exercícios resolvidos 1 - DECOM

EE-881 – Princípios de Comunicações I
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1
DECOM-FEEC-UNICAMP
EE-881 – Princípios de Comunicações I
1.
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Um experimento consiste em observar a soma dos números de 2 dados
quando eles são jogados.
a)  Descreva o espaço amostral.
"
$
$
$
$
S =$
$
$
$
$
$
#
(1− 6)
(1− 5)
(1− 4)
(1− 3)
(1− 2)
(1−1)
( 2 − 6)
(2 − 5)
( 2 − 4)
(2 − 3)
( 2 − 2)
(2 −1)
(3− 6)
(3− 5)
(3− 4)
(3− 3)
(3− 2)
(3−1)
( 4 − 6)
(4 − 5)
( 4 − 4)
(4 − 3)
( 4 − 2)
(4 −1)
(5 − 6 )
(5 − 5)
(5 − 4 )
(5 − 3)
(5 − 2 )
(5 −1)
( 6 − 6)
(6 − 5)
( 6 − 4)
(6 − 3)
( 6 − 2)
(6 −1)
%
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
&
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b)  Assumido todos os resultados equiprováveis, encontre a probabilidade da
soma ser 7 e a probabilidade da soma ser maior que 10.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
P soma = 7 = P 1− 6 + P 2 − 5 + P 3− 4 + P 4 − 3 + P 5 − 2 + P 6 −1
(
= 6×
1 1
=
36 6
)
(
)
(
)
(
)
P soma > 10 = P 5 − 6 + P 6 − 6 + P 6 − 5 = 3×
1
1
=
36 12
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2.
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Um experimento consiste em observar 6 pulsos consecutivos em um
enlace de comunicações. Pulso pode ser positivo, negativo ou ausente.
Experimentos individuais que determinam o tipo de pulso são
independentes.
i-ésimo pulso: positivo: {xi = +1}
negativo: {xi = -1}
ausente: {xi = 0}
Assuma que P(xi = +1) = 0,4 e P(xi = -1) = 0,3.
a)  Encontre a probabilidade de todos os pulsos serem positivos.
P !" x1 = +1 , x2 = +1 , x3 = +1 , x4 = +1 , x5 = +1 , x6 = +1 #$ =
(
)(
)(
)(
)(
)(
)
P x1 = +1 P x2 = +1 P x3 = +1 P x4 = +1 P x5 = +1 P x6 = +1 = 0,46 = 0,0041
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
b)  Encontre a probabilidade dos 3 primeiros serem positivos, os 2 seguintes
serem negativos e o último ausente.
P "# x1 = +1 , x2 = +1 , x3 = +1 , x4 = −1 , x5 = −1 , x6 = 0 $% =
(
)(
)(
(
) (
) (
)(
) (
)(
)(
) (
)
) (
)
P x1 = +1 P x2 = +1 P x3 = +1 P x4 = −1 P x5 = −1 P x6 = 0 =
0,43 × 0,32 × 0,3 = 0,0017
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3.
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Um submarino atira 3 torpedos contra um porta-aviões. O porta-aviões só
será afundado de 2 ou mais torpedos o atingirem. Sabendo que a
probabilidade de um torpedo acertar o porta-aviões é de 0,4, qual é a
probabilidade de afundar o porta-aviões.
!3$
0
3
#
&
P não acertar nenhum torpedo =
0,4 1− 0,4 = 0,216
# &
"0%
(
! 3$
P acertar 1 torpedo = # & 0,4
# &
"1 %
(
)
)
( )(
1
2
( ) (1− 0,4)
!3 $
P acertar 2 torpedos = # & 0,4
# &
" 2%
(
)
(
)
)
(
= 0,432
1
( ) (1− 0,4)
! 3$
P acertar 3 torpedos = # & 0,4
# &
" 3%
(
2
3
( )(
)
)
= 0,288
0
1− 0,4 = 0,064
)
(
)
P afundar o porta-aviões = P acertar 2 torpedos + P acertar 3 torpedos = 0,352
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4. Variável aleatória X:
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0 ⇒ P(0) = α
1 ⇒ P(1) = 1 - α
a)  Média:
(
)
mX = E !" X #$ = 0 ⋅ α +1⋅ 1− α = 1− α
b)  Variância:
σ X2 = E !" X 2 #$ − mX2
E !" X 2 #$ = 02 ⋅ α +12 ⋅ 1− α = 1− α
(
2
)
σ X2 = (1− α ) − (1− α ) = (1− α ) α
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5. A PDF de uma variável aleatória X é dada por:
fX
"$ k
x =#
$%0
a≤ x≤b
()
fora
a)  Determine k.
