1 1A LISTA DE EXERCÍCIOS − + = , 2 ,13 )( b) x x xf e 1 253 lim

INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CÁLCULO A
Atualizada em 2007.1
1A LISTA DE EXERCÍCIOS
lim f ( x ), lim f ( x ) e, caso exista, lim f ( x ) :
x →a
x →a −
x→a +
 x 2 − 1, x ≥ 1 e x ≠ 2

(a = 1 )
b) f ( x ) = 1
, x=2
(a = 2 )
1 − x , x < 1

x ≠ −2
 x+2
,

(a = 0)
d) f ( x) =  | x + 2 |
(a = - 2)
0,
x = −2

01. Esboce o gráfico de f, determine
3x − 2,

a) f ( x) = 2
,
4 x + 1,

x >1
x =1
x <1
 x 2 − x , x ≥ 0
c) f ( x ) = 
− x , x < 0
02. Determine, se possível, a ∈ R, para que exista lim f ( x ) , sendo:
x→ xo
3 x − 2 , x > −1
( x 2 − 4 )( x − 2 ) −1 , x ≠ 2

a) f ( x ) = 3
b) f ( x ) = 
, x = −1 ( xo = −1 )
a
, x=2
5 − a x , x < −1

( xo = 2 )
03. Considere as funções do exercício 01. Verifique se f é contínua em x = a. Justifique.
04. Para cada função f a seguir, determine D(f) e, se possível, a função g: R → R, tal que g é contínua e
g(x) = f(x), para todo x ∈ D(f):
x2 − 9
a) f ( x) =
3− x
05. Calcule os limites a seguir,
a) lim ( − y 5 − 3 y 4 + 12 y 2 )
y → −1
d)
lim
x →π / 2
g) lim
x →1 / 2
j) lim
y →−1
m) lim
sen x
1 + cos x
2 x 2 + 3x − 2
3
8x − 1
1− y2
y+ 2+ y
3 x −2
x →8 x − 8
3
p) lim
x→a
3 x + 1, x > −2
b) f ( x) = 
− 2 x , x < −2
b) lim (log w − ln w )
w→10
e) lim
x→2
x2 − 4
2− x
4
3
−1
h) lim e ( x − 16 )( x − 8 )
x→2
k) lim
x→4
n) lim
x →1
3− 5+ x
1− 5 − x
3
3x + 5 − 2
x2 −1
c) lim e x ( x 3 − 4 )
x →1
f) lim
x3 − 1
x −1
i) lim
x −1
x −1
x →1
x→1
x −2
l) lim
x−4
x →4
x 2 − 23 x + 1
o) lim
x →1
(x − 1 ) 2
3
x −3 a
x−a
1
06. Determine, se possível, as constantes a, b e c ∈ R, de modo que f seja contínua em x0, sendo:
 3 x − 3 , x > -3
bx 2 + 2 , x ≠ 1

(x0 = 1)
b) f ( x ) =  ax
, x = -3 (x0 = - 3)
a) f ( x ) = 
b 2
, x =1
bx 2 + 1 , x < -3

 x 2 − ax + 9
, x < -3

 x−3
f ( x ) = bx
, x = -3
3 x + 1
, x > -3


c)
seja contínua em x0 = -3
07. Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determine o que se pede:
ln x , x > 0
a) f ( x ) =  x
e , x ≤ 0
•
lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ),
x →0 +
x →0 -
x→ −∞
x →0
x →1
x → -1
x→ e
lim f ( x )
x→ +∞
• intervalos onde f é contínua.
(1 / 2) x , x > 0
b) f ( x) = 
1 / x , x < 0
•
lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x )
x →0 −
x→ − ∞
x →0+
x →0
x →1
x→ − 1
x→ + ∞
log1 / 2 x, x > 0

c) f ( x) = 0
, x=0
 −2
, x<0
x
•
•
lim f ( x ) , lim f ( x ) , lim f ( x ) , lim f ( x )
x →−∞
x →+∞
x →0
x →1
estude a continuidade de f em x = 0 .
x 4 , x ≤ 0

