Trabalho e Energia

Capı́tulo 4
T rab alh o e E n e rg ia
E x e rcı́c io 4.1 : Sobre uma partı́cula de massa 2 kg, actua durante 2 s a força
F~ = 1 6 tı̂ + 21 t2 ̂ (N ). Sabendo q ue, q uando a força começa a actuar, a partı́cula
já está animada de v elocidade ~v = 3 ı̂ + 4 ̂ (m/ s), determinar:
a) O impulso comunicado pela força durante os 2 segundos.
b) O trabalh o realiz ado pela força durante o mesmo interv alo de tempo.
E x e rcı́c io 4.2 : D eterminar o trabalh o realiz ado pelo campo de forças
F~ = x2 ı̂ + y 2 ̂ (SI) sobre uma partı́cula q ue se mov e de A(0 , 0 ) para B(2, 4 ):
a) A o longo da parábola y = x2 .
b) D e (0 , 0 ) a (2, 0 ) ao longo do eix o dos X X e depois ao longo da recta x = 2
até ao ponto (2, 4 ).
c) A o longo da recta y = 2x.
E x e rcı́c io 4.3 : U m corpo com massa 1 kg é lançado da superfı́cie da terra
com v elocidade de módulo 1 0 0 m/ s na direcção da v ertical. A` altitude de 5 0 0 m
tem v elocidade de módulo 1 0 m/ s. Sabendo q ue o trabalh o da resistência do ar
foi de 4 0 J oules e supondo q ue é constante a aceleração da grav idade durante o
mov imento, calcular essa aceleração.
E x e rcı́c io 4.4: U m corpo de massa 5 0 g parte do repouso e desce com atrito, ao
longo de um plano inclinado de altura 1 m e de inclinação 3 0 ◦ . O coefi ciente de
atrito entre o corpo e o plano é 0 .4 .
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a) R ep resentar nu m esq u em a tod as as forç as ap lic ad as no c orp o e d eterm inar a v eloc id ad e c om q u e o c orp o atinge a base d o p lano inc linad o.
b) D eterm inar a v eloc id ad e c om q u e o c orp o atingiria a base d o p lano se
não hou v esse atrito.
Exercı́cio 4.5: Uma partı́cula de massa m move-se sem atrito sobre uma semiesfera maciça de raio R, como se vê na figura 4.1. O movimento inicia-se no ponto
indicado na figura, sendo nula a sua velocidade inicial.
R
F igu ra 4.1 : Ex erc´ıc io 4.5.
a) Determinar o módulo da velocidade da partı́cula quando esta toca o chão.
b) Determinar o ângulo θ para o qual deixa de haver contacto entre a partı́cula
m e a esfera de raio R.
Exercı́cio 4.6 : Um objecto de massa 1 kg, ligado por um fio inextensı́vel a um
ponto fixo, descreve uma trajectória circular de raio igual a 1 m, num plano vertical.
Sejam A e C os pontos mais alto e mais baixo da trajectória, respectivamente, e o
sentido do movimento o indicado na figura 4.2. Determinar:
A
R
B
D
C
F igu ra 4.2 : Ex erc´ıc io 4.6 .
a) O trabalho de todas as forças aplicadas ao objecto nos percursos AB, AC,
AD .
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b) A velocidade escalar do objecto em B, C e D, sabendo que em A ela é de
4 m/s.
c) A tensão do fio em A, B, C e D.
Exercı́cio 4.7: Um pêndulo simples é abandonado numa posição em que é de
60◦ o ângulo do fio com a vertical. O fio tem comprimento l. Desprezando a
resistência do ar, determinar:
a) As posições em que é màxima a energia cinética e a energia potencial,
calculando-as nesses pontos (T omar como origem da energia potencial o
ponto mais baixo da trajectória).
b) A aceleração do pêndulo nas posições extremas.
c) A aceleração na posição vertical.
d) A aceleração naquela posição em que o valor do módulo da aceleração tangencial é igual ao módulo da aceleração normal.
e) A tensão no fio em cada um dos casos.
