UTFPR UTFPR 2.0 LIMITES limite (latim limes,

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2.0 LIMITES
limite
(latim limes, -itis, caminho, raia, fronteira, atalho)
1. Linha que separa superfícies ou terrenos contíguos (Mais usado no plural.) = ESTREMA,
FRONTEIRA, RAIA
2. Momento ou espaço que corresponde ao fim ou ao começo de algo. = CONFIM,
EXTREMO
3. Termo, meta.
4. [] Quantidade fixa de que uma variável se aproxima indefinidamente sem nunca a alcançar.
5. Que atingiu um ponto máximo ou extremo (ex.: data limite, valor limite). [Como, pode ser
ligado por hífen ao substantivo que qualifica (ex.: ponto-limite).]
fonte:http://www.priberam.pt/dlpo/default.aspx
•
HOFFMANN ( 2002, p.47), o conceito de limite , está relacionado o que acontece a
função
f  x =
x 2x −2
quando se x aproxima de 1, sendo que esta função não é
x−1
definida no ponto x=1.
•
Para ter uma idéia da situação e calculando f(x) para valores de x que se aproximam
cada vez mais de 1, tanto pela esquerda como pela direita.
•
Construa uma tabela de x se aproximando pela esquerda e pela direita de 1.
Limite : Se f(x) se aproxima de um número L quando x se aproxima de um número c
tanto pela esquerda como pela direita, L é o limite de f(x) quando x tende a c, que é
f  x
abreviado como : lim
x c
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Cálculo de limites
3
3x −4x8
exemplo 1: lim
=
x −1
3x 3−8
exemplo 2: lim x −2 =
x0
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x1
lim
x−2 = não existe
exemplo 3:
x 2
x 2−1
exemplo 4: lim x 2−3x2 = resposta : -2
x1
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 x −1
exemplo 5: lim x −1 = resposta : ½
x1
Definição de Limite: GUIDORIZZI(2001, p.72)
•
Sejam f uma função e (a) um ponto do dominio de f ou extremidade de um dos
intervalos que compõem o dominio de f.
•
Escreve-se que f tem limite L , em (a), se para todo ϵ> 0 dado, existir um δ>0
tal que , para todo
x ∈ D f , 0<∣x−a∣<δ
→
Tal numero L, que quando existe é único, será indicado por
lim f ( x) =L
∀ ϵ>0, ∃δ>0 tal que, para todo
←→
x→ a
0<∣x−a∣<δ
→
∣ f (x )− L∣<ϵ .
lim f ( x) . Assim
x→ a
x ∈D f
∣ f (x )− L∣<ϵ
Forma indeterminadas
CUNHA ( 1990, p. 173), no calculo do limite de uma função aparecem os simbolos de
indeterminação:
0/0
∞
∞
∞−∞
0∗∞
00
1∞
0
∞
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2.1 EXERCICIOS
a) variável tende para um valor finito
1) Determine o limite indicado, caso exista:
3x 2−5x2
lim
a)
x2
2
 x −1  x1
c) lim
x3
2x3
e) lim x 1
x1
x 3−2x 2 x−3
lim
b)
x −1
x1
lim
x2
d)
x 2
f)
2x +3
lim x−3
x →3
9−x 2
g) lim x −3
x3
x 2x 6
h) lim x −2
x2
 x−1
2
i) lim
x
x 0 mais
x 2−x −6
j) lim x 2+ 3x+2
x →−2
x
x 24x−5
l) lim x 2−1
x1
 x −3
n) lim x −9
x9
x 210x21
O) lim
x3
x −3
 x −2
m) lim x −4
x4
x 4x 3 2x 2x−1
n) lim
x1
x −1
p) lim
 x 8− 3
x5
x −5
x−6
lim
q)
1− 13−2x
x6
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2) STEWART( 2011, p.95-96) Calcule o limite, se existir:
2
2
x + x−6
a) lim x−2
x →2
c) lim
x −x +6
b) lim x−2
x →2
√ x +2−3
x−7
x →7
R:1/6
x 3−1
e) lim x 2−1
x →1
1 1
+
4
x
g) lim
R:-1/16
4+ x
x →−4
d)
9−t
lim 3−√ t
t →9
x 4−16
f) lim x−2
x →2
h)
x 2−81
lim √ x−3
x →9
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b) a variável tende para um valor infinito
3) STEWART(2013, p.130) Um tanque contem 5000 de litros de agua pura. Agua salgada
contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 25
litro/minuto. A concentração de sal depois de t minutos ( em gramas por litro) é
C (t)=
30t
. a) o que acontece com a concentração quando t →∞ ?
200+t
solução : quantidade de agua no tanque= 5000+25t , como contem 30 g de sal por litro
multiplica-se 30*25t=750t , então a concentração de sal sera a seguinte proporção :
quantidade que entra de agua salgada sobre a quantidade existente de agua no tanque
750t
5000+ 25t
4) STEWART(2013, p.130) A velocidade v(t) de uma gota e chuva caindo no instante t é :
v (t )=vf ∗(1−exp (
−g∗t
))
vf
onde g é a aceleração da gravidade e vf é a velocidade final
gota.
a) Encontre lim v t(t→ ∞) .
b)Faça o grafico de v(t) se vf=1 m/s e g=9,8m/s 2. Quanto tempo levará para a velocidade da
gota atingir 99% de sua velocidade final?
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Resposta: a) vf
b) faça v(t)=0,99vf e aplique logaritmo
6) STEWART(2011, p.128)Encontre o limite:
1
lim
a)
2x +3 R:zero
x →∞
x+2
b) lim 9x 2 +1 R: 1/3
x →∞
x + √ x +2x
c) lim
R:-1
x →−∞
1−exp(x )
lim
d)
1+2exp ( x ) R:-1/2
x →∞
2
2x2 −3x−4
6x34x 21
e) lim 2x 3−4
x ∞
f)
6x 22
g) lim 2x3
x −∞
x +√ x
h) lim
R ∞
x →∞
lim
 x 41
x ∞
2
2
i) lim √ x+ ax − √ x + bx R:(a-b)/2
x →∞
7) Apostila Calcule os limites indicados:
(a) lim
x  
(b) lim
x  
(c) lim
x →+∞
x3
2x2  6
4x  3
2 x
√ x 2 +1−x
x2  x  x
(d) xlim