d) f(x) = cot g x, 0 < x < π
x + π , x ≥ π

•
lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ),
x→ − ∞
x →0−
x →0+
x →0
lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x )
x→ π / 2
x →π -
x →π +
x→ + ∞
• ponto(s) de descontinuidade de f .
08. Calcule:
a) lim ( 2 x 5 + 4 x 2 − 3 )
x → +∞
d)
g)
lim
x → −∞
lim
x → +∞
5x 2 + x + 2
1
1 + 21 / x
b)
e)
h)
lim ( 4 x 3 − 2 x 2 + x − 5 )
c)
lim ( x 2 − 3 x + x )
f)
x → −∞
x →+∞
lim ( −5e x )
x →−∞
lim (x 2 + ln x)
x →0 +
lim ln( 2 − x )
x →2 −
2
09. Calcule os seguintes limites:
x 2 +1
a) lim
b)
x →0 sen x
e) lim
x →0
cos 3 x
x
x −1
lim
x →0 +
x
c) lim
2
x →5
3x − 11
x −3
f) lim
x → −3
g)
lim
2 x2 + 3
d) lim
2
( x −5)
x→2
π
g) lim
1
x→1
2 + 3 x −1
x →0
−
5x − 4
x−2
x+2− 3
x4
10. Calcule os limites a seguir:
a)
d)
lim
x → +∞
2 x 2 − 4 x − 25
b)
18 x 3 − 9 x 2
lim [ x ln 2 − ln ( 3x + 1 )]
e)
x → +∞
lim sen
2 + x − π x2
x → +∞
12 x − 4 x
c)
2
lim ( x 2 − 3 x + x )
f)
x →−∞
11. Calcule os seguintes limites:
tg ax
sen ax
b) lim
, com a, b ≠ 0
a) lim
x
x →0 bx
x →0
sen x
sen x − sen a
d) lim
e) lim
x
−
π
x−a
x →π
x→ a
c) lim
lim ( 1 / π )x
3 ( x 2 −1 )−1
x → +∞
lim [ x ( x 2 − 1 − x)]
x → +∞
1 − cos x
x2
cos x − cos a
g) lim
.
x−a
x→ a
x →0
12. Calcule os limites a seguir:
a) lim [ x sen ( 1 / x )]
x →0
d)
b)
lim [ e x . sen x ]
x → −∞
 2 + 5x 3

cos (ln x )
lim 
7
x → +∞  1 − 3 x


e)
13. Calcule as constantes de modo que:
x 2 − ax + b
a) lim
=5
b)
x →3
x−3
2
  x 2 + x +1
 3

. cos πx + x − 3 
lim  sen
3




x → +∞ 
 2 − x + 2 x 
  1 + 2x 
bx + 3 

lim ax −
=5
x →+∞ 
x + 1 
c) lim f ( x ) = 3 e lim f ( x ) = 1 , sendo f ( x ) =
x → +∞
x → −2
b x+3−a
= 1/ 6
x→1
x −1
d) lim

ex 
c) lim  x 3 ( 4 − cos x − 2 ) + 
x 
x →0 + 

ax 3 + bx 2 + cx + d
4 (x 2 + x − 2 )
2 x2 + 8 − b
= −2 / 3
x → −1
x +1
e) lim
 x3 − x
, x < 2e x ≠1
 2
 x − 3x + 2

