Aula 24 Poliedros

Aula 25 - Baiano
GEOMETRIA ESPACIAL
GEOMETRIA ESPACIAL
Poliedros
Definição: Sólido cuja superfície é composta por um
número finito de faces, onde cada face é um polígono.
GEOMETRIA ESPACIAL
Poliedros
Poliedro Regular
As faces são polígonos
regulares, todos idênticos.
Todos os ângulos poliédricos
são idênticos entre si.
GEOMETRIA ESPACIAL
Poliedros
Poliedro de Platão
As faces são polígonos com o mesmo número de lados
(regulares ou não)
Todos os ângulos poliédricos são formados com o mesmo
número de arestas.
Poliedro Regular ⇒ Poliedro de Platão
GEOMETRIA ESPACIAL
Poliedros
Poliedro de Platão
Tetraedro
4F3
H exaedro
6F4
O ctaedro
8F3
Tetraedro
Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro 12F5
Icosaedro
20F3
Dodecaedro
Icosaedro
GEOMETRIA ESPACIAL
Poliedros
Poliedros Conjugado
São obtidos ligando os centros de todos os pares de faces
adjacentes de qualquer sólido, produzindo-se outro sólido
menor.
GEOMETRIA ESPACIAL
Poliedros
Poliedro de Arquimedes
É um poliedro convexo cujas faces são polígonos regulares
de mais de um tipo.
GEOMETRIA ESPACIAL
Poliedros
Teorema de Euler
V+F=A+2
Poliedros Fechados
Teorema de Cauchy
V+F=A+1
Poliedros Abertos
Soma dos Ângulos Internos das Faces
S = 360º (V – 2)
Números de Diagonais
D = C2V - d - A
diagonais das faces do poliedro
arestas do poliedro
GEOMETRIA ESPACIAL
Poliedros
Exemplo 1: (UCRS) Se a soma dos ângulos das faces de um
poliedro regular é 1440º, então o número de vértices desse
poliedro é:
a) 12
b) 8
c) 6
d)20
e) 4
S = 360º (V – 2)
1440º = 360º (V – 2)
V–2=4
V=6
Gabarito: c
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Poliedros
Exemplo 2: Qual a quantidade de vértices, arestas e faces
de um poliedro limitado por seis faces quadrangulares e
duas faces hexagonais?
+
6F4
2F6
F=8
6(4) + 2(6)
A=
2
24 + 12
A=
2
A = 18
V+F=A+2
V + 8 = 18 + 2
V = 12
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Poliedros
Exemplo 3: Um poliedro possui cinco faces triangulares,
cinco faces quadrangulares e uma pentagonal, determine
as arestas, faces e vértices.
5F3
+ 5F4
1F5
F = 11
5(3) + 5(4) + 1(5)
A=
2
15 + 20 + 5
A=
2
A = 20
V+F=A+2
V + 11 = 20 + 2
V = 11
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Poliedros
Exemplo 4: (PUC-PR) O número de vértices de um poliedro
de 8 faces triangulares e de 4 faces quadrangulares é igual a:
a) 10
b) 12
c) 40
d)20
e) 8
+
8F3
4F4
F = 12
8(3) + 4(4)
A=
2
24 + 16
A=
2
A = 20
V+F=A+2
V + 12 = 20 + 2
V = 10
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Poliedros
Exemplo 5: FUVEST | Um poliedro convexo tem três faces
triangulares, quatro quadrangulares e cinco pentagonais.
O número de diagonais desse poliedro é:
a) 25 b) 20 c) 15 d) 30 e) 47
3F3
+ 4F4
5F5
F = 12
3(3) + 4(4) + 5(5)
A=
2
9 + 16 + 25
A=
2
A = 25
V+F=A+2
V + 12 = 25 + 2
V = 15
GEOMETRIA ESPACIAL
Poliedros
Exemplo 5: FUVEST | Um poliedro convexo tem três faces
triangulares, quatro quadrangulares e cinco pentagonais.
O número de diagonais desse poliedro é:
a) 25 b) 20 c) 15 d) 30 e) 47
F = 12 A = 25
V = 15
D = C2V - d - A
Faces
Face
Face
pentagonais
D = C2 - 33 - 25 triangulares quadrangulares
15
D = 105 - 33 - 25 Não têm
diagonais
D = 47
Gabarito: e
dQ =
4 . (4 - 3)
2
dQ = 2
d=4.2=8
dP =
5 . (5 - 3)
2
dP = 5
d = 5 . 5 = 25
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FIM