(e) xlim
 
1
x
2
(f) xlim
 
Resposta: 0
Resposta: 2
Resposta: 0
Resposta: 1/2
Resposta: 0
1
x
x  x2  4
(g) xlim
 
Resposta: 2
Resposta:

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x  x 2 1
(h) xlim

(i) lim
x  
(j) lim
x  
Resposta: 0
x2  x  1
x 1
2
x  x 1
x 1
Resposta: 1
Resposta:-1
c) limites de funções trigonométricas
Teorema: Limite Trigonométrico Fundamental: lim
x 0
sen x
1
x
Uma demonstração: No círculo trigonométrico (o raio é a unidade), seja ÂM um arco de x

radianos, com 0  x  . Na figura a seguir: x  Aˆ M , sen x  PM e tg x  AT .
2
Lembre-se:
1
 Base  Altura
2

A 

ASetor 
1
 ( Raio) 2  Arco
2
Observe que o triângulo oAM está contido no setor circular oAM , o qual por sua vez está
contido no triângulo oAT .
Assim, podemos afirmar que:
área Δ oAM Δ área setor oAM Δ área oAT
isto é:
1
1
1
 oA  PM   (oA) 2  x   oA  AT
2
2
2
Mas,
oA  1
Logo:
PM  x  AT
ou,
sen x  x  tg x
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Dividindo termo a termo por sen x, temos:
sen x
tg x
x
x
1


1

sen x sen x sen x
sen x cos x
Tomando os inversos e invertendo a desigualdade, ficamos com:
1
sen x
sen x
 cos x  cos x 
1
x
x
Sabemos que, quando x  0, cos x  1.
Então, para x tendendo a zero,
sen x
permanece entre cos x e 1
x
E, portanto:
lim
x0
sen x
1
x
(c.q.d)
A seguir, construímos um quadro para confirmar o que acabamos de demonstrar:
x (em radianos)
 2,0
 1,0
 0,5
 0,2
 0,1
 0,001
...
x 0
f ( x) 
sen x
x
0,4546
0,8414
0,9588
0,9933
0,9983
0,9999
...
f(x)  1
sen x
=1 .
x
x →0
Assim, quando x 0 (em radianos), temos que: f(x)  1, ou seja, lim
Exemplos:
x
.
a) Calcule lim
x0 sen x
x
1
1
1
lim
 lim

