Z - DECOM

EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 26
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Consideremos agora que o fluxo produzido por
um bobina (indutor) atravesse uma outra
bobina.
Esta aula:
Indutores acoplados e Indutância mútua
Transformador linear
Transformador ideal
A variação temporal do fluxo da primeira
bobina induzirá uma tensão na segunda bobina
Indutores Acoplados e Indutância Mútua
Indutor:
Fluxo magnético é produzido pela
passagem de corrente elétrica (contínua ou
variante no tempo) – fluxo é proporcional à
corrente.
Campo magnético variável induz tensão no
indutor, proporcional à variação temporal
do fluxo:
v(t ) = L
di (t )
.
dt
v2 (t ) = M 21
di1 (t )
dt
e
v1 (t ) = M 12
di2 (t )
dt
Podemos mostrar que:
M 12 = M 21 = M (indutância mútua)
M
Coeficiente de acoplamento k =
,
L1 L2
com 0 ≤ k ≤ 1
em que L é a indutância própria
Esta Nota de Aula foi preparada (incluindo as figuras) com base
no capítulo 13 do livro Análise de Circuitos em Engenharia,
Hayt, Kemmerly e Durbin, 7a. edição, McGraw Hill.
A polaridade da tensão induzida devido à
indutância mútua depende da combinação dos
fluxos magnéticos produzidos pelas bobinas.
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O fluxo φ1 (t ) produzido
por i1 (t ) na primeira
bobina é para baixo (regra
da mão direita).
O fluxo φ2 (t ) produzido
por i2 (t ) na segunda
bobina também é para
baixo.
Da mesma forma,
v2 (t ) = L2
di2 (t )
di (t )
+M 1
dt
dt
Usamos pontos para indicar no circuito a forma
de combinação (soma ou subtração) dos fluxos
entre duas bobinas acopladas.
Portanto, os fluxos se somam, em ambas
bobinas.
Tensão induzida na primeira bobina:
Devido à corrente i1 (t ) (fluxo próprio):
di1 (t )
dt
Devido à corrente i2 (t ) (fluxo acoplado):
di (t )
v12 (t ) = + M 2
dt
pois o fluxo φ2 (t ) se soma ao fluxo φ1 (t )
v11 (t ) = L
Uma corrente entrando pelo terminal
pontuado de uma bobina induz uma tensão de
circuito aberto com referência positiva no
terminal pontuado da outra bobina
Portanto:
v1 (t ) = L1
di1 (t )
di (t )
+M 2
dt
dt
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Exemplos de situações de pontos em indutores
mutuamente acoplados:
Exemplo:
v1 (t ) = − L1
di1 (t )
di (t )
+M 2
dt
dt
v2 (t ) = − L2
di2 (t )
di (t )
+M 1
dt
dt
e
Com sinais senoidais, ficamos com:
V1 = − jω L1I1 + jω M I 2 ,
V2 = − jω L2 I 2 + jω M I1.
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Impedância de entrada: é a impedância vista
pelo gerador VS , ou seja
Transformador Linear
Z ent =
VS
I1
As equações de malha são:
VS = Z11I1 − jω M I 2
Z L = RL + jX L é a carga,
0 = − jω M I1 + Z 22I 2
L1: indutor primário,
L2: indutor secundário,
R1 e R2: resistências dos fios das bobinas.
em que:
Z11 = R1 + jω L1
Transformador linear: núcleo das bobinas é
feito de material que resulta em uma relação
linear entre a corrente da bobina e o fluxo
produzido.
e
Z 22 = R2 + jω L2 + Z L
Usando as equações acima, chegamos a
Z ent = Z11 +
Materiais magnéticos não levam a
transformadores lineares, pois o uso de tais
materiais leva a uma relação não-linear entre a
corrente e o fluxo magnético.
ω 2M 2
Z 22
Note que a impedância de entrada independe da
posição dos pontos nos indutores;
Se mudarmos a posição de um ponto,
mudamos M por (− M ) na equação da
segunda malha.
