Apêndice A Séries de Fourier - DM

Apêndice A
Séries de Fourier
As séries de potências é uma forma de aproximar a função através da combinação linear (soma
dos múltiplos) de potências de
x
que é
{1, x, x2 , x3 , . . .}.
Em vez das potências de
x,
podemos
utilizar outras sequências de funções (com preferencia, as funções cuja suas propriedades já são
conhecidas). Uma destas sequências frequentemente utilizadas é a sequência das funções trigonométricas
{1, cos x, sen x, cos(2x), sen(2x), cos(3x), sen(3x), . . .}.
Somando os múltiplos dos termos desta
sequência, teremos a séries
∞
a0 X
+
(an cos(nx) + bn sen(nx))
2
n=1
conhecidas como séries de Fourier e apresenta propriedades interessantes. Assim como a séries de
potências, temos a forma de obter os coecientes
ak
e
bk
a partir da função dada, para representar a
função ou uma aproximação através da sua soma nita.
Teorema A.1. f (x) =
a0
2
+
∞
X
(an cos(nx) + bn sen(nx)) em [−π, π] então
n=1
1
a0 =
π
e para
k > 0,
Demonstração.
f (x) =
a0
2
+
Z
π
f (x)dx
(A.1)
f (x) cos(kx)dx
(A.2)
f (x) sen(kx)dx
(A.3)
−π
tem-se que
1
ak =
π
Z
1
bk =
π
Z
π
−π
π
−π
Para obter os valores de seus coecientes, vamos supor que
∞
X
(an cos(nx) + bn sen(nx))
n=1
no intervalo
[−π, π].
Em vez de tentar ajustar as derivadas (feito para séries de potências), vamos ajustar algumas
integrais denidas.
Inicialmente, veremos a integral no intervalo
[−π, π].
26
APÊNDICE A.
27
SÉRIES DE FOURIER
Z π
Z π
∞ X
a0
f (x)dx =
dx +
an
cos(nx)dx + bn
sen(nx)dx
−π
−π 2
−π
−π
n=1
Rπ
Rπ
e observando que
cos(nx)dx = −π sen(nx)dx = 0, temos
−π
Rπ
f (x)dx = πa0 . Então
−π
Z
1 π
a0 =
f (x)dx
π −π
Z
π
π
Z
ak e bk para k = 1, 2, 3, . . ., analisaremos o integral de f (x) cos(kx) e
Rπ
Rπ
f (x) sen(kx) no intervalo [−π, π]. Para tanto, observemos que −π cos2 (kx)dx = −π sen2 (kx)dx = π ,
Rπ
Rπ
cos(nx)
sen(kx)dx
=
0
para todo n e k e se n 6= k , temos também que
cos(nx) cos(kx)dx =
−π
R−π
π
sen(nx) sen(kx)dx = 0. Estes cálculo podem ser efetuados com o uso de identidades trigonomé−π
Para obter os valores de
tricas apropriadas.
Com tais integrais,
Z π
Z
π
cos(nx)dx +
f (x) cos(kx)dx = a0
−π
−π
torna
Rπ
f (x) cos(kx)dx = ak π ,
−π
Z
π
an
Z
π
cos(nx) cos(kx)dx + bn
−π
n=1
sen(nx) cos(kx)dx
−π
o que implica que
1
ak =
π
Analogamente, temos que
∞ X
Rπ
−π
Z
π
f (x) cos(kx)dx
−π
f (x) sen(kx)dx = bk π , o que implica
Z
1 π
bk =
f (x) sen(kx)dx
π −π
que
A convergência da série de Fourier da função é garantido pelo seguinte teorema
Teorema A.2. Se f : R → R for 2π-periódica (f (x + 2π) = f (x) para todo x), contínua por partes
e possui derivadas laterais em x (por exemplo, ter derivadas), então a série de Fourier de f em x
+
(x− )
converge para o ponto médio dos limites laterais f (x )+f
. Em particular, se f for contínua em x,
2
a série de Fourier de f em x converge para f (x).
Para facilitar os cálculos de tais coecientes, veremos noções básicas sobre função par e impar.
Denição A.3.
f (−x) = −f (x)
para todo
f é
RL
f (x)dx = 0.
−L
Quando
Uma função
f
cos(nx)
par, temos que
é par e
f (−x) = f (x)
para todo
x
e é dito ímpar se
x.
RL
−L
f (x)dx = 2
f (x) = xn é par se n for
sen(nx) é impar. As funções
As funções dado por
que
é dito função par se
RL
0
f (x)dx
e quando
par e ímpar se
n
f
é impar, tem-se que
for ímpar.
Também tem-se
par e ímpar comporta como jogo de sinal na
multiplicação. Temos que o produto de duas funções pares ou ímpares são função par e produto de
função par com ímpar é ímpar.
APÊNDICE A.
Exemplo A.4.
[−π, π]. Note
k = 1, 2, . . .
Agora vamos calcular a série de Fourier da função
que a função é impar.
1
π
Rπ
−π
a0 = 0.
Logo,
bk 's,
Como
f (x) =

 |x|
, x 6= 0
0
x=0
x
f (x) cos(nx)
é ímpar,
f (x) sen(nx) é par.