∫
∞
−∞
()
f X x dx = 1 ⇒
∫
b
a
k dx = 1 ⇒ k =
1
b−a
b)  Seja a = -1 e b = 2. Calcule P(|X| ≤ 1/2).
fX
#1
%
x = $3
%
&0
()
)
1/3
−1 ≤ x ≤ 2
fora
# 1
1&
P X ≤ 1 2 = P %− ≤ X ≤ ( =
2'
$ 2
(
fX(x)
-1 -1/2
∫
12
−1 2
()
f X x dx =
∫
0
1
1
dx =
−1 2 3
3
12
1/2
2
x
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6. Assuma que a altura das nuvens é uma variável aleatória gaussiana X com
média 1830 m e desvio padrão de 460 m. Qual a probabilidade das nuvens
estarem acima de 2750 m?
FX
'
! x − m $*
1)
x &,
x = P X ≤ x = 1+ erf #
# 2σ &,
2 )(
"
%+
()
(
)
X
" 2750 −1830 %+
1(
P X > 2750 = 1− P X ≤ 2750 = 1− *1+ erf $
'2)
#
2460 &,
(
)
(
=
1 1
− erf
2 2
= 0,023
)
( )
2 =
1 1
− ⋅ 0,954
2 2
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7.
Encontre a covariância de X e Y para
a) 
X e Y independentes.
Cov !" XY #$ = E !" XY #$ − mX mY = E !" X #$ E !"Y #$ − mX mY = mX mY − mX mY = 0
b) 
X e Y relacionados por Y = aX + b.
Cov !" XY #$ = E !" XY #$ − mX mY = E !" X aX + b #$ − mX mY
(
)
E !" XY #$ = E !" X aX + b #$ = E !"aX 2 + bX #$ = aE !" X 2 #$ + bE !" X #$ = aE !" X 2 #$ + bmX
(
)
mY = E !"aX + b#$ = a mX + b
Cov !" XY #$ = aE !" X 2 #$ + bmX − mX a mX + b = aE !" X 2 #$ − a mX2 = aσ X2
(
)
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8.
Considere um processo aleatório X(t) = Acos(ωt) + Bsen(ωt) onde ω é uma
constante e A e B são variáveis aleatórias
a) 
Mostre que a condição E[A] =E[B] = 0 é necessária para X(t) ser
estacionário.
mX t = E !" Acos ω t + Bsen ω t #$ = E !" A#$ cos ω t + E !" B#$sen ω t
()
( )
( )
( )
( )
Para X(t) ser estacionário, mX(t) tem que ser independente de de t, então
E !" A#$ = E !" B#$ = 0
b)  Mostre que X(t) é estacionário no sentido amplo (WSS) se e somente se as
variáveis A e B forem descorrelacionadas com igual variância, ou seja,
E[AB] = 0
e
E[A2] = E[B2] =σ2
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Se X(t) é estacionário no sentido amplo, então
' 2 ! π $*
2
!
#
E " X 0 $ = E ) X # &, = RX 0 = σ X2
( " 2ω %+
()
()
! π $
mas X 0 = A e X # & = B
" 2ω %
()
Então, E !" A2 #$ = E !" B 2 #$ = σ X2 = σ 2
RX t,t + τ = E !" X t X t + τ #$ = E !" Acos ω t + Bsen ω t
(
)
() (
)
(
( )
( )) ( Acos (ωt + τ ) + Bsen (ωt + τ ))#$ =
E !" A2 cos ω t cos ω t + τ #$ + E !" AB cos ω t sen ω t + τ #$ +
( ) (
)
( ) (
)
E !" ABsen ω t cos ω t + τ #$ + E !" B 2 sen ω t sen ω t + τ #$ =
( ) (
)
( ) (
1 ! 2#
E " A $ + E !" B 2 #$ cos ωτ + E !" AB#$ cos ω 2t + τ
2
{
} ( )
(
)
)
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(
)
RX t,t + τ =
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1 ! 2#
E " A $ + E !" B 2 #$ cos ωτ + E !" AB#$ cos ω 2t + τ
2
{
} ( )
(
mas E !" A2 #$ = E !" B 2 #$ = σ 2
Então,
RX t,t + τ = σ 2 cos ωτ + E !" AB#$ cos ω 2t + τ
(
)
( )
(
)
Note que RX(t, t+τ) será função apenas de τ se E[AB]=0.