No entanto, sem esses materiais magnéticos no
núcleo, o coeficiente de acoplamento não passa
de alguns décimos.
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Impedância refletida:
2) Reflexão da reatância do secundário:
Z ref =
ω M
2
2
Z 22
Escrevendo Z 22 = R22 + jX 22 , e racionalizando
Z ent , temos
Z ent = Z11 +
= Z11 +
ω 2M 2
A reatância do secundário X 22 reflete para o
circuito primário com sinal oposto àquele no
secundário.
Note que X 22 = ωL2 + X L pode ser positivo ou
negativo, dependendo da natureza da carga Z L .
R22 + jX 22
ω 2 M 2 R22
R222 + X 222
jω 2 M 2 X 22
− 2
R22 + X 222
Duas conclusões importantes:
1) Aumento da perda no circuito primário
devido ao circuito secundário:
O termo
ω 2 M 2 R22
2
2
R22
+ X 22
é sempre positivo e soma à
R1 , causando aumento da perda no circuito
primário
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Transformador Ideal
É uma aproximação usada para descrever
transformadores em que:
• Os enrolamentos (indutores) são fortemente
acoplados (k ≈ 1),
• As reatâncias indutivas do primário e do
secundário são muito maiores que as
impedâncias terminais
Definimos a relação de número de espiras como
N2
=a →
N1
L2
= a2
L1
Consideremos o seguinte circuito, com um
transformador ideal
Essas características são observadas em
transformadores bem projetados.
Consideraremos também que a indutância
própria da bobina é proporcional ao quadrado
do número de espiras.
As equações das duas malhas são
Portanto, no desenvolvimento a seguir
adotaremos:
Coeficiente de acoplamento é unitário (k =
1)
Indutância própria é proporcional ao
quadrado do número de espiras N
Reatâncias do primário e do secundário são
muito maiores que as impedâncias
terminais e as resistências das bobinas
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V1 = jωL1I1 − jω M I 2 ,
e
0 = − jω M I1 + (Z L + jωL2 )I 2 .
A impedância de entrada é dada por,
Z ent =
V1
I1
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Exemplo: N1 = 100 e N 2 = 10000
Usando as equações de malha, além das
hipóteses (transformador ideal):
Coeficiente de acoplamento k = 1,
L2 = a 2 L1,
chegamos à
Z ent
a=
Portanto:
Um capacitor de 10µF na carga aparece
como um capacitor de 100mF no circuito
primário (aumenta a capacitância).
Um indutor de 30 mH na carga aparece
como um indutor 3µH no circuito primário
(diminui a indutância, o mesmo valendo
para o caso de resistência).
ω 2 a 2 L12
.
= jωL1 +
2
Z L + jωa L1
Manipulando essa expressão, ficamos com
Z ent =
ZL
ZL
jωL1
+a
N2
= 100 .
N1
.
2
Lembrando que estamos assumindo que as
reatâncias dos enrolamentos são muito maiores
que as impedâncias terminais, então
Z ent =
ZL
.
a2
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V2
I
N
= a2 2 = a = 2
V1
I1
N1
Relação entre tensões e entre correntes
Das equações de malha,
Portanto:
V1 = jωL1I1 − jω M I 2 ,
0 = − jω M I1 + (Z L + jωL2 )I 2 ,
V2 N 2
=
V1 N1
podemos escrever
I2
jω M
=
.
I1 Z L + jωL2
e
I 2 N1
=
I1 N 2
Note que V2 I *2 = V1I1*, ou seja, em um
transformador ideal há conservação de potência
complexa entre o primário e o secundário.
Lembrando que a reatância do secundário é
muito maior que a impedância da carga, então
I 2 jω M
L1 1
=
=
=
I1 jωL2
L2 a
Ou
I1 N1 = I 2 N 2
Usando agora V2 = I 2 Z L e
V1 = I1Z ent = I1
ZL
a2
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