0
i
π
R
|x|
−2 cos(nπ)+2 cos 0
2 π
−2 cos(nx)
sen(nx)dx = π 0 sen(nx)dx = π n
=
=
x
πn
4
0
Então calcularemos os valores de
bn =
28
SÉRIES DE FOURIER
no intervalo
ak = 0
para
observando que
πn
,n
par
,n
impar
.
Logo a Série de Fourier será
∞
X
f (x) =
k=0
Observação
Como
4
sen ((2k + 1)x).
(2k + 1)π
A.5
.
No exemplo anterior, para
π
sen (2k + 1) 2
=

1
,k
−1 , k
par
x =
,
π
, temos que
2
temos
que
impar
∞
4X 1
π
1=
sen (2k + 1) .
π k=0 2k + 1
2
∞
4 X (−1)k
1=
,
π k=0 2k + 1
o
que
implica
que
∞
π X (−1)k
=
4
2k + 1
k=0
que é mesmo obtido pelo arco tangente (Observação 4.16).
Exemplo A.6.
Agora vamos calcular a séries de Fourier da função
f (x) = |x| no intervalo [−π, π].
Note que a função é par. Logo f (x) sen(nx) é ímpar, tendo bk = 0 para k = 1, 2, . . .
Então calcularemos os valores de ak 's, observando que f (x) cos(nx) é par.
Rπ
Rπ
a0 = π1 −π f (x)dx = π2 0 xdx = π
iπ
Rπ
Rπ
cos(nx)
an = π1 −π |x| cos(nx)dx = π2 0 x cos(nx)dx = 2 x sen(nx)
−
= −2
(cos(nπ) − cos 0) =
2
n
n
n2
0

0
, n par
.
 −42 , n impar
πn
Logo a Série de Fourier será
∞
X
∞
π
−4
π
4 X cos((2k+1)x)
f (x) = +
cos ((2k + 1)x) = −
.
2
2 k=0 π(2k + 1)2
2 π k=0 (2k+1)
Exercício A.7.
Obtenha a séries de Fourier da função
Observação
Dada uma função
.
f (x) = x
em
[−π, π[.
f˜(x + kT ) = f (x)
para todo inteiro k , onde
Então f˜ é periódica de período T e coincide com a função f
em [a, b]. A função f˜ denido desta forma é denominada de extensão periódica de f . Para ter uma
série de Fourier de f em [a, b], calcula-se a série de Fourier de f˜. Efetuando a mudança de variáveis
T
e usando L =
= b−a
juntamente com a periodicidade, tem-se que
2
Z L2
Z
1
1 b
˜
ao =
f (t)dt =
f (t)dt
L −L
L a
e para n = 1, 2, 3, . . .
Z
Z
nπ nπ 1 L ˜
1 b
an =
f (t) cos
t dt =
f (t) cos
t dt
L −L
L
L a
L
Z
Z
nπ nπ 1 L ˜
1 b
t dt =
t dt
bn =
f (t) sen
f (t) sen
L −L
L
L a
L
A.8
f
T = b − a.
e a séries de Fourier é da forma
denida no intervalo
[a, b],
podemos denir
APÊNDICE A.
29
SÉRIES DE FOURIER
∞
nπ nπ a0 X +
an cos
t + bn sen
t
2
L
L
n=1
Exercício A.9.
Agora, tome
f (x) = |x| em [−π, π] é uma função contínua.
∞
π2 X
1
do Exemplo A.4 para obter
=
.
2
8
(2k
+
1)
k=0
Verique que a extensão periódica de
x=π
Exercício A.10.
o valor da série de
Exercício A.11.
na expressão da série de Fourier
f (x) = x em [0, 1[. A
Fourier em x = 2? Agora
Seja
extensão periódica de
f
é contínua? Quanto deve valer
obtenha a série de Fourier da função.
f (x) = 1 em [−1, 1] e g(x) = |x|
h(x) = 1 − |2x| em [−1, 1[.
Obtenha a série de Fourier da função
Usando estas séries, obtenha a série de Fourier de
em
[−1.1[.