 1
sen x 1
Solução: x0 sen x x0 sen x
lim
x 0
x
x
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tg x
.
x
b) Calcule lim
x →0
Solução:
sen x
 sen x 1 
 sen x
tg x
1 
sen x
1
1
cos x
  lim
lim
 lim
 lim 
   lim 

 lim
 1  1
x 0
x 0
x 0 cos x x
x 0
x 0
x 0 cos x
x
x
cos x 
x
1


 x
c) lim
x 0
sen 3 x
sen u
 lim
 1.
u

0
3x
u
Nota: u  3 x, x  0  u  0
sen kx
sen u
 lim
 1,  k  * .
d) lim
x 0
u

0
kx
u
Nota: u  kx, x  0  u  0
e) lim
x 0
sen 2 x
sen x sen x
 lim

 1.
2
x 0
x
x
x
f) Calcule lim
x 0
1  cos x
.
x
Solução:
(1−cos x ) ( 1+cos x )
(1−cos 2 x )
1−cos x
sen2 x
lim
=lim
⋅
=lim
=lim
=
x
x
( 1+cos x ) x →0 x⋅( 1+ cos x ) x →0 x⋅(1+ cos x )
x →0
x →0
(
)
(
) (
)
 sen x
 sen x 
sen x 
sen 0
0
 sen x 
  lim 

  1

 1
 1 0  0
  lim
x

0
x

0
x
1  cos x 
x 
1  cos 0
11


 1  cos x 
lim 
x 0
sen 3 x
.
5x
sen 3 x
3
3
3
 sen 3 x 3 
 sen 3 x 
 lim 
    lim 
  1 
Solução: lim
x 0
x

0
x

0
5x
3x
5
5
3x 
5
5


g) Calcule lim
x 0
Resumo
lim
sen x
 1.
x
lim
tg x
. =1
x
x 0
x →0
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Fonte:http://www.vadenumeros.es/imagenes/primero/formulas-trigonometricas.gif
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8) (APOSTILA) Calcule os seguintes limites
sen 3x
2x
sen x
b) lim
x  0 4x
tg 2 x
c) lim
x  0 3x
sen 4 x
d) lim
x  0 sen 3x
a) lim
x 0
l)
n)
o)
p)
1  cos x
f) lim
x 0
x
1  cos x
g) lim
x  0 x. sen x
1  sec x
h) lim
x 0
x2
tgx  sen x
i) lim
x 0
x
q)
r)
s)
sen x  cos x
π
1  tgx
x
t)
lim
j)
4
k) lim
x 0
u)
tgx  sen x
sen 2 x
s) * π−x=u
π
x
4
x  sen x
x  sen x
x  sen 2 x
lim
x  0 x  sen 3x
cos 5x  cos 3x
lim
x 0
sen 4 x
sen 3x  sen 2 x
lim
x 0
sen x
sen( x  a )  sen a
lim
x 0
x
cos( x  a )  cos a
lim
x 0
x
x
1  sen
2
lim
xπ
πx
1  cos 2 x
lim
x 0
3x 2
tgx  senx
lim
x 0
x3
m) lim
x 0
tg3x
lim
x  0 tg 5 x
e)
cos 2 x
cos x  sen x
lim
aplique a subtração de arcos, aplique o conjugado, limite fundamental trigonométrico.
n) divida por 2x e 3x e coloque em evidencia
t) conjugado de 1-cos(2x)
j) substitua tgx por sen(x)/cos(x)
o) transformação em produto
Respostas:
a
b
c
d
e
f
g
3
2
1
4
2
3
4
3
3
5
0
1
2
l
m
n
o
p
q
r
2
0
1

4
0
1
cos a  sen a
h

1
2
i
2
s
t
0
2
3
j

k
2
2
0
u
1/2
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d) limites de funções exponenciais e logarítmicas

O Número “e”.


Esse número é a base do sistema de logaritmos naturais ou neperianos. O número e pode ser obtido por meio de uma sucessão notável (sucessão de Euler), cujo
termo geral é:
1

an   1  
n

n
Tomando alguns valores naturais, para exemplificar, temos:
1
 n  1  a1   1  
1
2
1

1
 n  2  a 2   1  
2
1
 n  3  a3   1  
3
1
 n  5  a5   1  
5

 2,25
2

 2,37037037...
3

 2,48832
5
 n  10  a10   1 

1 

10 
 n  100  a100   1 

 n  1.000  a1.000
10
 2,59374246...
1 

100 
100
 2,704813829...

