Trigonometria 12ºano_Ficha de Trabalho nº1

COLÉGIO PAULO VI
Ficha de Trabalho
Matemática
12ºano
Temas: Trigonometria ( Triângulo rectângulo e círculo trigonométrico)
Proposta de correcção
1. Relembrar que um radiano é, em qualquer circunferência, a amplitude do arco que têm
comprimento igual ao raio. Sendo assim se o raio da circunferência é 2,5 cm , então um
arco de comprimento 2,5 cm tem de amplitude 1 radiano e portanto um arco de
comprimento 3  2,5 cm tem de amplitude 3 rad . (C)
2. Relembrar que os ângulos  e   k  360º , k  Z têm a mesma representação no
círculo trigonométrico, assim como  e   k  2 , k  Z se a unidade for o radiano.
Sendo assim, como  315º  405º2  360º , os ângulos de amplitudes  315º e
405º têm a mesma representação no círculo trigonométrico. (A)
3. Relembrar a tabela de valores exactos das razões trigonométricas dos ângulos de
amplitudes

6
rad
(30º ) ,

4
rad
(45º ) e

3
rad
(60º ) e os ângulos que têm o
mesmo seno.
Em primeiro lugar temos que identificar um ângulo, no intervalo 0,2  , que tenha a
mesma representação de
100
 rad .
6
Dividindo 100 por 6 obtemos 100  6 16  4 logo
100 6  16 4

 e portanto
6
6
6
100
4
100
4
2
  16   ou seja
 tem a mesma representação que   
6
6
6
6
3
(Uma vez que 16  8  2 )

3
 100 
2 

 
  sen    sen     sen  
3
 6 
3 

3 2
Então sen
(A)
4. A afirmação verdadeira é (A) uma vez que no 2º quadrante o cosseno é negativo e a
tangente é negativa logo o seu produto é positivo.
(B) É falsa pois no 3º quadrante o seno e o cosseno são negativos.
(C) É falsa porque  1  cos x  1 x  R .
(D) É falsa. Basta fazer tg 1 (5)  1,37rad ou lembrar que o contradomínio da função
tangente é IR.
5. As coordenadas do ponto P, recorrendo ao ângulo  que define no círculo
trigonométrico, são cos  ; sen  . Sendo assim as coordenadas de P são
  5
 cos
  6

 5
; sen

 6
Anabela Matoso

 

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
3
 5 

 
e
  cos      cos   
6
2
 6 

6

 5 

  1
sen   sen     sen   , as coordenadas de P são, neste caso,
6
 6 

6 2

3 1


 2 ; 2  (D).


Como cos
6. (A) Falsa.
Relembrar a fórmula fundamental da trigonometria, sen 2  cos 2   1 .
2
2
5
1  2
      1   1 . Como a afirmação anterior é falsa não existe nenhum
9
 3  3
ângulo que satisfaça a relação dada.
(B) Verdadeira.
Uma vez que tg 
sen
, para os valores para os quais está definida, se
cos 
sen  cos   o então tg  0
(C) Falsa.
Relembrar que a função tangente é crescente em cada intervalo do seu domínio, mas
não é crescente no seu domínio. Basta considerar a um ângulo do 1º quadrante e b
um ângulo do segundo quadrante e a  b mas tga  tgb .
7.
7.1 sen 210º  cos 150º tg300º  sen(180º 30º )  cos(180º 30º )  tg (360º 60º ) 
1
3
1 3  2 3 1 3 3
  sen (30º )  cos(30º )  tg (60º )   
 3

2 2
2
2

 

 5 
 4   2 


  sen    tg
  sen 2    sen     tg    
2
3 
3
 2 
3   3 


3
3
1
 
    
 sen   sen   tg    1 
  3  1  
2
2
2
2
3  3
7.3 cos(540º )  2 cos(30º )  sen(135º ) 
 cos(360º 180º )  2 cos(30º )  sen(135º ) 
 cos(180º )  2 cos(30º )  sen(180º 45º ) 
7.2 sen


3
2 22 3 2
 sen (45º )  1  3 

2
2
2







 


7.4 2 cos     tg     sen   cos( 2 )  tg    
3
6
2
4




 


 1  2 
1
3
3
 
 
 
