Apostila - fç_ineq e eq trigo

Funções, Equações e
Inequações
Trigonométricas.
Prof. Saldan
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas
Prof. Saldan
– FORMULÁRIO –
sen(x) =
TRIÂNGULOS:
RETÂNGULO
E
CO
H
cos(x) =
CO : Cateto Oposto
(z ou y)
CA
H
tg(x) =
CA:Cateto Adjacente
(z ou y)
H:Hipotenusa
(x)
senα = cos β
e
senβ = cos α
ˆ
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos(A)
QUALQUER
a
ˆ
sen(A)
=
b
ˆ
sen(B)
=
c
ˆ
sen(C)
cos 2 (x) + s en 2 (x) = 1
RELAÇÃO
FUNDAMENTAL
tg(x) =
E
k∈
sen(x)
π
; x ≠ + kπ.
cos(x)
2
DEFINIÇÕES
cotg(x) =
RELAÇÕES
DECORRENTES
DA
RELAÇÃO
FUNDAMENTAL
CO
CA
sec(x) =
cos(x)
1
; x ≠ kπ
=
tg(x) s en(x)
cos 2 (x) = 1 − se n 2 (x)
1
π
; x ≠ + kπ
cos(x)
2
cos sec(x) =
1
; x ≠ kπ
s en(x)
s en 2 (x) = 1 − cos 2 (x)
π
+ kπ.
2
sen(x ± y) = sen(x) cos(y) ± sen(y) cos(x)
tg 2 (x) + 1 = sec2 (x); x ≠
k∈
cotg 2 (x) + 1 = cos sec 2 (x); x ≠ kπ.
sen(2x) = 2 ⋅ sen(x) cos(x)
cos(x ± y) = cos(x) cos(y) m sen(x)sen(y)
cos(2x) = cos 2 (x) − s en 2 (x)
ARCOS:
ADIÇÃO /
SUBTRAÇÃO
tg(x ± y) =
tg(x) ± tg(y)
π
; x, y ≠ + kπ .
1 m tg(x)tg(y)
2
tg(2x) =
tg(2x)
π
; x ≠ + kπ .
2
2
1 − tg (x)
DUPLO
METADE
cos(2x) = 2 cos 2 (x) − 1
cos(2x) = 1 − 2sen 2 (x)
1 + cos(x)
x
cos   = ±
2
 2
1 − cos(x)
x
sen   = ±
2
 2
1 − cos(x)
 x
tg   = ±
; x ≠ π + 2kπ
1 + cos(x)
 2
 x+y
x−y
⋅ cos 
cos(x) + cos(y) = 2 ⋅ cos 