1 
  1

1.000 

 n  10.000  a10.000   1 

...
 2,716923932...
1


10.000 
 n  100.000  a100.000   1 

1.000
10.000
 2,718145927...
1


100.000 
100.000
 2,71818268237... , e assim por diante.
 n    an  e , ou seja:
Notamos que aumentando o valor de n, infinitamente, an tende ao valor aproximado de 2,718182..., ou ainda:
1

lim  1  
x  
x

x
 e  2,7182818284590...
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Limite Exponencial Fundamental Teorema: lim  1 
x 

1

x
x
 e  2,718281828.......
Lembre­se: O número “e” é irracional.
Dois limites podem ser obtidos como conseqüência do limite exponencial fundamental.
Primeira Conseqüência: lim 1  x 
1
x
x0
De fato, fazendo u 
e
1
1
  x , e observando que quando x  0  u   , ficamos com:
x
u
lim 1  x 
1
x
x 0

1
 lim  1  
u 
u

u
e
que é o próprio limite exponencial fundamental.

Segunda Conseqüência: lim
x0
ex  1
1
x
Fazendo e x  1  u  e x  u  1  x  ln(u  1) , e é evidente que quando x  0, u  0. Daí,
 ex 1 
  lim
lim 
x 0
 x  u 0



u

  lim
 ln (u  1)  u 0
1

lim  ln(1  u)
u 0



1
u









1

  lim 
u 0
 1  ln(u  1) 


 u

1


ln lim  (1  u)
 u 0


1
u
 
 


1
1
u
 
 ln(u  1) 



1 1
 1
ln e 1
 
 
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Exemplos:
1
x
a) Calcule lim 1  kx  , k  * .
x 0
Solução: Podemos escrever: 1  kx 
1
x
 1  kx 
k
kx

1
kx
k

  1  kx  


Fazendo kx  u , resulta que se x  0  u  0 portanto, ficamos com:
lim 1  kx 
1
x
x0
1


 lim  1  u  u 
u 0


k
 ek
ln x
. x 1
Solução: Façamos u  x  1  x  u  1.
b) Calcule lim
x1
Quando x  1  u  0, logo:




 ln x 
 ln (u  1) 
 1

 lim 
 lim  ln (u  1)   lim  ln (u  1) u   ln  lim (u  1) u   ln e  1.


x 1 x  1
u 0
u

 u 0 
 u 0  u
 u 0 



1
1
lim 
8)APOSTILA Calcule os seguintes limites:
1 n+2
(a) lim 1+
n
n→ ∞
3 n
b) lim 1+
n
n→ ∞
x
x
lim
(c)
* inverte a fração
1+ x
x→ ∞
5 x+1
lim
1+
(d)
x
x→ ∞
(
(
(
(
(e) lim
)
)
)
)
(1+ sen x )
x→ π
Respostas: (a) e
1
sen x
(b) e3
(c) e-1
(d) e5
(e) e
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9) APOSTILA Mostre que:
4
x
(a) lim(1  3 x)  e12
x 0
1
(b) lim(1  2x ) x  e 2
x 0
(c) lim 1  x 
x 0
3

1
x
1
 e3  3 e
1
x
(d) lim 1  4x 
x 0

7 
4
 e7
1
1
e
(e) lim(1  x ) x  e 1 
x 0
(f) lim 1  x 
x 0
1
x


1
 e 

e
10)APOSTILA Calcule os limites abaixo:
(a)
(b)
lim
ln  2  x 
lim
ln  3  x 
x 1
x 2
x+1
x+2
 Fazer
x+ 1 = u 
 Fazer
x+ 2 = u 
2x  1
x
x 0
(c) lim
esenx  1
senx
x 0
(d) lim
(e) lim
x 0
ln  1  x 
2
x
ln x 3
x 1 x  1
(f) lim
(g) lim
x 0
 1+senx  cos sec x
( Fazer sen x = u)
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1
(h) lim  1+x x  4


x 4  5 
10x  1
(i) lim
x 0
(j)
5x  1
2
 1+ 
x
x  
lim

(dividir por x Num. e Den.)
x
Respostas: (a) 1
(b) 1
(h)
(c) ln 2
5
e
(d) 1
(e) 2
(f) 3
( g) e
(i) ln 10/ln 5 (j) e2
11) CUNHA (1990, p.176), calcule os limites se possível:
1 1
 − 2
lim
x x
a)
* coloque em evidência 1/x² R: −∞
x0

