Professor: Danilo 1. Resolva em : Exponencial e Logaritmo 5. Calcule: a) log 5 0,04 a) 23x + 1 = 128 2 b) 5x − 5x + 6 = 1 2 c) 5x − 5x + 6 = 0 d) 52x + 5 + 53 = 0 e) 52x + 5 − 53 = 0 x 1 x f) 1 = x x b) log2 + 3 2− c) log144 2 3 3 d) log8 2 2 Respostas: a) −4 b) −1 c) 1 4 d) 1 2 Respostas: a) {2} b) {2, 3} c) ∅ 6. Dê o domínio da função real de variável real dada por: d) ∅ e) {−1} a) f(x) = log2(5 − x) b) f(x) = logx − 17 c) f(x) = logx − 1(3 − x) f) {1, 4} 2. Resolva em : a) 52x = 4 ⋅ 5x + 5 b) 22x + 2 2 = 2 + 2 2x c) 1 + 2x + 3x = 0 d) 7x + 1 = 8x e) 2x + 1 = 23 − x + 6 Respostas: a) {1} b) 1 , 1 2 c) ∅ Respostas: a) {x ∈ : x 5} b) {x ∈ : x 1 e x ≠ 2} c) {x ∈ : 1 x 3 e x ≠ 2} 7. Se k é um número inteiro e log(7 − 5k)(7k − 5) é um número real, então k + log(7 − 5k)(7k − 5) é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Resposta: C d) {1} e) {2} 8. Sendo log2a = r, log2b = s e log2c = t, obtenha, em função de r, s e t: log2 3. Resolva em : a) 2 + b) 2 + 3 3 x x ⋅ 2– ⋅ 2– 3 3 x x =1 =4 Respostas: a) b) ∅ 4. Resolva em : 4x + 9x = 2 ⋅ 6x Resposta: { 0 } 1 Resposta: r + 2s – t 3 ab2 3 c . Professor: Danilo Exponencial e Logaritmo (a + b)2 ab em função de m = log52 e n = log53. 9. Sendo a2 + b2 = 70ab, calcule log5 14. Dado que log3913 = m, calcule log399. Resposta: 2 (1 – m) Resposta: 3m + 2n 15. Resolva em a equação: xlog2x = 4x 10. (UNIRIO-RJ) Se x = log32, então 3x + 3 –x é igual a: a) 9 7 b) 5 2 Resposta: S = 1 , 4 2 16. (UFRJ) Sendo x e y números reais, y ≠ 0, expresse o logaritmo de 3x na base 2y em função de x, y e log23. x Resposta: log23 y c) 4 d) 6 e) 9 Resposta: B 17. Resolva em : a) log(x + 2) + log(3 − x) = log(5x + 1) 11. (UFF-RJ) Sejam x, y e p números reais positivos e p ≠ 1. Se logp(x + y) = m e logpx + logpy = n, então, logp x+y é igual a: xy Resposta: 1 b) log x − log(x − 1) = log 2 Resposta: 2 c) log(x − 1) = log(2x + 3) Resposta: ∅ a) mn m b) n c) m ⋅ n d) m + n e) m – n d) logx25 = 2 Resposta: 5 18. Resolva em : Resposta: E a) (4 − logx) −1 + 2(2 + log x) −1 = 1 Resposta: 10, 100 12. (UFF-RJ) Pode-se afirmar que log18 é igual a: a) log20 – log2 b) 3log6 c) log3 + log6 d) log36 2 e) (log3) (log6) Resposta: C 13. (UNICAMP) logn logn n n Calcule o valor da expressão n , em que n é um número inteiro, n 2. b) x3 = 100 ⋅ x log x Resposta: 10, 100 c) x log x = 100x Resposta: 1 , 100 10 19 .(UNESP) Seja x um número real tal que 1 xlogx[logx2(5x – 12)] = . Então: 2 a) 0 x 1 b) 1 x 2 c) 2 x 3 d) 3 x 4 e) x 4 Resposta: D (x = 3) Resposta: –2 2 Professor: Danilo Exponencial e Logaritmo 20. (FGV-SP) Se a e b são soluções do sistema: x + y = 27,5 logx – logy = 1 25. Resolva em : a) log2 (log2 x) log21 Resposta: {x ∈ / x 2} , então a ⋅ b é: b) log2 (log2 x) 0 Resposta: {x ∈ / 1 x 2} a) 16,9 b) 22,5 c) 62,5 d) 19,6 e) n.d.a. c) log2 (log3x) 1 Resposta: {x ∈ / 1 x 9} d) log0,5(log2 x) 0 Resposta: {x ∈ / 1 x 2} Resposta: C 201. (UERJ) Se log2x + log2x2 + log2x3 = 6, então x é: a) 2 b) 3 c) 4 d) –2 e) 1 Resposta: A 22. (UFSC) O valor de x que satisfaz a equação log10(x + 5) + log10(x – 6) = 1 + log10(x – 4) é: 26. (UNESP) Numa experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente uma certa quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a uma fonte de calor para que a água evaporasse lentamente. A experiência termina quando toda a água se evaporar. Em cada instante t, a quantidade de água existente no recipiente (em litros) é dada pela expressão: k Q(t) = log10 10 t+1 com k uma constante positiva e t em horas. a) 5 b) 4 c) 1 d) 6 e) 10 a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no recipiente, determine a constante k. Resposta: 1 Resposta: E 23. (UFRN) Se a equação x2 + 8x + 2loga = 0 possui duas raízes reais e iguais, então a é igual a: a) 10 b) 102 c) 104 d) 106 e) 108 Resposta: E b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará? Resposta: 9 horas 27. (UNESP) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções: altura: H(t) = 1 + (0,8) ⋅ log2(t + 1) diâmetro do tronco: D(t) = (0,1) ⋅ 2 24. Resolva em : a) 0,375 2x − 1 0,375x − 7 2 b) 2x − 1 1 2 c) 0,2x − 1 1 Respostas: a) {x ∈ / x −6} b) {x ∈ / x −1 ou x 1} t 7 com H(t) e D(t) em metros e t em anos. a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas. Resposta: Altura: 1m, diâmetro: 10cm. c) {x ∈ / −1 x 1} b) A altura de uma árvore é 3,4m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros. Resposta: 20cm. 3 Professor: 28. Danilo Exponencial e Logaritmo A escala de pH, que mede a concentração de íons de hidrogênio em soluções, vai de 0 (o grau mais ácido) até 14 (o grau mais alcalino). Atualmente, a água dos oceanos é meio alcalina, com pH de 8,1. Dependendo da queima de combustíveis fósseis, o pH dos oceanos pode cair para 7,9 em 2100. A função f(x) = –log10(x) fornece o pH de uma solução em função do número x de íons de hidrogênio (H3O). Com base nessas informações, determine a porcentagem estimada de aumento dos íons de hidrogênio nos oceanos de hoje para 2100. (Use a aproximação log10(1,3) = 0,1 ou, equivalentemente, 10(0,1) = 1,3). (UNESP) Resposta: 69% Comentário: Ao contrário do que está no texto, na fórmula f(x) = –logx, x não corresponde ao número de íons de hidrogênio, mas sim à concentração desses íons, em mol/litro. 29. 8 expressa, 1 + 12 ⋅ 3–(0,1)t em função do tempo t (em anos), aproximadamente, a população, em milhões de habitantes, de um pequeno país, a partir de 1950 (t = 0). Um esboço do gráfico dessa função, para 0 t 80, é dado no gráfico: (UNESP) A função p(t) = 9 + População (em milhões de hab.) 17 15 10 9 0 32 80 t (em anos) (gráfico fora de escala) a) De acordo com esse modelo matemático, calcule em que ano a população atingiu 12 milhões de habitantes. (Use as aproximações log3 2 = 0,6 e log3 5 = 1,4) Resposta: 1968 b) Determine aproximadamente quantos habitantes tinha o país em 1950. Com base no gráfico, para 0 t 80, admitindo que p(80) = 17, dê o conjunto solução da inequação p(t) 15 e responda, justificando sua resposta, para quais valores de k a equação p(t) = k tem soluções reais. Resposta: 9,6 milhões, {t ∈ / 32 t 80} e 125 k 17. 13 4