 2 
 2 
PRODUTO
 x+y
 x−y 
⋅ sen 
cos(x) − cos(y) = −2 ⋅ s en 


 2 
 2 
 x±y
 xmy
sen(x) ± sen(y) = 2 ⋅ sen 
 ⋅ cos  2 
2




Funções, Equações e Inequações Trigonométricas
Prof. Saldan
CICLO TRIGONOMÉTRICO
LINHAS TRIGONOMÉTRICAS
cos α = OA
senα = OB
tgα = TC
cot gα = QD
se c α = OF
cos sec α = OE
Obs.: as linhas não tracejadas são fixas.
MACETES
QUANTO A REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE
QUANTO AO SINAL NOS QUADRANTES
F : falta;
P: passa.
+
SE
TA
CO
1
1
1
2
3
4
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas
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PRATICANDO
INTRODUÇÃO
01 – Generalize os arcos indicados nas figuras.
Dê as soluções em graus e em radianos.
CICLO TRIGONOMÉTRICO
O ciclo ou circunferência trigonométrica é
um conjunto de pontos que estão a uma distância
fixa (1 unidade de comprimento) do centro do
sistema de coordenadas perpendiculares xOy
também chamado de Plano Cartesiano. É uma
circunferência
orientada, isto é,
atribui-se a um
dos sentidos que
se pode percorrerla
um
sinal,
positivo
ou
negativo. No ciclo
trigonométrico o
sentido
antihorário é tomado
como positivo.
Finalmente, toma-se como origem dos arcos o
ponto representado pelo par ordenado (1, 0).
Na circunferência de raio 1, orientada e com
origem definida (ciclo trigonométrico), um ponto
sobre a circunferência representa: um arco de
medida α; e um par ordenado (x, y) tal que
x = cos(α) e y = sen(α).
ARCOS CÔNGRUOS
Dois ou mais arcos são chamados côngruos
quando têm a mesma extremidade, contudo são
diferentes pelo número de voltas na circunferência.
Assim, arcos de medidas distintas têm o mesmo
valor para o seno, cosseno, tangente, secante e
cossecante, se forem côngruos, pois representam
um ponto comum no ciclo trigonométrico. Por
exemplo:
sen (15º) = sen (375º) = sen (-345º) = B
As reticências indicam que existem infinitas
igualdades.
02 – (Cefet) Sabendo-se que 3x – 45 e 2x + 135
exprimem as medidas de dois arcos côngruos,
pode-se afirmar que x é dado por:
a) 120º.(2k + 1), sendo k ∈ Z
b) 160º.(3k + 1), sendo k ∈ Z
– 705º = 15º – 2.360º
c) 120º.(3k + 1), sendo k ∈ Z
– 345º = 15º – 1.360º
d) 180º.(2k + 2), sendo k ∈ Z
15º = 15º + 0.360º
e) 180º.(2k + 1), sendo k ∈ Z
375º = 15º + 1.360º
735º = 15º + 2.360º
Generalizando:
AB = 15o + k ⋅ 360o .
k∈Z
Usualmente o arco é medido em radianos, isto é,
AB =
π
π
+ 2kπ
+ k ⋅ 2π ou AB =
12
12
1
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas
EQUAÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
Equações são expressões que possuem
necessariamente uma igualdade e (pelo menos)
uma incógnita.
Na expressão: cos(x) – 1 = 0, a incógnita x
representa um arco (ângulo) associado ao cosseno.
Chamaremos de equações trigonométricas as
equações em que as incógnitas estiverem
associadas
ao
seno,
cosseno,
tangente,
cotangente, secante ou cossecante.
A resolução de uma equação consiste
basicamente em “encontrar” valor(es) para a(s)
incógnita(s) para que a expressão torne-se
verdadeira, soluções ou raízes da equação.
É importante ressaltar que para resolver as
equações trigonométricas podemos e devemos
utilizar as técnicas de resolução de equações: do
1º grau; do 2º grau; polinomiais. Assim como os
produtos notáveis e as relações trigonométricas.
EQUAÇÕES ELEMENTARES
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PRATICANDO
01 – Encontre todas as soluções para:
a) sen(x) = 1
b) 2.cos(x) = 1
c) tg  3x +