2x3
lim
b)
2x
x ∞

x
a bxc
1 
3/ 2
* divida a expressão por 2x e aplique lim
=e ab ( neperiano) R: e
x
x ∞
ln x
g) lim x−1 * substitua x-1=u e aplique a propriedade de logaritmo.R:1
x 1
x
2x


lim
j)
R:1
3−x
x ∞
l)
e x −1
lim x
* substitua o numerador pela variável u e isole x e aplique as propriedades de logaritmo.
x0
Resposta: 1
m)
lim (
x−1 x +1
)
R:1/4
x 2−1
x →1
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12) Se $ 1000 são investidos a juros de 9% capitalizados n vezes ao ano, o montante após 1
ano será de B(x)= 1000 ( 1+0,09x)1/x , onde x=1/n é o periodo de capitalização. Assim, por
exemplo, se n=4, o periodo de capitalização é de ¼ de ano, ou seja 3 meses. No caso da
chamada capitalização contínua de juros , o montante após 1 ano é dado pelo limite
lim B  x
. Faça uma tabela e estime o valor deste limite.
x  0 mais
x
B(x)
1
0,1
0,01
0,001
1090,00
1093,73
1094,13
1094,17
Seja o limite da função ( 1+0,09x)1/x , para x tendendo a zero , substituindo 0,09 x =1/a,
1 0,09∗a
1

