende da eventual existência de uma onda de choque?
g) Quando a pressão no reservatório varia de p0  2  10 6 Pa até
p0  1  105 Pa , entre quais pressões do reservatório o escoamento é
subsónico em toda a instalação?
h) Calcule a pressão no reservatório quando ocorre uma onda de choque normal
na secção de saída.
i) Calcule a pressão no reservatório quando a onda de choque ocorre numa
secção de área intermédia entre a garganta e a saída, A  8,25  102 m 2 .
Resposta: O escoamento é sónico para pressões exteriores pext  1,057 106 Pa .
A massa volúmica do ar no reservatório é  0  23,2 2 kg m 3 ; a massa volúmica em
  70,0 kg s .
escoamento sónico é  *  14,7 2 kg m3 ; o caudal mássico é m
A temperatura de estagnação é uniforme no espaço porque todo o escoamento é
adiabático: T0  300 K .
  70,0 kg s .
O caudal mássico máximo é o mesmo calculado atrás, m
A temperatura de estagnação continua a ser uniforme no espaço, qualquer que seja o
número de Mach, haja ou não onda de choque.
Na situação limite em que o escoamento é sónico na garganta e subsónico no difusor
divergente, o número de Mach à saída é M s  0,05799 e a pressão máxima no
reservatório para o escoamento ser sempre subsónico vem p0  1,00236 105 Pa .
Quando ocorre uma onda de choque na secção de saída, o número de Mach
imediatamente antes da onda de choque é M A  3,923 e a pressão estática e a de
estagnação isentrópica imediatamente antes da onda de choque são
p A  5,622 103 Pa ; p0 A  0,7699 106 Pa . A pressão no reservatório é igual a p0 A .
Quando a onda de choque ocorre na secção de área A  8,25  102 m 2 , o número de
Mach imediatamente antes da onda de choque é M A  3,275 ; imediatamente depois
da onda de choque é M B  0,4607 ; o número de Mach à saída para a atmosfera
exterior é M s  0,2309 ; entre a saída e a secção imediatamente depois da onda de
choque a pressão de estagnação isentrópica é p0 s  p0 B  1,0378  105 Pa ;
finalmente, a pressão de estagnação isentrópica desde o reservatório até à onda de
choque vem p0 A  4,0114  105 Pa .
Problema 2 – Considere uma conduta convergente-divergente em que a área da saída
é 16 vezes maior que a área da garganta. A conduta é alimentada por ar (razão de
calores específicos   1,4 ) a partir de um reservatório à pressão p0 . A pressão de
saída é pe . Determine a razão de pressões p0 pe , para a qual se dá onda de choque
na secção cuja área é 25/4 maior que a da garganta.
Resposta: A razão de pressões é pe p0  0,2259 .
Valores intermédios, úteis para chegar ao resultado: o número de Mach antes do
choque é M1  3,411 ; depois do choque é M 2  0,4547 . A razão de pressões de
estagnação é p02 p01  0,2299 . Na secção de saída o número de Mach é
M e  0,1597 e a razão de pressões pe p02  0,9823 .
Problema 3 – Para a mesma geometria do problema anterior, determine a posição da
onda de choque se a relação entre a pressão exterior e a pressão no reservatório for
pe p0  1 8 .
Resposta: O choque dá-se na secção com a relação de áreas: A A*  11,267 , em que
A* é a área da garganta.
Mecânica dos Fluidos II
Semana 11
(16 a 22 de Maio de 2009)
Problema 4 – Um reservatório alimenta, através de uma conduta convergente, um
tubo de secção constante (d = 0,1 m) que transporta azoto até um ponto de consumo
numa fábrica. A pressão exterior é atmosférica e igual a 100 kPa.
Características do azoto: gás diatómico com razão de calor específicos γ = 1,4, calor
específico a pressão constante Cp = 1039 J/(kg K) e constante de gás perfeito R = 297
J/(kg K).