Exercı́cio 4.8 : Na figura 4.3 está representada uma calha cuja
√ parte terminal é
constituı́da por um quarto de circunferência de raio R = 1/ 3 m. Se o corpo A
partir do repouso do cimo da calha, determine:
A
1
m
R
30º
Figura 4.3 : Exercı́cio 4.8 .
a) A altura máxima que ele atinge, depois de abandonar a calha, sabendo
que
√
o coeficiente de atrito entre o corpo e o plano inclinado é 2/(10 3), e sobre
a porção circular da calha é desprezável.
b) O vector aceleração do corpo imediatamente antes de sair da calha.
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Exercı́cio 4.9: Um corpo desliza sobre um plano inclinado que forma um ângulo
θ com a horizontal, sendo µ o coeficiente de atrito (ver figura 4.4). O corpo recebe
um impulso segundo a direcção de maior declive e no sentido ascendente, o qual
lhe comunica a velocidade v0 . M ostrar que, quando o corpo volta a passar pelo
ponto de partida, a sua velocidade é dada por v= v0 tgθ−µ
tgθ+µ .
Figura 4.4: Exercı́cio 4.9 .
Exercı́cio 4.10 : Uma pequena esfera de peso P está suspensa de um ponto
fixo O por um fio inextensı́vel, de comprimento L, que parte para tensões iguais a
5P/4. Abandona-se o fio na posição em que ele faz com a vertical um ângulo α, tal
que cos α = 7 /8 . Determinar a posição do ponto em que a partı́cula vai encontrar
um plano horizontal à distância 2L do ponto O.
Exercı́cio 4.11: A energia potencial de uma partı́cula que se move num espaço
unidimensional é da forma: U = a/x2 − b/x onde a e b são constantes positivas e
x > 0. Determinar:
a) A posição de equilı́brio da partı́cula (verificar que o equilı́brio é estável).
b) Na região em que a força é atractiva, onde é máxima a sua intensidade?
F azer um esboço da representação gráfica de U (x) e da força que actua na
partı́cula.
Exercı́cio 4.12: Um corpo de massa 0.1 kg cai de uma altura de 3 metros sobre
um monte de areia. Se o corpo penetrar 3 centı́metros antes de parar, qual é a
força média exercida pela a areia sobre o corpo? Q uanto tempo dura o movimento
do corpo na areia?
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Exercı́cio 4.13: Considere o bloco de 0.5 kg de massa que, após ter sido largado
no ponto 1, desliza ao longo da trajectória de raio igual a 1 m da figura 4.5. Quando
o bloco atinge o ponto 2, a sua velocidade é 3 m/s. Qual o trabalho realizado pela
força de atrito?
1
R
N
P
2
Figura 4.5: Exercı́cio 4.13.
Exercı́cio 4.14: Um pequeno bloco de massa m desliza sem atrito pela superfı́cie
da figura 4.6.
P
5R
Y
X
R
Q
Figura 4.6: Exercı́cio 4.14.
a) Se o bloco iniciar o seu movimento em P , qual é a força resultante que actua
sobre ele imediatamente após passar pelo ponto Q?
b) Qual é a altura inicial mı́nima da qual se deve largar o bloco para que este
consiga descrever o loop da figura?
c) Qual a altura inicial da qual se deve largar o bloco para que a força que o
bloco exerce sobre a calha no topo do loop tenha uma grandeza igual ao seu
peso?
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Exercı́cio 4.15: Um bloco de massa 0.528 kg desliza com uma velocidade constante de 3.85 m/s sobre uma superfı́cie horizontal sem atrito. A certa altura,
embate contra uma mola horizontal em equilı́brio.
a) Se a constante elástica da mola for 26.7 N/m, de quanto é a mola comprimida
até que o bloco pare?
b) De quanto se comprimiria a mola se a superfı́cie sob esta fosse rugosa com
um coeficiente de atrito cinético de 0.411?
Exercı́cio 4.16: Um objecto com massa de 1 kg, ao qual foi comunicado uma
velocidade de 10 m/s, desliza sobre uma superfı́cie horizontal e colide com a extremidade livre de uma mola elástica, após um percurso de 5 m (ver figura 4.7).