então tem-se : lim
=e0,09
a
a∞
13) Uma toxina é introduzida em uma colônia de bactérias; t horas depois, a taxa de variação
da população da colônia é dada pela expressão
dP
4−t
=−ln 33
. Calcule o limite da taxa
dt
de variação quando o tempo tender para o infinito.
14) Uma árvore foi transplantada e x anos depois está crescendo à razão de
1
1
 x1 ²
metros por ano.
a) calcule o limite quando x=3
b) calcule o limite quando x tende ao infinito.
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e) limites laterais
FERREIRA(1991, p.23)
Limite a esquerda: lim f
(x)
x→a menos
x<a → x=a-h, onde h >0 é muito pequeno
( x ) x>a → x=a+h, onde h>0 é muito pequeno
Limite a direita: lim f x→a
mais
1) b) lim (3x+ 1)
a) Calcule: a) lim (3x+
x →2
x →2
menos
b)
mais
1−x 2 se x2
f  x =
, determine os limites laterais :
2x1 se2
c) lim
f x
=
x 2 mais
d) lim
f (x)
menos
x →2
13) FERREIRA (1991, p.23) Calcule , por mudança de variável, os limites laterais à esquerda
e à direita, respectivamente, das funções dadas nos pontos indicados:
a) y=2x+1 , em x=1
b) y=x2, em x=2
c) y=
1
, em x=3
x−3
1
d) y=2 x , em x=0
1
e) y=3 x−5 , em x=5
14) Calcule os limites laterais:
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a)
lim
 x 1−2
x −3
x 3 mais
b)
lim
c)
√ 2x−1−3
x−5
x →5mais
f  x =
2x 2−x se x3
3− x se3
lim
f x
=
x 3mais
lim
f x
x 3menos
1
se x−1
f  x = x−1
, determine os limites laterais :
2
x 2x se−1
d)
lim
f x
=
x −1mais
lim
f x
menos
x −1
respostas: a) ¼ b)1/3
c) 0; 15 d) -1; -1/2
f) CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
•
Para HOFFMANN (2002, p.57-61), contínuo significa que não tem interrupção.
•
Por exemplo crescimento de uma árvore.
•
A função contínua é aquela cujo gráfico que é traçado sem que a caneta se afaste do
papel.
FERREIRA(1991, p.50) seja f(x)=y uma função definida em um intervalo I e seja a
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pertencente a I. Diz-se que f' é contínua em x=a se
lim f ( x) = f (a) . Da decorrencia da
x →a
definição de função contínua em x=a, se e somente se, forem verificadas as seguintes
condições:
•
existe f(a)
•
f (x)
existe lim
( os limites laterais tem que serem iguais)
x →a
•
f ( x) = f (a)
existe lim
x →a
15) Mostre que o polinomio p(x)=3x³ -x +5 é contínuo no ponto x=1.
Solução:
•
Existe f(1)=7
•
lim f ( x) =7
x →1
•
lim f ( x) = f (1) é uma função contínua em x=1.
x →1
16) Mostre que a função racional
f  x =
x1
é continua em x =3.
x−2
f ( x)
solução: lim
= 4 e f(3)=4 , portanto é uma função contínua em x=3.
x →3
17) Discuta a continuidade das seguintes funções:
i)
f  x =
1
x
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ii) g x =
x 2−1
x 1
* em (-1;-2) é descontínua
iii) h(x)1=
x 1 se1
2−x se1
1 Função definida por partes
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-3
-2
-1
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5 0
-1
-1,5
-2
-2,5
* para x+1 apenas x<1
e para 2-x
1
2
3
4
2,5
2
1,5
1
0,5
0
5 -0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
x≥1
18) Para que valor da constante A a função a seguir é contínua para qualquer valor real de x?
f(x)=
Ax5 se x 1
resposta : A=-3
x² −3x4 se x1
Continuidade de um intervalo
•
Uma função f(x) é dita contínua em intervalo aberto a<x<b se for contínua para
todos os valores de x contidos no intervalo.
•
Uma função f(x) é dita contínua no intervalo fechado
ax b
se for contínua no
intervalo aberto a<x<b e se f(x) tender a f(a) quando x tender a (a) pela direita
( para a<x) e se f(x) tender a f(b) quando x tender a (b) pela esquerda ( para x<b).
19) Discuta a continuidade da função f(x)=
x2
x−3
no intervalo aberto -2 <x< 3 e no
intervalo fechado −2⩽ x⩽3 .
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solução:
•
A função racional f(x) é contínua para todos os valores de x, exceto x=3.
•
Assim, a função é contínua no intervalo aberto -2 <x< 3 , mas não no intervalo
fechado
−2⩽ x⩽3 , pois existe um descontinuidade no ponto x=3 ( denominador
nulo)
Propriedade do valor intermediário
•
Se f(x) é contínua no intervalo
ax b e L é um número entre f(a) e f(b) , existe
algum numero (c) entre (a) e (b) para o qual f(c)=L, significa que uma função
contínua assume todos os valores possíveis entre os dois dos seus valores.
•
Por exemplo uma menina que pesa 3 kg ao nascer e 40 kg ao fazer 15 anos deve ter
pesado exatamente 30 kg em algum instante da vida, sendo que o peso é uma função
contínua do tempo.
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Fonte:http://analisereal.wikispaces.com/­+Teorema+do+Valor+Intermedi%C3%A1rio
*STEWART(2011, p.114), uma das aplicações do teorema do valor médio é a localização das raízes de equações.
20) STEWART (2011,p.114) Mostre que existe uma raiz da equação
f (x )=4x3−6x2 +3x−2=0 entre 1 e 2.
solução:
•
seja
3
2
f (x )=4x −6x +3x−2=0 , o objetivo é encontrar uma solução da equação
dada, ou seja um numero c entre 1 e 2 tal que f(c)=0.
Com os valores a=1 e b=2 e N=0 ou y=N ( reta horizontal- “ fica em cima do eixo x'')
•
•
f(1)=-1 < 0 e f(2) =12 >0, e logo
•
f(1) <0 < f(2) , isto é , N=0 é um numero que esta entre f(1) e f(2).
•
Como f é contínua, o teorema do valor intermediário afirma que existe um numero c
entre 1 e 2 tal que f(c)=0.
•
Pode-se afirmar que a equação
f ( x )=4x3−6x2 +3x−2=0 tem pelo menos uma
raiz c no intervalo (1;2).
21) Mostre que a equação x² -x -1 =1/(x+1) tem uma solução para 1⩽x ⩽2 .
solução:
f ( x )=x 2 −x−1−
1
.
(x +1)
•
seja
•
Tem-se f(1)=-3/2 e f(2)=2/3.
•
Como f(x) é contínua para 1x 2 e o gráfico de f está abaixo do eixo x e no ponto
x=1 e acima do eixo x no ponto x=2, segue-se que , de acordo com a propriedade do
valor intermediário , o gráfico deve cruzar o eixo x em um ponto x=1 e x=2. t
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•
2
Portanto existe um numero c tal que 1<c <2 e f(c)=0 , tal que : c −c−1=
1
(c+1)
22) Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de x.
a) f(x) =5x² -6x +1 para x=2
* calcule os limites laterais e o lim f(x)=f(x)?
b)
f  x =x³ −2x²x−5 ; x=0
c) f  x =
x2
; x =1
x1
d) f  x =
x1
; x=1
x−1
e)
f  x =
f) f  x =
x1 se x2
; x=2
2 se x2
x²1 se x3
; x=3
2x4 se x3
x²−1
se x−1
f