Assim, se E[AB]=0 e E[A2] = E[B2] = σ2 , então temos:
mX(t) = 0
RX(t, t+τ) = σ2cosωτ = RX(τ)
logo X(t) é WSS!!!
)
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9. Mostre que se X(t) é WSS, então,
E[[X(t + τ) - X(t) ]2] = 2[RX(0) - RX(τ)]
onde RX(τ) é a autocorrelação de X(t).
2$
"
E &"# X t + τ − X t $% ' = E "# X 2 t + τ − 2 X t + τ X t + X 2 t $% =
#
%
(
)
()
(
)
(
) ()
()
E "# X 2 t + τ $% − 2E "# X t + τ X t $% + E "# X 2 t $% =
(
()
)
(
()
()
RX 0 − 2RX τ + RX 0 =
2"# RX 0 − RX τ $%
()
()
) ()
()
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10. Um processo aleatório X(t) é dado pela soma de N sinais complexos:
N
()
(
X t = ∑ An exp j2π f 0t + jΘn
n=1
)
onde An é uma variável aleatória representando a amplitude do n-ésimo sinal. A
variável aleatória Θn é uniformemente distribuída no intervalo {0, 2π}. An e Θn são
estatisticamente independentes. Encontre a autocorrelação de X(t).
RX τ = E !" X * t X * t + τ #$
()
()
(
)
!N
= E (∑ An exp − j2π f 0t − jΘn
" n=1
(
N
(
= exp j2π f 0τ
#
∑ Am exp j2π f 0 t + τ + jΘm )
$
m=1
N
)
(
(
N
) ∑∑ E !" A A #$ E !"exp { j (Θ
n
m
n=1 m=1
Pois An e Θn são estatisticamente independentes.
m
)
− Θn #$
)}
)
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Entretanto,
E #$exp j Θm − Θn %& = E #$cos Θm − Θn %& + jE #$sen Θm − Θn %&
{(
)}
(
=
)
2π
2π
0
0
∫ ∫
(
#cos θ − θ + jsen θ − θ %dθ dθ
m
n
m
n &
m
n
$
)+1
=*
,+0
(
)
(
para m ≠ n
para m = n
Logo,
N
()
)
(
RX τ = exp j2π f 0τ
) ∑ E !" A #$
2
n
n=1
)
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11. Um processo aleatório X(t) estacionário no sentido amplo possui função de
autocorrelação:
(
()
RX τ = Aexp −3 τ
)
onde A é uma constante. Encontre o espectro de potência deste processo.
( ) ∫
S f =
=
∫
∞
−∞
∞
−∞
() (
)
RX τ exp − j2π f τ d τ
(
) (
)
Aexp −3 τ exp − j2π f τ d τ
∞
0
= A ∫ exp $%− 3+ j2π f τ &' d τ + P ∫ exp $% 3− j2π f τ &' d τ
0
−∞
(
=
A
A
+
3+ j2π f 3− j2π f
=
6A
9 + 4π 2 f 2
)
(
)
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12. A relação entre a entrada e a saída de um diodo é:
Y t = X2 t
()
()
Seja X(t) um processo aleatório gaussiano com média zero e autocorrelação
dada por:
RX τ = exp −α τ
α >0
()
(
)
Encontre a média, a autocorrelação e a densidade espectral de potência de Y(t).
média:
mY = E !"Y t #$ = E !" X 2 t #$
()
()
()
()
= RX 0 = exp 0
=1
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Autocorrelação:
RY τ = E "#Y t Y t − τ $% = E "# X 2 t X 2 t − τ $%
()
() (
)
() (
)
mas X(t) e X(t – τ) são variáveis aleatórias gaussianas com média zero, então:
{
() (
)
()
(
)
{
() (
()
()
(
)
2
= RX 0 RX 0 + 2!" RX τ #$
() ()
(
= 1+ 2exp −2α τ
()
)
α >0
() (
2
)}
RY τ = E !" X 2 t #$ E "# X 2 t − τ $% + 2 E "# X t X t − τ $%
2
)}
E !" X 2 t X 2 t − τ #$ = E !" X 2 t #$ E !" X 2 t − τ #$ + 2 E !" X t X t − τ #$
(provar)
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Densidade espectral de potência:
( ) ∫
SY f =
=
=
∞
−∞
() (
)
RY τ exp − j2π f τ d τ
∞
∫
$1+ 2exp −2α τ & exp − j2π f τ d τ
'
−∞ %
∫
∞
−∞
(
(
)
)
(
∞
)
(
)
exp − j2π f τ d τ + 2 ∫ exp − j2π f τ − 2α τ d τ
( )
=δ f +
2α
π 2 f 2 +α2
−∞
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13. Suponha que um processo aleatório X(t) estacionário no sentido amplo
com densidade espectral de potência SX(t) é a entrada de um filtro como
mostrado abaixo. Encontre a densidade espectral de potência do
processo Y(t) de saída.