, x =1
14. Considere a função f ( x ) = − 2
.
10
, x=5

 x ln x − 5 , x ≥ 2 e x ≠ 5
Justificando, estude a continuidade de f.
15. Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0 e em caso afirmativo,
determine f´(x0):
− 3 x, x ≤ 2
(x0 = 2)
 x − 8, x > 2
a) f ( x) = 
b) f(x) = x2 |x| (x0 = 0)
d) f(x) = 2x3 + 2 (x0 = 2)
e) f(x) = xn , n ∈ N* (x0 ∈ R)
c) f(x) = 3 x
(x0 = 0)
3
16. Verifique em que ponto(s) a função f(x) = |x2 – 1| não é derivável. Justifique sua resposta.
17. Esboce o gráfico de f’ sabendo que f é dada pelo gráfico:
a)
b)
(-2,3)
(1,3)
(7,3)
(2,4)
(-2,4)
0
(5,-2)
(-5,0)
D(f) = [–2, + ∞)
0
D(f) = R
obs: No intervalo [–2,2], f(x) = x2
ax 2 + b , x ≤ 1
.
18. Determine as constantes a e b de modo que f seja derivável em x = 1, sendo f ( x ) = 
 x −1
,x >1
19. Determine as derivadas das funções a seguir:
2( 2 z − 1 )
a) y = 2x4 – 3x2 + x – 3
b) x =
3
d) u =
t +5
t −7
e) y =
−5
3
6x − 1
c) w =
+ x 3 . ln π
3
3
+ 2 y 3 y 2  +


4y
y
f) y = x 2 / 3 ( 2 x 1 / 3 − 1 )
g) y = 2 x ( x 3 + x + 1)
20. Determine a derivada de cada uma das funções a seguir:
a) y = (–2/5)senx + 9secx
b) y = x senx + cosx
c) f(x) = 2senx cosx + 8tgx secx
tg t − 1
d) g ( t ) =
sec t
sen x + cos x
e) g( x ) =
sen x − cos x
ex
f) y =
senx
21. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa x0:
a) f(x) = 2x3 + 3x –1; x0 = 1
b) f(x) = tg x; x0 = π/4
c) f(x) = cossec x; x0 = π/2
22. Determine as abscissas dos pontos do gráfico de f(x) = x3 + 2x2 – 4x nos quais a reta tangente é:
a) horizontal
b) paralela à reta 2y + 8x – 5 = 0
23. Em que ponto da curva y = 2 + x2 a reta tangente tem ângulo de inclinação π/3 ?
24. Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva f( x ) = 1/x, no qual a reta tangente é paralela à:
a) 1ª bissetriz
b) 2ª bissetriz
4
25. Seja f(x) = b – (x2/16). Determine a constante b de modo que a reta que passa pelos pontos M(0,5) e
N(5/2,0) seja tangente ao gráfico de f .
26. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 – 3x e perpendicular à reta 2y + x = 3.
27. Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(0,2) e é tangente ao gráfico de f(x) = x3. Ilustre a
interseção construindo o gráfico.
( Observe que o ponto P não pertence ao gráfico da função f(x) = x3)
28. Determine a equação da reta tangente comum aos gráficos de f(x) = – x2 e de g(x) = x2 + (1/2).
29. Determine f’(x) supondo g e h deriváveis e f ( x) =
( xh( x)) 3
, g(x) ≠ 0
g ( x)
RESPOSTAS DA 1a LISTA
01)
a)
b)
5
3
2
1
1
1
0
lim f ( x ) = 5, lim f ( x ) = 1, ∃/ lim f ( x )
x →1−
x →1+
x →1
c)
2
lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) = 3
x →2 −
x →2 +
x →2
d)
1
-2
-1
0
1
lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) = 0
x →0 −
x →0 +
x →0
lim f ( x ) = −1, lim f ( x ) = 1, ∃/ lim f ( x )
x →2 −
x → 2+
x →2
5
02. a) -10; b) lim f ( x ) existe, independente do valor de a. Por isso a pode ser um número real qualquer.
x →2
03. a) Não é contínua em x = 1 pois não existe lim f ( x ) ;
x →1
b) Não é contínua em x = 2 pois lim f ( x ) ≠ f ( 2 );
x→2
c) É contínua em zero pois lim f ( x ) = f ( 0 ) = 0.
x →0
d) Não é contínua em x = -2 pois não existe lim f ( x) ;
x → −2
 x2 − 9