π
= 3
12 
02 – Resolva as equações em x no conjunto dos
reais:
a) 2.cos(x) – 3.sec(x) = 5
Dada uma equação trigonométrica
procuraremos escreve-la em uma das formas
elementares:
sen(x)=n
cos(x)=n
tg(x)=n
onde n é um valor numérico.
Exemplo:
Reescrevendo:
cos(x) – 1 = 0.
cos(x) = 1.
Para encontrar o(s) valor(es) de x que
satisfazem
a
expressão, observe
no ciclo os arcos
(ângulos) em que o
cosseno vale 1.
São eles 0 e 2π rad,
isto,
se
nos
limitarmos a apenas
uma volta no ciclo.
Contudo
existem
infinitos
valores
para
os
quais
cosseno é igual a 1.
Assim, a melhor solução para a equação é:
b)
3 ⋅ sen(x) − 3 ⋅ cos(x) = 0
03 – Para x∈[0, 2π], quantas são as raízes da
sen(2x)
0
0
cos(x) sen(x) = 0 .
sen(4x) sen(x) cos(x)
equação, cos(3x)
S = {x ∈ R€/ x = 2kπ, k ∈ Z}
Observe a necessidade de estarmos bem
familiarizados com os conceitos de congruência e
das linhas trigonométricas no ciclo trigonométrico.
É importante memorizar os valores do seno,
cosseno e tangente, ao menos para os principais
arcos, por exemplo:
π π π π
3π
0; ; ; ; ; π; ;2π , e
6 4 3 2
2
seus simétricos.
2
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas
FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
Funções são relações tais que, para todo
elemento de um conjunto (Domínio) existe um e
apenas um correspondente num outro conjunto
(Contra-domínio).
Para o estudo de funções trigonométricas
tomaremos o ciclo trigonométrico como sendo:
2
2
C = {(x, y) ∈ RXR ; x + y = 1}, com x=cos(θ) e
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PRATICANDO
01 – Dê o domínio, faça um esboço do gráfico e
indique o período e a imagem das funções:
a) f(x) = cos(x)
Dom(f) =
Gráfico:
y=sen(θ).
Assim, na função
f: R→R, definida por
f(x) = sen(x), x ∈ R, por
x
0
π/2
π
3π/2
2π
y
x
0
π/2
π
3π/2
2π
y
exemplo, os elementos
do domínio são pontos
sobre a circunferência e
as respectivas imagens
serão as ordenadas
deste ponto.
DOMÍNIO E IMAGEM
Nas funções trigonométricas o domínio será
obtido observando-se as representações das seis
linhas trigonométricas (seno, cosseno, tangente,
cotangente, secante e cossecante) no ciclo
trigonométrico, ou ainda, nos casos da tangente,
cotangente, secante e cossecante por suas
definições em função do seno e do cosseno.
Quanto à imagem esta nos fornecerá entre
outros, os extremos (valores de máximo e de
mínimo,
se
existirem),
crescimento
e
decrescimento, e ainda, o sinal da função (se
positivo ou negativo).
P(f) =
Im(f) =
b) f(x) = 1 + cos(x)
Dom(f) =
Gráfico:
PERIODICIDADE
As funções trigonométricas são periódicas,
isto é, existe um número k ≠ 0 tal que f(x + k) = f(x),
para todo x ∈ R. O menor número k > 0 que
satisfaça a relação anterior é dito período da
função. Geometricamente isto significa que o
gráfico da função se repete em intervalos de
tamanho k no eixo das abscissas.
SIMETRIAS - PARIDADE
Para testar a paridade de uma função faremos
a substituição de (x) por (–x). Se caso não houver
alteração na sua imagem, isto é, f(–x) = f(x) então
a função é dita par, e observa-se uma simetria do
gráfico em relação ao eixo das ordenadas. Se a
imagem for oposta, isto é, f(–x) = –f(x), a função é
chamada ímpar, e observa-se uma simetria em
relação ao centro do plano cartesiano. A função
será classificada como nem pare nem ímpar, caso
não aconteça nenhum dos casos anteriores.
P(f) =
Im(f) =
02 – Qual a paridade das funções do exercício
anterior?
3
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas
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03 – Dê o domínio, faça um esboço do gráfico e
indique o período e a imagem das funções:
a) f(x) = 2.cos(x)
Dom(f) =
Gráfico:
x
0
π/2
π
3π/2
2π
y
P(f) =
Im(f) =
d) f(x) = 1 + cos(x+π/3)
Dom(f) =
Gráfico:
x+π/3
0
π/2
π
3π/2
2π
x
y
P(f) =
Im(f) =
b) f(x) = –2.cos(x)
Dom(f) =
Gráfico:
x
0
π/2
π
3π/2
2π
y
P(f) =
Im(f) =
OBSERVE E REFLITA
Nos exercícios deste assunto, até aqui, as
funções podem ser escritas, generalizando, como:
f(x)=A+B.cos(Cx+D).
Existem relações diretas estabelecidas entre os
valores de A, B, C, D e o gráfico da função. Estas
relações podem resultar numa maior agilidade na
resolução de alguns exercícios.
P(f) =
Im(f) =
ABSTRAINDO
01 – Dos exercícios resolvidos até aqui, pode-se
observar alterações nos gráficos, nos períodos,
nos zeros e nas imagens das funções, decorrentes
das alterações nos valores de A, B, C, D.
Estabeleça daí as relações mencionadas. Estas
relações podem ser estendidas para a função seno.
c) f(x) =1 –2.cos(x)
Dom(f) =
Gráfico:
x
0
π/2
π
3π/2
2π
Y
4
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas
FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
(continuação)
Excluindo-se as funções seno e cosseno, todas
as demais funções trigonométricas apresentam
problemas no conjunto domínio.
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PRATICANDO
01 – Dê o domínio, faça um esboço do gráfico e
indique o período e a imagem das funções:
a) f(x) =tg(x)
Dom(f) =
Gráfico:
x
y
x
y
f(x)=A+B.tg(Cx+D)
e
f(x)=A+B.sec(Cx+D)
Das suas definições temos que:
tg(Cx + D) =
sen(Cx + D)
cos(Cx + D)
e
sec(Cx + D) =
1
cos(Cx + D)
P(f) =
Im(f) =
Satisfeita a condição de:
b) f(x) =cossec(x)
cos (Cx + D) ≠ 0
Logo, o conjunto domínio, das funções tangente e
secante, pode ser encontrado fazendo:
Dom(f) =
Gráfico:
π