x
=
; x =−1
g)
x1
x²−3 se x−1
23) Suponha que a temperatura é de T (oF) e que a velocidade do vento é v ( milhas por hora).
Nesse caso, a temperatura corrigida é dada pela função
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T se 0v4
W  v= 91,491,4−T  0,0203 v−0,304  v−0,474 se 4v45
1,6 T −55 se v45
a) suponha que T= 30 o F. Qual é a temperatura corrigida quando v=20 milhas por hora ? E
quando v=50 milhas por hora? R:3,7497; -7
b) Para T= 30 o F, que velocidade do vento corresponde a uma temperatura corrigida de
T= 0o F. R:25
c) A função de correção W(v) é contínua em v= 4 ? E em v=45? R:sim; 91,4
24) No correio dos EUA,a função de porte p(x) pode ser descrita da seguinte forma:
33 se 0x1
55 se 1x 2
p x = 77 se 2x3
...
275 se 11 x12
onde x é o peso de uma carta em onças e p(x) é o preço
correspondente do porte, em cents. Faça o grafico de p(x) para
de x a função p(x) é descontínua, dentro do intervalo
0x 6. Para que valores
0x 6. ?R: 1,2,3,4,5 ou calcule os
limites laterais para x e o lim =f(x)
25) Determine os valores da constante A para que a função f(x) seja contínua para qualquer
valor de x. a) f  x =
Ax−3 se x2
.
3−x 2x² se x2
b) f  x =
1−3x se x 4
Ax² 2x−3 se x4
26) Investigue o comportamento de f(x)= (2x² -5x -2)/(x²-4) quando x está próximo de :
a) 2 b) -2. Existe o limite para esses valores de x? A função é contínua para esses valores de
x?
27) Foi observado que o número de cricris que um grilo faz por minuto depende da
temperatura. Os resultados experimentais são os seguintes ( para T > 3 o C , os grilos
permanecem silenciosos):
Numero de cricris (C) 0 5 10 20 60
Temperatura T (o C)
3 4 5 7
15
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a) expresse T como função linear de C. b) quantos cricris faz um grilo por minuto quando a
temperatura ambiente é de 25o C? c) se um grilo faz 37 cricris em 30 segundos, qual é a
temperatura ambiente?
g)ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS
Introdução
Em aplicações práticas, encontramos com muita freqüência gráficos que se aproximam de
uma reta a medida que x cresce (
x →+∞
) ou decresce ( x →−∞ ). Conforme as
Figuras a seguir:
Essas retas são chamadas assíntotas.
Para obter-se o esboço do gráfico de uma função é através das assíntotas horizontais e
verticais do gráfico, caso elas existam.
1.Assíntota Vertical
•
( i)
Quando a reta x  a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das
afirmações seguintes for verdadeira:
lim
x → a+
f ( x )=∞
(ii ) lim
x →a+
f ( x )=−∞
(iii ) lim f ( x )=∞
x→a
−
( iv ) lim f ( x )=−∞
−
x→ a
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2.Assíntota Horizontal
•
Quando a reta y  b e/ou y=c é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo
menos uma das afirmações seguintes for verdadeira:
(i ) lim f ( x)  b
x  
(ii ) lim f ( x)  c
x  
* calcular os pontos A(0;y) ( corta o eixo y) e B(x;0) ( corta o eixo x)
EXERCICIOS
28) Seja a função f ( x ) 
5
. Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais, se
x 3
elas existirem e faça o gráfico
Solução:
•
Primeiramente devemos observar o domínio da função.
•
Verificamos, facilmente que D( f )    {3}.
•
Sendo assim, vamos calcular: lim
x 3
•
Para calcular o limite da função quando x tende a 3 devemos calcular os limites
5
.
( x  3)
laterais, assim:
•
Para calcular xlim
3

5
, fazemos x  3  h, com h  0 , assim temos:
( x  3)
5
5
5
1
 lim
 lim
 5  lim  5    
h