04. a) D(f) = R – {3} e g ( x ) =  3 − x , x ≠ 3 ;
 - 6
,x = 3
b) D(f) = R – {–2}, e não é possível definir g(–2), tal que g seja contínua, pois não existe lim f (x) ;
x→ -2
05. a) 10
b) 1- ln10
c) -3e
x 3 −1
= −3 e
x −1
x →1−
f) não existe pois lim
i) 1/2;
j) 4/3;
o) 1/9;
p) 1/3 3 a 2 ;
06. a) b = -1 ou b = 2;
d) 1
e) 4
x 3 −1
= +3
x −1
x →1+
lim
k) -1/3;
b) a = 4 e b = -13/9
l) 0;
h) e8/3;
g) 5/6;
m) 1/12;
n) 1/8;
c) a = 10, b = 8/3.
07)
a)
b)
1
0, 1, -∞, não existe, 0, 1/e, 1,
0, -∞, 1, não existe, 1/2, -1, 0
+∞, (-∞,0), (0,+∞)
c)
d)
6
(π,2π)
π
0, -∞, +∞, 0, não é contínua em zero
+∞, 0, +∞, não existe, 0, -∞, 2π,
porque lim f ( x ) ≠ f ( 0 )
+∞; x = 0 e x = π
x →0
08. a), d), e) +∞
b), f), h) – ∞
c) 0
g) 1/2
x 2 +1
x2 +1
= −∞ e lim
= +∞
sen x
sen x
x →0 −
x →0 +
b) – ∞
09. a) Não existe pois lim
c) + ∞
cos 3x
cos 3 x
= −∞ e lim
= +∞
+
x
x
−
→
x
0
x →0
d) + ∞
e) Não existe pois lim
f) Não existe, pois lim
x → −3−
3 x − 11
3 x − 11
= −∞ e lim
= +∞
+
x −3
x −3
x → −3
2 / 2;
10. a),c) 0;
b)
11. a) a
b) a/b
d) – ∞
c) 1/2
12. a) , b) , d) , e) zero;
e) 3/2
f) – 1/2
d) –1
e) cos a
h) π/2
g) – ∞
f) – sen a.
c) +∞ .
13. a) a = 1, b = -6;
b) a = 0, b = -5;
d) a = 4/3, b = 2/3;
c) a = 0, b = 12, c = 36, d = 24
e) b = 6;
14. f é contínua ∀x ∈ IR − { 2 , 5 };
15. a) não existe;
b) zero;
c) não existe;
d) 24;
e) nxo n−1
16. f não é derivável em –1 e em +1
17. a)
b)
4
3
(5,5/2)
4/3
-2
1
-3/2
5
2
-2
4
(5,-5/4)
-4
7
18. a = -1/2, b = 3/2
b) x' = 4 / 3 ;
19. a) y´ = 8x3 – 6x +1;
d) u' = −
12
(t − 7)
2
e) y' =
;
c) w' = −
90 x 2
( 6x 3 −1 )2
3
4y
2
+
10  3 2 
3
;
 y −
 2 y3
3 
+ 3 x 2 ln π ;
f) y' = 2 −
2
( );
33 x
g) y ′ = 2 x ln 2( x 3 + x + 1) + 2 x (3 x 2 + 1)
20. a) y´ = - (2/5) cosx + 9 secx tg
b) y´= x cosx;
c) f´(x) = 2 cos2x + 8 secx (2tg2x + 1);
-2
d) g´(t) = (1 + tgt) cost
e) g´(x) = – 2(senx – cosx)
21. a) t: 9x – y – 5 = 0 e n: x + 9y – 37 = 0;
b) t: y − 1 = 2( x −
f) y ′ =
e x ( senx − cos x)
sen 2 x
π
π
1
) e n : y −1 = − ( x − ) ;
2
4
4
c) t: y = 1 e n: x = π/2.
22. a) x = -2, x = 2/3;
b) x = 0, x = -4/3
23. ( 3 / 2,11 / 4)
24. a) não existe
b) (1,1), (-1,-1);
25. b = –11
26. t: y = 2x - (25/4)
27. t: y = 3x + 2
28. t1: y = x + 1/4,
29.
f ' ( x) =
t2: y = -x + 1/4
3x 2 h 2 ( x)[ xh' ( x) + h( x)] g ' ( x) x 3 h 3 ( x)
−
g ( x)
g 2 ( x)
8