A temperatura e a pressão do fluido no depósito são T = 300 K e p = 318 kPa,
uniformes em todo o espaço do reservatório.
a) a)
Numa secção 100 m a montante da saída do tubo de secção constante, a
pressão medida na parede do tubo é de 161 kPa e a pressão medida por um tubo de
Pitot é de 178 kPa. Determine o número de Mach do escoamento na secção em
questão.
Se não resolveu esta alínea e precisar do valor do número de Mach nesta secção
para resolver alguma das alíneas seguintes tome o valor de 0,38.
b) b) A temperatura do azoto medida nessa secção é de 291,6 K. Verifique se o
escoamento é adiabático entre o reservatório e a secção em causa. Justifique.
Nas alíneas seguintes, admita que a troca de calor entre o fluido e o exterior é
desprezável em toda a instalação.
c) c) Mostre que a saída deste escoamento é subsónica. (Sugestão: considere o
escoamento entre a secção da alínea a) e a saída do tubo). Qual a pressão na secção
de saída? (1,0 val.)
d) d) Qual o factor de atrito do tubo (Sugestão: considere o escoamento entre a
secção da alínea a) e a saída do tubo)?
Qual o comprimento total do tubo?
Problema 5 – À entrada de uma conduta de ar comprimido de secção constante,
adiabática, verificam-se as seguintes condições de temperatura e pressão: T1  800 K ;
p1  4,0 106 Pa . A velocidade do ar nessa secção de entrada é v1  850 m s . A
viscosidade cinemática do ar àquela temperatura é aproximadamente
  8,2  10 5 m 2 s . O diâmetro da conduta é D  0,1 m ; a rugosidade relativa é
 D  5  104 . A variação do número de Reynolds é pouco relevante para efeitos de
cálculo do factor de atrito e por isso calcule este factor admitindo que o número de
Reynolds é uniforme, igual ao da secção de entrada.
Nota: A 800 K , os coeficientes de calor específico a pressão constante e a volume
constante são C p  1098,7 J kgK  e Cv  811,6 J kgK  ; portanto a constante de gás
perfeito do ar é R  287,1 J kgK  e a razão de calores específicos é   1,354 ;
contudo, como primeiro exercício, pode assumir   1,4 , se achar que isso facilita o
cálculo.
a) Qual o comprimento máximo da conduta, compatível com as condições
referidas, sem haver onda de choque?
b) Calcule a pressão que se atinge na secção de saída da conduta se o
comprimento for máximo. Quais os valores da pressão exterior compatíveis
com esse comprimento?
c) Determine as condições de pressão e temperatura do escoamento 0,2 m à
frente da secção inicial referida neste problema.
d) Alguma coisa se alterava no escoamento se a tubagem fosse cortada nessa
secção, 0,2 m à frente da secção inicial, e a pressão exterior fosse idêntica à
calculada na alínea anterior? E se a pressão exterior fosse idêntica à calculada
na alínea b)?
e) Na hipótese da alínea anterior, de a tubagem ser cortada na secção 0,2 m
adiante da secção inicial, qual é a gama de pressões exteriores compatíveis
com a pressão e temperatura referidas no cabeçalho deste problema?
Resposta: O número de Reynolds à entrada é Re  1,037  106 , o factor de atrito é
f  0,01719 , o número de Mach na secção inicial é M1  1,524 (ou M1  1,499 ,
usando   1,4 ); o comprimento máximo é aquele para o qual se atingem condições
sónicas à saída: L  0,8980 m (ou L  0,8944 m , usando  e M 1 aproximados).
Com esse comprimento máximo, atinge-se à saída escoamento sónico com
temperatura e pressão: T *  959,2 K ; p *  6,676 106 Pa (ou T *  966,3 K ;
p*  6,590 106 Pa , usando M 1 e  aproximados).
Na secção 0,2 m à frente da secção inicial a distância à secção crítica é 0,2 m menor.