Dom(f ) =  x ∈ ;Cx + D ≠ + kπ, k ∈  .
2


f(x)=A+B.cotg(Cx+D)
e
f(x)=A+B.cossec(Cx+D)
Das suas definições temos que:
P(f) =
Im(f) =
cos(Cx + D)
cotg(Cx + D) =
sen(Cx + D)
e
sec(Cx + D) =
1
s en(Cx + D)
Satisfeita a condição de:
OBSERVE E REFLITA
Novamente dada à função escrita na forma
generalizada como:
sen (Cx + D) ≠ 0
f(x)=A+B.função(Cx+D).
Logo, o conjunto domínio, das funções cotangente
e cossecante, pode ser encontrado fazendo:
Existem relações diretas estabelecidas entre os
valores de A, B, C, D e o gráfico da função. Estas
relações podem resultar numa maior agilidade na
resolução de alguns exercícios.
Vale ressaltar que devemos tentar escrever
uma função trigonométrica nas formas anteriores.
Dom(f ) = { x ∈ ;Cx + D ≠ kπ,k ∈
}.
5
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas
INEQUAÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
Inequações são expressões que possuem
necessariamente uma desigualdade (>, ≥, <, ≤ ou ≠)
e (pelo menos) uma incógnita.
Na expressão: tg(x) – 1 ≥ 0, a incógnita x
representa um arco (ângulo) associado a tangente.
Chamaremos de inequações trigonométricas
as inequações em que as incógnitas estiverem
associadas
ao
seno,
cosseno,
tangente,
cotangente, secante ou cossecante.
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PRATICANDO
01 – Resolva as seguintes inequações, para
0 ≤ x < 2π.
1
2
a)
sen(x) <
b)
cos(x) ≤
c)
sec(x) ≥ 2
d)
1
π

sen  x +  < −
3
2

RESOLUÇÃO
As
soluções de uma inequação são intervalos
numéricos. Para encontrar tais intervalos usamos
os mesmos artifícios usados na resolução de
inequações
não
trigonométricas,
quando
necessário, associado ao método gráfico utilizada
nas equações trigonométricas.
Na inequação acima podemos resolvê-la
apenas reescrevendo:
3
2
tg(x) ≥ 1
Recorremos ao ciclo para encontrar as soluções:
02 – Resolva a inequação 2.cos2(x)+cos(x)–1<0,
para x∈[0, 2π].
Assim, a solução para x ∈ [0, 2π], fica:
π
3π 
π 5π

