v - DECOM

EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 10
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 10
Capacitor: corrente é proporcional à taxa de
variação temporal da tensão:
Esta aula:
! Associação de capacitores e indutores.
Indutor: Tensão é proporcional à taxa de
variação temporal da corrente:
i (t ) = C
dv(t )
dt
1
v(t ) =
C
t
∫ i dt
+ v(t 0 )
t0
!
Carga
Acumulada
di(t )
1
v(t ) = L
→ di(t ) = v(t ) dt
dt
L
Características:
• Variação da tensão em um capacitor induz
uma corrente entre seus terminais
• Para tensão constante, capacitor é um curtocircuito.
• Capacitor armazena energia no campo
elétrico, mesmo quando a tensão é constante.
• Variação abrupta de tensão não são
permitidas (pois requer corrente infinita)
• Um capacitor ideal não dissipa energia,
apenas armazena-a.
t
1
i (t ) = ∫ v(τ ) dτ + i (t 0 )
L t0
Características:
• Variação da corrente que atravessa um
indutor induz tensão entre seus terminais
• Corrente constante: indutor é um curtocircuito
• Indutor armazena energia no campo
magnético, mesmo quando a corrente é
constante
• Variação abrupta de corrente não são
permitidas (pois requer tensão infinita).
• Um indutor ideal não dissipa energia, apenas
armazena-a.
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Associação em série de indutores
i v1
vS
v2
L1 L2
Associação em paralelo de indutores
vN
LN
vS
i
Leq
iS
v
i1
i2
iN
L1
L2
LN
iS
v
iS
Leq
Vamos aplicar a LKC no nó (único) do circuito
da esquerda:
Estamos interessados em determinar o valor da
indutância equivalente Leq . Aplicando a LKT
no circuito da esquerda, temos:
N
N
t
1
iS = ∑ in = ∑ ∫ v(τ ) dτ + in (t0 )
n =1
n =1 Ln t 0
vS = v1 + v2 + ! + v N
t
di
di
di
= L1 + L2 + ! + LN
dt
dt
dt
di
= (L1 + L2 + ! LN ) .
dt
N
(N 1%
= &∑ # ∫ v(τ ) dτ + ∑ in (t0 )
n =1
' n =1 Ln $ t0
Para o circuito da direita temos:
t
1
iS =
v(τ ) dτ + iS (t0 ) .
Leq t∫0
Aplicando a LKT agora para o circuito da
esquerda, temos
Note que a LKC requer que no instante t 0 a
soma das correntes nos ramos seja igual à
iS (t0 ). Portanto, resulta que, para associação
em paralelo de indutores,
di
vS = Leq .
dt
Portanto, para associação em série de
indutores:
Leq = L1 + L2 + ! LN .
1
1 1
1
= + +!
Leq L1 L2
LN
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i
vS
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Associação em série de capacitores
v1 v2
vN
C1 C2
Associação em paralelo de capacitores
i
CN
vS
Ceq
N
v
i2
iN
C1
C2
CN
iS
v
iS
Ceq
Finalmente temos:
Para o circuito da esquerda, temos:
N
iS
i1
t
1
vS = ∑ vn = ∑ ∫ i (τ ) dτ + vn (t0 )
n =1
n =1 Cn t 0
iS = i1 + i2 + ! + iN
dv
dv
dv
+ C2 + ! + C N
dt
dt
dt
dv
= (C1 + C2 + !C N ) ,
dt
= C1
t
N
(N 1%
= &∑ # ∫ i (τ ) dτ + ∑ vn (t0 )
n =1
' n =1 Cn $ t0
Para o circuito da direita, vale:
e
t
1
vS =
i (τ ) dτ + vS (t0 )
Ceq t∫0
iS = Ceq
Note que a LKT impõe que no instante t 0 a
soma das tensões nos capacitores seja igual à
vS (t0 ). Portanto, resulta que, para associação
em série de capacitores,
dv
dt
Portanto, para associação em paralelo de
capacitores:
Ceq = C1 + C2 + !CN .
1
1 1
1
= + +! .
Ceq C1 C2
CN
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Consideremos agora um circuito que contenha
os tres tipos de bipolos passivos que
conhecemos, como mostrado abaixo.
C1
vS
L
R
v1
iL
vS
C2
v2
iS
Ref
Todos os métodos de análise que estudamos até
agora são válidos na análise desse circuito.
Por exemplo, podemos aplicar a análise nodal,
tomando os nós indicados na figura, obtendo as
equações diferenciais-integrais:
t
1
v1 − v2
dv2
(
v
−
v
)
d
τ
+
i
(
t
)
+
+
C
=0
1
S
L 0
2
L t∫0
R
dt
C1
d (v2 − vS ) v2 − v1
+
− iS = 0
dt
R
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