X(t)
+
Y(t)
Σ
-
Atraso
T
()
()
(
Y t = X t − X t −T
() () (
Resposta ao impulso do filtro: h t = δ t − δ t − T
( )
(
)
)
H f = 1− exp − j2π fT
)
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Então,
( )
( )
SY f = H f
2
( )
SX f
= 1− exp − j2π fT
(
)
!
= # 1− cos 2π fT
"
2
2
( )
SX f
$
+ sen 2 2π fT & S X f
%
(
(
))
(
(
)) ( )
= 2 1− cos 2π fT S X f
(
)
exp ± jθ = cosθ ± jsenθ
(
)
( )
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14. Um processo gaussiano estacionário X(t) com média zero e densidade
espectral de potência SX(f) é aplicado em um filtro linear cuja resposta ao
impulso h(t) é mostrada abaixo. Uma amostra Y do processo aleatório é
tomada na saída do filtro no tempo T.
h(t )
1
T
0
T
t
a)
Determine a média e a variância de Y.
b)
Qual é a função densidade de probabilidade de Y?
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a)  Saída do filtro
h(t )
∞
( ) ∫ h (τ ) X (t − τ ) d τ
Y t =
=
1
T
−∞
1
T
∫
T
0
(
)
X t − τ dτ
0
T
Fazendo T – τ = u, então, o valor da amostra de Y(t) em t = T é igual a
Y=
1
T
∫
T
0
()
X u du
A média de Y é portanto,
1 " T
% 1
E !"Y #$ = E $ ∫ X u du' =
& T
T # 0
()
∫
T
0
E !" X u #$ du = 0
()
t
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e a variância de Y é
2
σ Y2 = E !"Y 2 #$ − E !"Y #$ = E !"Y 2 #$ = RY (0)
2
Y
σ =
∫
∞
−∞
( )
SY f df =
∫
∞
−∞
( ) ( )
SX f H f
2
df
mas
(
∞
1 T
1 exp − j2π f t
H f = ∫ h t exp − j2π f t dt = ∫ exp − j2π f t dt =
−∞
T 0
T
− j2π f
( )
() (
=
)
(
)
1 !
1− exp − j2π f T #$ = sinc f T exp − jπ f T
"
2π f T
(
)
( ) (
então,
σ Y2 =
∫
∞
−∞
( )
SY f df =
∫
∞
−∞
S X f sinc 2 f T df
( )
( )
)
)
T
0
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b)
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Como a entrada do filtro é gaussiana, segue que a saída do filtro também é
gaussiana. Então, a função densidade de probabilidade de Y é dada por:
fY
" y2 %
y =
exp $$ − 2 ''
2πσ Y
# 2σ Y &
()
1
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15. Seja X(t) e Y(t) definidos por
X(t) = Acos(ωt) + Bsen(ωt)
Y(t) = Bcos(ωt) - Asen(ωt)
onde ω é uma constante e A e B são variáveis aleatórias independentes
possuindo média nula e variância σ2. Encontre a correlação cruzada de X(t)
e Y(t).
RXY t1 ,t2 = E !" X t1 Y t2 #$
( )
() ( )
= E !" Acos ω t1 + Bsen ω t1
(
( )) ( B cos (ωt ) − Asen (ωt ))#$
( )
( ( ) ( )
−E !" A #$(cos (ω t ) sen (ω t ))
−E !" B #$(sen (ω t ) cos (ω t ))
2
( ) ( ))
= E !" AB#$ cos ω t1 cos ω t2 − sen ω t1 sen ω t2
2
1
2
1
2
2
2
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Como
E !" AB#$ = E !" A#$ E !" B#$ = 0
E !" A2 #$ = E !" B 2 #$ = σ 2
Então,
( ( ) ( ))
+E !" B #$(sen (ω t ) cos (ω t ))
= σ (sen (ω t ) cos (ω t ) − cos (ω t ) sen (ω t ))
RXY t1 ,t2 = −E !" A2 #$ cos ω t1 sen ω t2
( )
2
1
2
2
1
= σ 2 sen ω t1 − t2
(
2
1
)
RXY τ = σ 2 sen ωτ
()
( )
2