S =  x ∈ ; ≤ x < ou
≤x<
.
4
2
4
2 

6
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas
EXERCÍCIOS
DE VESTIBULARES
ARCOS E CICLO
01 – (UFRS) Considere as seguintes afirmações
para arcos medidos em radianos:
I) sen 1 < sen 3
II) cos 1 < cos 3
III) cos 1 < sen 1
Quais são verdadeiras?
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas II é verdadeira.
c) Apenas III é verdadeira.
d) São verdadeiras apenas I e II.
e) São verdadeiras I, II e III.
08 – (UFSCAR) O valor de x, 0≤x≤π/2, tal que
2
03 – (FEI) Se 0 < x < π/4, é válido afirmar-se que:
a) sen (π/2 - x) = sen x
b) cos (π - x) = cos x
c) sen (π + x) = sen x
d) sen (π/2 - x) = cos x
e) cos (π + x) = sen x
04 – (UEL) Se senx=1/2 e x é um arco do 2º
quadrante, então cos2x é igual a
a) 1
b) 3/4
c) 1/2
d) -1/2
e) - 3/4
número
07 – (PUC) Se sen(x)=1/5 e sen(y)=1/5, então
podemos afirmar que:
a) x = y;
b) os arcos de medidas x e y têm extremidades
simétricas em relação ao eixo das abscissas;
c) os arcos de medidas x e y têm extremidades
simétricas em relação ao eixo das ordenadas ou
têm a mesma medida;
d) os arcos de medidas x e y têm extremidades
simétricas em relação à origem do sistema
cartesiano;
e) os arcos de medidas x e y têm extremidades
simétricas em relação ao eixo das ordenadas.
EQUAÇÕES
02 – (UFLAVRAS) A figura MNPQ é um retângulo
inscrito em um círculo. Se a medida do arco AM é
π/4 rad, as medidas
dos arcos AN e AP,
em
radianos,
respectivamente, são:
a) 3π/4 e 5π/4
b) π e 3π/2
c) 3π/4 e 2π
d) π/2 e 5π/4
e) 3π/4 e 5π/8
05 – (UEL) Para qualquer
sen x-(π/2) é igual a:
a) -sen x
b) 2 sen x
c) (sen x)(cos x)
d) 2 cos x
e) -cos x
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real
x,
06 – (UFAL) Analise as afirmativas abaixo, nas
quais x é um número real.
01) sen 495° = sen π/4
02) tg 8π/7 < 0
04) sen π/5 + sen π/5 = sen 2π/5
08) A equação tgx = 1000 não tem solução
16) Para 0 ≤ x < π/4 tem-se cos x > sen x
2
4.(1–sen x).(sec x–1)=3 é
a) π/2.
b) π/3.
c) π/4.
d) π/6.
e) 0.
09 – (UEL) Se x∈[0, 2π], o número de soluções
da equação cos2x=sen[(π/2)-x] é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
10 – (CESGRANRIO) O número de soluções da
2
equação sen (x)=2sen(x), no intervalo [0,2π], é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
11 – (FUVEST) Determine o número de soluções
2
2
2
da equação (2cos x + 3senx).(cos x – sen x) = 0,
que estão no intervalo [0,2π].
12 – (FUVEST) A soma das raízes da equação
2
4
sen x – 2cos x=0, que estão no intervalo [0, 2π], é:
a) 2π
b) 3π
c) 4π
d) 6π
e) 7π
13 – (UEL) Em relação à equação cos x=cos 2x,
com x∈[0, 2π], é correto afirmar:
a) Possui uma solução no 3º quadrante.
b) Possui duas soluções no 2º quadrante.
c) Possui somente a solução nula.
d) Uma das suas soluções é π.
e) A única solução não nula é 2π/3.
14 – (UFMG) Determinando todos os valores de x
7
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas
pertencentes ao intervalo (0, π) que satisfazem a
equação: 3.tg(x)+2.cos(x)=3.sec(x), temos:
a) S={π/3, 5π/3, 7π/3}
b) S={π/4, 5π/4, 7π/4}
c) S={π/6, 5π/6}
d) S={π/3, 5π/3}
INEQUAÇÕES
15 – (UNESP) O conjunto solução de |cos x|<1/2,
para 0<x<2π, é definido por:
a) (π/3)<x<(2π/3) ou (4π/3)<x<(5π3)
b) (π/6)<x<(5π6) ou (7π/6)<x<(11π/6)
c) (π/3)<x<(2π/3) e (4π3)<x<(5π/3)
d) (π/6)<x<(5π/6) e (7π/6)<x<(11π/6)
e) (π/6)<x<(2π/3) ou (4π/3)<x<(11π/6)
16 – (UFRS) No intervalo real [0, π/2], o conjunto
solução da desigualdade sen x cos x ≤ 1/4 é
a) [0, π/15]
b) [0, π/12]
c) [0, π/10]
d) [0, π/8]
e) [0, π/6]
17 – (ITA) Para x no intervalo [0, π/2], o conjunto
de todas as soluções da inequação
sen (2x) - sen (3x +π/2) > 0