O número de Mach é M 2  1,436 (ou M 2  1,411 , usando valores aproximados); a
pressão
e
temperatura
são
(ou
p2  4,316 106 Pa ;
T2  827,0 K
6
p2  4,382 10 Pa ; T2  823,2 K , usando M 2 e  aproximados).
Se a conduta fosse cortada nessa secção e a pressão exterior fosse igual a p2 acabada
de calcular ( p2  4,316 106 Pa ), nada se alterava e o escoamento saía em jacto
supersónico nas mesmas condições da secção b).
Se a conduta fosse cortada e a pressão exterior fosse maior (concretamente a da alínea
b), nada se alterava até imediatamente antes da secção de saída, mas haveria uma
onda de choque fraca já no exterior. Para a pressão exterior da alínea b),
pext  6,676  10 6 Pa , a onda de choque seria fraca, como se verá mais claramente ao
resolver a alínea seguinte.
As condições do enunciado para a secção a) só são possíveis para pressões exteriores
inferiores à de uma onda de choque frontal mesmo na saída, isto é, para pressões
pext  5,083 106 Pa (ou pext  5,053 106 Pa , usando M 2 e  aproximados). Os
passos intermédios são os seguintes: como se viu, o número de Mach à saída é
M 2  1,436 (ou M 2  1,411 , usando valores aproximados) e, portanto, a pressão
depois da onda de choque frontal é p2  4,316 106 Pa  2,222  9,593  106 Pa (ou
p2  4,382 106 Pa  2,157  9,452  106 Pa , usando M 2 , p2 e  aproximados).
Problema 6 – Considere um escoamento de vapor de água alimentado, através de
uma tubeira convergente, a partir de uma caldeira com temperatura T0  800 K e
pressão p0  4,0 106 Pa . A viscosidade cinemática do vapor é   1,2  106 m 2 s .
O escoamento ocorre numa conduta de diâmetro constante, D  0,10 m (com este
diâmetro a área é A  7,8540  103 m 2 ). A extremidade da conduta oposta à caldeira
descarrega directamente para a atmosfera, a qual tem condições de pressão e
temperatura normais ( pext  1,013 105 Pa , Text  288,2 K ). Admita que a conduta
está isolada termicamente e a rugosidade da parede interna do tubo é   1  10 5 m .
a) Utilize as seguintes propriedades do vapor de água para estimar a respectiva
constante de gás perfeito, R , e a razão de calores específicos,  .
Entalpia específica, h , e energia interna específica, u , do vapor:
h  3214 kJ kg , u  2921 kJ kg
4,0 106 Pa e 400 C :
6
h  3445 kJ kg , u  3099 kJ kg
4,0 10 Pa e 500 C :
h  3674 kJ kg , u  3279 kJ kg
4,0 106 Pa e 600 C :
Atenção: valores em kJ/kg.
b) É possível que haja uma onda de choque dentro da conduta? São possíveis
ondas de expansão à saída? A temperatura do vapor pode diminuir ao longo
da conduta? A velocidade do vapor vai aumentando desde a caldeira até à
saída? A pressão na conduta pode aumentar?
c) Represente num gráfico as possíveis evoluções de pressão estática ao longo da
conduta, supondo que a pressão na caldeira se mantém e a pressão de saída é
variada, desde o vácuo até uma pressão igual à da própria caldeira.
d) Determine o caudal de ar e o comprimento da conduta para ter escoamento
sónico à saída da conduta sem haver onda de expansão no exterior.
Para efeitos de estimativa do número de Reynolds, pode considerar que a
velocidade média ao longo da conduta é 400 m s .
e) Determine o comprimento máximo da conduta compatível com metade do
caudal estimado na alínea anterior, e com a pressão exterior indicada.
Para efeitos de estimativa do número de Reynolds, pode considerar que a
velocidade média ao longo da conduta é 400 m s .
f) Determine a temperatura e a pressão do vapor para esse comprimento, na
secção de saída.
Resposta: Num gás perfeito, as diferenças de entalpia específica e de energia interna
específica são proporcionais às diferenças de temperatura: h  C p T e h  Cv T .