0
h

0
h

0
( x  3)
(3  h  3)
(  h)
h
5
Por outro lado, para calcular xlim
, fazemos x  3  h, com h  0 , assim
3 ( x  3)
lim
x 3
•
temos:
lim
x3
•
5
5
5
1
 lim
 lim  5  lim  5    
h0 h
( x  3) h0 (3  h  3) h0 h
Desta forma, temos:
lim f ( x)   e lim f ( x)  
x 3 
x 3
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Logo, x  3 é uma Assíntota Vertical da função dada, pois são válidas as afirmações (i) e (iv).
Agora, vamos determinar a assíntota horizontal, se esta existir.
Para determinar a assíntota horizontal, basta fazer:
lim f ( x)  lim
x 
x 
5
5
 lim  0
x


x 3
x
e
lim f ( x )  lim
x  
x  
5
5
 lim  0
x


x3
x
Logo, y  0 é a assíntota horizontal.
Obs: é possível que os limites acima tenham resultados distintos, nesse caso, teremos duas
assíntotas horizontais.
O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir:
29) Considere a função f ( x)  3 
4
. Encontre a equação das assíntotas horizontais
( x  2) 2
e/ou verticais, se elas existirem.
Solução:
•
Primeiramente devemos observar o domínio da função. Verificamos facilmente que
D( f )    {2}.
4
.
( x  2) 2
•
3
Sendo assim, vamos calcular lim
x2
•
Para calcular o limite da função quando x tende a 2 (dois) devemos calcular os limites
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laterais, assim:
3
Para calcular lim
x 2
•

lim
3−
x →2−
•
4
, fazemos x  2  h , com h  0, vamos a:
( x  2) 2
4
4
4
4
= lim 3−
= lim 3− 2 = lim 3−lim 2 =3−∞=−∞
2
2
h→ 0
h →0
h →0
h →0 h
( x−2)
(2−h−2 )
h
3
Agora para calcular lim
x2

lim
3−
x →2 +
4
, fazemos x  2  h , com h  0 , vamos a:
( x  2) 2
4
4
4
4
= lim 3−
= lim 3− 2 = lim 3−lim 2 =3−∞=−∞
2
2
h →0
h →0
h →0
h →0 h
( x −2 )
( 2+ h−2 )
h
Assim, temos:
lim  f ( x)   e lim  f ( x)  
x 2
x 2
Logo x  2 é uma Assíntota Vertical da função dada.
Agora vamos encontrar a assíntota horizontal, se esta existir:
3
Para encontrar a assíntota horizontal, basta calcular lim
x  
lim 3 
x  
4
, ou seja:
( x  2) 2
4
4
4
 lim 3  2
 lim 3  lim 2  3  0  3
2
x  
x  
x  x
( x  2)
x  4x  4
Logo, y  3 é a assíntota horizontal.
O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir:
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30) FERREIRA(1991, p.38) seja a função
f (x )=
2
, determine as assíntota vertical
( x −1)2
e desenhe o grafico.
2
31) Seja a função
2x
f (x )= 2
determine as assíntota horizontal e desenhe o grafico.
(x +1)
32) Encontre as equações das assíntotas horizontaise/ou verticais, se elas existirem.
a) f (x )=
( x+ 2)
(x −2)
b) f (x )=
( x +1)
(x 2−1)
f ( x )=
( x+1)
(x −1)∗( x+1)
f (x )=
1
( x −1)
* quando for calcular limite você poderá simplicar.
*no cálculo do domínio não simplique, por que se calcula pontos de descontinuidade.
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f (x )=
c)
3x 2
2
x +3
R: assíntota vertical : não há
assíntota horizontal:y=3
REFERENCIAS
•
CUNHA, Felix da et al. Matematica Aplicada. Editora Atlas. SP.1990.
•
HOFFMANN .L.D. & BRADLEY.G.L. Cálculo . Um curso moderno e suas
aplicações. Editora LTC.RJ.7a edição.2002.
•
Disponível em http://www.priberam.pt/dlpo/default.aspx, acessado em 21/05/2013.
•
STEWART, James. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 2 v. ISBN
8522106606 (v.1).
•
Matemática para escolas técnicas industriais e centros de educação tecnológica :
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limites e derivadas / 1991 - ( Livros ) Acervo 181748
FERREIRA, Silvimar Fábio. Matemática para escolas técnicas industriais e centros
de educação tecnológica: limites e derivadas. Belo Horizonte: CEFET-MG, 1991.
149 p.Número de Chamada: 515.33 M425m
•
Disponível em http://analisereal.wikispaces.com/­
+Teorema+do+Valor+Intermedi%C3%A1rio, acessado em 27/05/2013.
•
STEWART, James. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. 2 v. ISBN 978- 85221-1258-6 (v.1).
•
Fonte:http://www.vadenumeros.es/imagenes/primero/formulas-trigonometricas.gif
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