é o intervalo definido por
a) π/10 < x < π/2.
b) π/12 < x < π/4.
c) π/6 < x < π/3.
d) π/4 < x < π/2.
e) π/4 < x < π/3.
18 – (UFSC) Determine a soma dos números
associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S):
01) Se tg x=3/4 e π<x<3π/2, então o valor de
senx-cosx é igual a 1/5.
02) A menor determinação positiva de um arco de
1000° é 280°.
04) Os valores de m, de modo que a expressão
senx=2m-5 exista, estão no intervalo [2,3].
08. sen x > cos x para -π/4 ≤ x ≤ π/4.
16) A medida em radianos de um arco de 225° é
(11π/6)rad.
32) Se sen x > 0, então cosec x < 0.
2
64) A solução da equação 2sen x + 3sen x = 2
para 0 ≤ x ≤ 2π é x=π/6 ou x=5π/6.
19 – (FEI) Se 0 < x < 2π e sen x > cos x então:
a) π/4 < x < 5π/4
b) π/4 < x < 7π/4
c) π/8 < x < 7π/8
d) π/2 < x < 3π/2
e) π/4 < x < 3π/2
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b) 0 < x ≤ π/3 ou 5 π/3 < x ≤ 2π
c) 0 < x ≤ π/3
d) 5 π/3 < x ≤ 2π
e) 0< x < 2π
21 – (MACK) Quando resolvida no intervalo
[0; 2π], o número de quadrantes nos quais a
desigualdade
é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
2cos(x) < 3 apresenta soluções
FUNÇÕES
22 – (FATEC) No intervalo ]0, π[, os gráficos das
funções definidas por y = sen x e y = sen 2x
interceptam-se em um único ponto.
A abscissa x desse ponto é tal que
a) 0 < x < π/4
b) π/4 < x < π/2
c) x = π/4
d) π/2 < x < 3π/4
e) 3π/4 < x < 2π
23 – (PUC) Seja f a função de IR em IR definida
por f(x) = sen x. O conjunto solução da inequação
f(x)≥0, no universo U=[0,2π] é
a) [0, π]
b) [π/2, 3π/2]
c) [π, 2π]
d) [π/2, π] ∪ [3π/2, 2π]
e) [0, π/2] ∪ [3π2, 2π]
24 – (UFES) Uma pequena massa, presa à
extremidade de uma mola, oscila segundo a
equação: f(t) = 8sen (3πt), que representa a
posição da massa no instante t segundos, medida
em centímetros a partir da posição de equilíbrio.
Contando a partir de t=0, em que instante a massa
passará pela sétima vez a uma distância |f(t)| de
4cm da posição de equilíbrio?
a) 11/18
b) 13/18
c) 17/18
d) 19/18
e) 23/18
25 – (FUVEST) Na figura a seguir, a reta r passa
pelo ponto T=(0,1) e é paralela ao eixo Ox.
20 – (UNIRIO)
Resolva
a
sentença
2
2 cos x – 3 cos x + 1 ≤ 0, sendo 0≤x<2π.
a) 0 ≤ x ≤ π/3 ou 5 π/3 ≤ x < 2π
8
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas
Prof. Saldan
(3) Quando a quantidade de energia solar média é
máxima, a temperatura média semanal também é
máxima.
29 – (UFRS) Se f(x) = a + bsen x tem como
gráfico
A semi-reta Ot forma um ângulo α com o semi-eixo
Ox (0°<α<90°) e intercepta a circunferência
trigonométrica e a reta r nos pontos A e B,
respectivamente. A área do triângulo TAB, como
função de α, é dada por:
a) (1 - senα) . (cosα)/2.
b) (1 - cosα) . (senα)/2.
c) (1 - senα) . (tgα)/2.
d) (1 - senα) . (cotgα)/2.
e) (1 - senα) . (senα)/2.
26 – (PUC) Observe o gráfico a seguir.
então
a) a = -2 e b = 1
b) a = -1 e b = 2
c) a = 1 e b = -1
d) a = 1 e b = -2
e) a = 2 e b = -1
UEM - DE 98 A 04
30 – (inv.-98) O número de raízes da equação
2
sen 2x – sen 2x = 0, para 0 ≤ x < 2π é ...
A função real de variável real que MELHOR
corresponde a esse gráfico é
a) y = cos x
b) y = sen x
c) y = cos 2x
d) y = sen 2x
e) y = 2 sen x
27 – (UEL) A função dada por f(x) = (tg x) . (cotg x)
está definida se, e somente se,
a) x é um número real qualquer.
b) x ≠ 2kπ, onde k ∈ Z
c) x ≠ kπ, onde k ∈ Z
d) x ≠ kπ/2, onde k ∈ Z
e) x ≠ kπ/4, onde k ∈ Z
28 – (UNB) Supondo que, em determinada região,
a temperatura média semanal T(em °C) e a
quantidade de energia solar média semanal Q que
2
atinge a região (em kcal/cm ) possam ser
expressas em função do tempo t, em semanas, por
meio das funções:
  t − 15  
e
T(t) = 10 + 12sen  2π 