Assim, derivando numericamente, as propriedades do vapor de água àquela pressão e
temperatura são:
2290  C p  2310 J kgK  ;
C p  2300 J kgK  ;
valor médio no intervalo:
1780  Cv  1800 J kgK  ;
valor médio no intervalo:
Cv p  1790 J kgK  ;
valor médio no intervalo:
490  R  530 J kgK  ;
R  510 J kgK  ;
1,272222    1,297753 ;
  1,2849 .
valor médio no intervalo:
Uma vez que o escoamento acelera numa conduta só convergente, o número de Mach
será sempre inferior a um. Portanto, não pode haver onda de choque, mas são
possíveis ondas de expansão à saída.
Como o escoamento é subsónico, a temperatura e a pressão estática do vapor
diminuem ao longo da conduta, e a velocidade aumenta até à saída.
Obtém-se o caudal máximo no limite de um comprimento da conduta nulo. Nessa
altura, o escoamento acelera isentropicamente desde as condições de estagnação do
reservatório até à saída. Se a pressão exterior for maior que a pressão crítica,
p*  2,194 106 Pa , o escoamento sai em regime subsónico à pressão exterior; se a
pressão exterior for menor ou igual à pressão crítica, o escoamento à saída é crítico,
com ondas de expansão depois da saída. Neste caso, a pressão crítica é maior que a
pressão exterior, pelo que o escoamento é sónico e o caudal mássico é
  32,68 kg s .
m
Para os cálculos com atrito é necessário determinar o coeficiente de atrito. O número
de Reynolds é Re  3,3  107 e a rugosidade relativa é  D  104 , pelo que o
coeficiente de atrito é f  0,01204 . O caudal é máximo sem haver onda de expansão
se o escoamento for sónico à saída e a pressão igual à pressão exterior:
p2  pext  1,013 105 Pa . Como o escoamento é sónico, a partir de p2 pode
calcular-se a pressão de estagnação isentrópica à saída: p02  p0*  1,847 105 Pa . Na
entrada da conduta, a pressão de estagnação isentrópica é a do reservatório:
p01  4,0  106 Pa . Da relação p01 p0* retira-se o número de Mach na secção de
entrada: M1  0,02708 . A distância da secção 1 até à saída, crítica, é L  66170 m . O
caudal da alínea anterior pode calcular-se facilmente a partir das condições na secção
de entrada: M1  0,02708 ; p1  3,9981105 Pa ; T1  799,9 K ; 1  9,800 kg m3 ;
  1,509 kg s .
c1  724,0 m s ; v1  19,61 m s . O caudal mássico vem: m
  0,7546 kg s . Com as mesmas condições de estagnação à
Metade desse caudal é m
entrada e este novo caudal, o número de Mach à entrada passa a ser M1  0,01354 .
Confirmemos o resultado: p1  3,9995 105 Pa ; T1  799,98 K ; 1  9,803 kg m3 ;
c1  724,0 m s ; v1  9,800 m s : efectivamente, o caudal vem, como esperado,
  0,7546 kg s . Com este número de Mach ( M1  0,01354 )
m
à entrada, a distância dessa secção 1 até à secção crítica (virtual), é L*1  24.663 m e a
pressão crítica (virtual) é p *  5,065 104 Pa . A pressão à saída é
p2  pext  1,013 105 Pa e portanto a relação entre esta pressão e a pressão crítica
(virtual) é p2 p *  2,000 , donde o número de Mach à saída é M 2  0,5243 e a
distância da secção 2 à secção crítica (virtual), é L*2  5,755 m . Por diferença, obtémse o comprimento da conduta: L  L*1  L*2  24.657 m .
À saída, como se disse, é p2  pext . Como o escoamento é adiabático, a temperatura
de estagnação mantém-se ao longo da conduta e, dado o número de Mach M 2 , a
temperatura à saída vem T1  769,9 K .