1   
 2 cos   tg   1  1  tg    2  
2 3
3
3
6
4
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8. Relembrar que ao dividir um hexágono regular em triângulos, formados por dois
vértices consecutivos e pelo centro, obtemos triângulos equiláteros, logo cada um dos
ângulos internos desses triângulos tem de amplitude 60º.
8.1 senAOˆ B  sen60º 
3
2
8.2 cos AOˆ C  cos120º   cos(180º 60º )   cos(60º )  
1
2
8.3 tgAOˆ E  tg 180º 60º   tg (60º )  3
9.
9.1 Seguindo as indicações do enunciado obtemos um triângulo rectângulo cujo cateto
adjacente ao ângulo de 25º mede 7 metros.
Para determinar o outro cateto e a hipotenusa temos que recorrer às razões
trigonométricas.
Relembrar que, sendo  um ângulo agudo de um triângulo rectângulo,
sen 
cateto oposto
cateto oposto
cateto adjacente
, cos  
e tg 
cateto adjacente
hipotenusa
hipotenusa
Então: cos 25º 
7
7
y
x
e tg 25º   y  7tg 25º
x
cos 25º
7
A altura do poste é, então, dada por
7
 7tg 25º que é aproximadamente 11.
cos 25º
A afirmação é falsa.
9.2  2350º  6  360º190º logo o ângulo de amplitude -2350º tem a mesma
representação do ângulo de amplitude -190º e portanto pertence ao 2º quadrante.
A afirmação é verdadeira.
9.3 Se sen  cos  0 então  pertence ao 2º ou ao 4º quadrante. Uma vez que o
seno é decrescente o ângulo  pertence ao 2º quadrante. Nesse quadrante, a
tangente é negativa.
A afirmação é falsa.

 5



 x    cos( x)  cos( 2    x)  sen  2   x  
10. cosx     cos3  x   sen 
2
 2



 

  cos( x)  cos(  x)  sen   x    cos x  ( cos x)  cos x   cos x  cos x  cos x   cos x
 2

 9



 x   sen  x   tg 7  x   3sen5  x  
11. 2 cos
 2

2




 2 cos 4   x   cosx   tg x   3sen4    x  
2


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

 2 cos  x   cos x   tg x   3sen  x  
2

senx
 2senx   cosx  
 3( senx )   2senx  senx  3senx 
cos x
 4senx
12. Em primeiro lugar devemos escrever a expressão dada à custa das razões
trigonométricas do ângulo  .
2sen     cos2     2(sen )  cos   2sen  cos 
Então só temos que determinar o valor exacto de sen .
Recorrendo
à
fórmula
fundamental
da
trigonometria,
2
16
4
 3
 sen  
sen   cos   1  sen   1     sen 2  
25
5
5
2
2
2
Uma vez que      0 , sen  
13. 2senx   3  senx  
x
4
 4 3 7
logo  2 sen  cos       
5
 5 5 5
3
 
 senx  sen   
2
 3

4
 
 k  2
 k  2  x        k  2  x    k  2  x 
3
3
3
 3


k 0
x
k 1
x
5
3
k 2
x
11
(não
3
3


x
x
x
k  2
 
4
3
10
(não
3
pertence ao int ervalo)
pertence ao int ervalo) 
7
(não
3
k  1
k Z

pertence ao int ervalo) 
x
8
(não
3
x
2
3
pertence ao int ervalo)
As soluções pertencentes ao intervalo   ,2  são: 

3
;
4
;
3
5
2
; 
3
3
14.
14.1
2senx  3  senx 
x

3
 k  2  x   

3
3
 
 senx  sen  
2
3
 k  2  x 

3
 k  2  x 

 
  x    k
3
 3
14.2 tgx   3  tgx  tg  
Anabela Matoso
2
 k  2
3
k Z
k Z
Pág. 4
14.3

3
3

 
 
cos x     cos    senx  
 senx 
 senx  sen  
2
2
2

6
3
x

3
 k  2  x   

3
 k  2  x 

3
 k  2  x 
2
 k  2
3
k Z
15. sen  0    k k  Z (B)
16. (A) d ( )  1  cos 
1
17. Sendo senx   , qual das afirmações é verdadeira?
3
sen  x    senx 
1
Logo (A) é falsa.
3
sen 2 x  cos 2 x  1 
1
8
 cos 2 x  1  cos x  
Logo (B) é falsa.
9
3
1


cos  x    senx 
Logo (C) é falsa.
3
2

sen  x   senx  
1
Logo (D) é verdadeira.
3
18.
sen(45º )  cos( 45º ) 
2
2

 2 (A) é verdadeira.
2
2
sen(90º  )  cos   cos   cos   0 (B) é verdadeira.
tg (135º )  tg (180º 45º )  tg 45º  1 (C) é falsa.
tg (30º ) 
1
3 1
3
3
3
(D) é verdadeira.




2
tg (60º )
3
3
3
3
3
19. Seja   MBˆ C . Uma vez que o triângulo [BMC] é rectângulo,
D
C
A
B
podemos determinar  recorrendo à sua tangente.
tg 
2,5
 tg  0,5 logo   tg 1 (0,5) .
5
Uma vez que NBˆ A  MBˆ C ,   90º 2  tg 1 (0,5) e portanto,
aproximando às unidades,   37º .
20. sen 
BC
 BC  3sen
3
cos  
AB
 AB  3 cos 
3
P ABC  3sen  3 cos   3 Na figura está
Anabela Matoso
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