A mola exerce uma força de 10 kg quando é comprimida de 1 cm. O coeficiente
de atrito entre o objecto e a superfı́cie horizontal é de 0.5.
v
5m
Figura 4.7: Exercı́cio 4.16.
a) Determinar a compressão máxima sofrida pela mola.
b) Determinar o percurso total do objecto.
Exercı́cio 4.17: Um objectode massa m desliza sobre uma superfı́cie horizontal,
sendo µ o coeficiente de atrito, e embate na extremidade livre duma mola elástica
fixa, de constante de elásticidade k. Sendo v0 , a velocidade do objecto no instante
em que toca na mola, determinar em função de v0 , m, g, µ e k o trabalho realizado
pela força de atrito desde esse instante até ao instante em que se anula a velocidade do referido objecto. Mostrar que o valor máximo de v0 para que o objecto
permaneça imobilizado em contacto com a mola é 3µ2 mg 2 /k.
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Exercı́cio 4.18: Um corpo, ligado a um ponto fixo de uma mesa horizontal por
um fio de comprimento 1 m, descreve uma trajectória circular sobre a mesa. A
velocidade inicial do corpo, vo , é 8 m/s. Sabendo que a velocidade do corpo ao
completar a primeira volta é vo /2, determine:
a) O coeficiente de atrito entre o corpo e a mesa.
b) O número de voltas que o corpo dá até parar.
Exercı́cio 4.19: A potência consumida por um ciclista que se desloca numa
estrada horizontal, à velocidade constante de 6 m/s, é 120 W .
a) Qual é a força de resistência exercida pelo ar sobre o conjunto formado pela
bicicleta e pelo ciclista?
b) Ao inclinar-se sobre o guiador, o ciclista reduz a força de resistência do ar
para 18 N. Se a potência por ele consumida se mantiver igual a 120 W , qual
a velocidade a que este se desloca?
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Trabalho e Energia
4.1
Soluções de trabalho e energia
Solução 4.1:
a) I~ = 32ı̂ + 56̂ (Ns).
b) W = 1.36 kJ.
Solução 4.2:
a) W = 24 J.
b) W = 24 J.
c) W = 24 J.
Solução 4.3: A aceleração da gravidade é igual a 9 .82 m/s2 .
Solução 4.4:
a) v = 2.45 m/s.
b) v = 4.43 m/s.
Solução 4.5:
a) v =
√
2gr m/s.
b) θ = 48◦ .
Solução 4.6:
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a)
AB : WT~ = 0 J; WP~ = 9 .8 J
AC : WT~ = 0 J; WP~ = 19 .6 J
AD : WT~ = 0 J; WP~ = 9 .8 J
b)
vB = 5.9 7 m/s
vC = 7.43 m/s
vD = 5.9 7 m/s
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c)
TA
TB
TC
TD
= 6.2 N
= 35.6 N
= 65 N
= 35.6 N
Solução 4.7:
a)
Ec |máxima = Ec (θ = 0◦ ) =
Ep |máxima = Ep (θ = 60◦ ) =
b) ~a =
√
3
2 g t̂
m gl
2
m gl
2
= 8.49t̂ m/s2 .
c) ~a = 9.8n̂ m/s2 .
d) ~a = 5.88(n̂ + t̂) (m/s2 ).
e) T~ =
m g
2
2mg
1.4mg
Solução 4.8:
a) hmáxima = 0.8 m.
b) ~a = 9.8t̂ + 7.6n̂ (m/s2 ).
Solução 4.10: ∆x =
√
2
2 L
em relaçÃo à vertical que passa pelo ponto O.
Solução 4.11:
a) xe q u ilı́b rio = 2 ab .
b) A intensidade da força (atractiva) é máxima para x = 3 ab .
Solução 4.12:
F~mé d ia = 99 N; ∆t = 7.82 ms.
Solução 4.13: W = −2.65 J.
Solução 4.14:
a) F = 10mg.
b) hm
in
= 5/2R.
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c) h = 3R.
Solução 4.15:
a) x = 54.14 cm.
b) x = 46.76 cm.
Solução 4.16:
a) xmax = 7.2 cm.
b) ∆x = 10.2 m.
Solução 4.18:
a) µ = 0.39.
b) n = 1.3 voltas.
Solução 4.19:
a) F = 20 N.
b) v = 6.67 m/s.
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