  52  
  t − 11   , julgue os itens a
Q(t) = 400 + 200sen  2π 

  52  
seguir.
(1) A maior temperatura média semanal é de 22°C.
(2) Na 50.ò semana, a quantidade de energia solar
média semanal é mínima.
31 – (ver.-98) Com relação à equação
2
4.cos x + 4.senx = 1, para 0 ≤ x ≤ 2π, é correto
afirmar que
(01) o módulo da diferença das raízes é maior do
que π.
(02) a equação possui duas raízes distintas.
(04) a soma das raízes é um número natural.
(08) a soma das raízes é 3π.
77 π 2
(16) o produto das raízes é
.
36
32 – (inv.-99) Nos itens abaixo, suponha que x
seja um número real e que todos os ângulos
estejam em radianos. Sobre isso, é correto afirmar
que
(01) a função tgx está definida para todo x.
(02) se y = cos1.cos2.cos3.cos4, então y > 0.
π
2π
<x<
, então tg2x>0.
2
3
3
π 3

(08) se cos x = , então sen  x +  = .
5
2 5

(04) se x é tal que
(16) se
cos x =
2
2
e x está no quarto quadrante,
2
então 1 – tg x = 0.
π
1 + cos  
4.
2 π
(32) cos   =
2
8
9
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas
(64)
se
cos x = 3 ⋅ senx
π
x = + kπ , k ∈
3
,
então
(32) Os valores de x no intervalo [0, π] que
1
≤ sen2x < 1 são tais que
2
5π
π
π
≤x≤
, com x ≠ .
12
12
4
satisfazem
.
33 – (ver.-99) Considere na circunferência
trigonométrica, os pontos P1 e P2, como
extremidades de dois arcos menores que π
radianos e medidos no sentido anti-horário, a partir
de A(1,0).
Se
AP1 = α e AP2 = β = 180o − α , então, é
correto afirmar que
(01) sen α = sen β .
(02) sen α > 0.
(04) cos α > 0.
(08) os pontos P1 e P2 são simétricos em relação
ao eixo das ordenadas.
(16) cos α = cos β .
(32) os pontos P1 e P2 estão no mesmo quadrante.
(64) cos (α + β ) = -1.
34 – (esp.ver.-00) O número de raízes distintas
da equação sen3x + sen7x = 0, no intervalo [0, 2π],
é ....
35 – (inv.-00) Se θ é um arco tal que
37 – (inv.-01) Considerando que, nos itens abaixo,
todos os ângulos são medidos em radianos,
assinale o que for correto.
(01) Se 0 ≤ x ≤ 2π
e
tgx . cosx < 0, então
π
≤x≤π.
2
2
cos
(32) sen 2θ é negativo.
(64)
s en
θ
2
<
2
2
36 – (ver.-00) Nos itens abaixo, considere todos
os ângulos em radianos. Nessas condições,
assinale o que for correto.
(01) sen2x = 2senx, ∀x∈R.
4
4
(02) cos x – sen x = cos2x, ∀x∈R.
senx
cos x
(04)
+
= 1 , ∀x∈R.
cos sec x sec x
(32)
4
sen1 < sen
0 ≤ x ≤ 2π,
Se
o
conjunto-solução
da
1
é o conjunto dos
2
π
números reais x tais que 0 ≤ x ≤
ou
3
5π
≤ x ≤ 2π .
3
inequação
cos x ≥
38 – (inv.-01) Um balão parado no céu é
observado sob um ângulo de 60º. Afastando-se 3
metros, o observador passa a vê-lo sob um ângulo
1
. Então, a altura do balão
2
multiplicada por 11(6 − 3) é ...
α tal que
tgα =
39 – (ver.-01)
correta(s).
(01)
sen
Assinale
a(s)
alternativa(s)
π
4π
+ 4 cos
− cos ( −π ) = 0 .
2
3
(02) Em um triângulo no qual dois de seus ângulos
medem
(08) Existem apenas dois valores de x no intervalo
 π 5π 
2
 2 , 2  , tais que sen x = 1.


(16) se senx + cos x = a , com a > 0 e
b
senx ⋅ cos x = , então a – b = 1.
2
2
π
.
4
 3π

(08) sen 
− x  = − cos x .
 2

1
2
(16) Se cos x = , então cos 2x = .
3
3
(04)
π
<θ<π,
2
θ
2
.
<
2
2
2
(02) sen – sen x.cos x = sen x.
pode-se afirmar que
(01) cos (θ + α) = -1, onde α é o suplementar de θ.
(02) cos 2θ é negativo.
(04) tg 2θ é negativo.
(08) cos θ é negativo.
(16)
Prof. Saldan
π
rad e 40º, o terceiro ângulo mede
3
4π
rad.
9
(04) (1 + cos x) . (1 – cos x) = tg x . cos x ,
x≠
(08)
para
π
+ kπ , k∈Z.
2
(senx − cos x)2 =
1
, para x = 15º.
2
10
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas
5π
< 0.
4
2sen53o − cos 37o
(32)
= 1.
cos 37o
(16)
tg
(16)
Prof. Saldan
( cos2 ( x)−1)  = 1 + cos(2x) , para todo x
2 ⋅ ln  e



real.
(32) sen(x+y)<sen(x)+sen(y), para todo x e y reais.
40 – (ver.-01) No problema a seguir, considere
que qualquer trajetória do ciclista é feita em linha
reta e com velocidade constante e igual a 10 m/s.
Duas rodovias H e R cruzam-se em um ponto A,
segundo um ângulo de 60º. Um ciclista parte do
ponto A pela rodovia H e, após um terço de hora,
atinge um ponto B, de onde é possível seguir para
a rodovia R, percorrendo o menor caminho,
atingindo-a no ponto C. Para retornar de C ao
ponto A de origem, pela rodovia R, a distância que
o ciclista deve percorrer, em quilômetros, é...
43 – (2º-03) Sendo x um arco do primeiro
quadrante, em graus, o valor de x que satisfaz a
equação sen 31º + sen 29º = sen x é ...
44 – (1º-04) Para obter a altura CD de uma torre,
um
matemático,
utilizando
um
aparelho,
estabeleceu a horizontal AB e determinou as
medidas dos ângulos α = 30º e β = 60º e a medida
do segmento BC = 5 m, conforme a figura. Nessa
condições, a altura da torre, em metros, é ...
41 – (ver.-02) Nos itens abaixo, considere todos
os ângulos em radianos. Nessas condições,
assinale o que for correto.
(01) Os números reais x que satisfazem a equação
π
kπ π

cos  2x −  = 0 , são tais que x =
+ ,
3
2 6

para todo número inteiro k.
(02) Se
(04)
cos x =
2
, então, m ≤ - 1 ou m ≥ 3.
m−1
sen2x
= cos x , para todo número real x tal
2senx
que x ≠ kπ, onde k é um número inteiro
qualquer.
π
, então cos2x ≤ 0.
2
π
(16) Se 0 ≤ x ≤ , então sen x + cos x ≥ 1.
2
(08) Se
0<x<
(02) A ordenada de P é igual a
(32) Se y = cos 4, então 0 < y < 1.
π
(64) Se
<x<π
2
2 5
tgx = −
.
5
e
2
senx =
,
3
então
42 – (1º-03) Sobre trigonometria, assinale a(s)
alternativa(s) correta(s).
2
(01) 2cos (x) = 1 + cos(2x), para todo x real.
1 − cos 2 (2x)
(02) sen (x) ⋅ cos (x) =
, para todo
4
2
45 – (1º-04) Considere um ponto P(x, y) sobre a
circunferência trigonométrica e que não esteja
sobre nenhum dos eixos coordenados. Seja α o
ângulo determinado pelo eixo OX e pela semi-reta
OP, onde O é a origem do sistema. Nessas
condições, assinale o que for correto.
(01) A abscissa de P é menor do que cos(α).
2
x real.
−1
(04)
= −1 , para todo x real.
2
cos (x) + sen 2 (x)
2
2
(08) tg (x) =
− 1 , para todo x real.
1 + cos(2x)
π
sen(α + ) .
2
(04) A tangente de α é determinada pela ração
entre a ordenada e a abscissa de P.
(08) As coordenadas de P satisfazem à equação
2
2
x + y = 1.
(16) Se x = y, então cotg(α) = -1.
(32)
α=
π
é o menor arco positivo para o qual a
4
equação
π
π
cos2 (α + π ) + s en 2 (α + ) = cos 2 (α + ) + s en 2 (α + π )
2
2
é satisfeita.
(64) sen(2α) = 2y.
46 – (2º-04) Sobre funções
assinale o que for correto.
trigonométricas,
3
≤ cos(x) ≤ 0 ,
2
π
3π 

para x ∈ [0, 2π], é S =  x ∈ ; ≤ x ≤
.
2
2 

(01) A solução da inequação
−
11
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas
(02) A solução da inequação sen(x).cos(x)>0, para
π
3π
x ∈ [0, 2π], é S = (0, ] ∪ [ π ,
).
2
2
(04) O período e a imagem da função f, definida
por
 3π 
f (x) = 1 + 3sen 
 , x ∈ R, são,
 2 
respectivamente, p = 4π e [-2, 4].
(08) A função g definida por g(x) = tg(x),
π π
x ∈ ( − , ) , é decrescente.
2 2
Prof. Saldan
BIBLIOGRAFIA
CARMO, Manfredo Perdigão do. Trigonometria –
números complexos. SBM.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto &
aplicações. Volume Único, Editora Ática.
LIMA, Elon Lages e Outros. A matemática do
ensino médio. Volume 1, SBM.
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria
analítica. Volume 1, McGraw-Hill.
(16) Se x + y = 60º, então
[cos(x)+cos(y)]2 +[ sen(x)-sen(y)]2 - 2 =
1
.
2
47 – (1º-05) Sobre trigonometria, assinale o que
for correto.
x
(01) 1 − cos(x) = 2sen ( ) .
2
2
MARQUES,
Paulo.
Página
na
internet
desenvolvida
por
Paulo
Marques.
http://www.terra.com.br/matematica/
Material apostilado. III Milênio ed.
Material apostilado. Editora Dom Bosco.
Material apostilado. Sistema Uno de Ensino.
Material apostilado. Sistema Maxi de Ensino.
(02) A função f definida por f(x)=cos(-x) é impar.
(04) O período da função f definida por f(x)=sen(2x)
é 4π.
(08) O conjunto-imagem da função f definida por
f(x)=cotg(x) é R – {0}.
(16)
Considerando
x=
que
cos(x) =
1
, então
2
π
+ 2kπ , k ∈ Z.
3
(32) Em um triângulo ABC, onde a medida do lado
AB é 4, a medida do lado BC é 5 e a medida
do ângulo A é 120º, a medida do lado AC é
( 13 − 2) .
GABARITO
0
0
1
2
3
4
D
A
06
06
1
C
06
E
26
86
2
A
C
B
60
07
3
D
A
A
75
89
4
C
C
D
15
20
5
E
A
D
57
44
6
17
B
D
50
05
7
C
A
D
42
49
8
B
71
03
99
9
D
A
D
43
12