Função Logarítmica - NS Aulas Particulares

Função Logarítmica
1. (Fuvest 2013) Seja f uma função a valores reais, com domínio D  , tal que
f(x)  log10 (log1 3 (x2  x  1)), para todo x  D.
O conjunto que pode ser o domínio D é
a) x  ; 0  x  1
b) x  ; x  0 ou x  1




1
 x  10
3
1
d) x  ; x  ou x  10
3
1
10
e) x  ;  x 
9
3
c) x  ;


2. (Espm 2013) Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do
país, dando origem a uma pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha
crescido segundo a função P  0,1  log 2  x  1996  , onde P é a população no ano x, em
milhares de habitantes. Considerando 2  1,4, podemos concluir que a população dessa
cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados do ano:
a) 2005
b) 2002
c) 2011
d) 2007
e) 2004
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3. (Ueg 2013) O gráfico da função y  log(x  1) é representado por:
a)
b)
c)
d)
4. (Espcex (Aman) 2012) Na figura abaixo, dois vértices do trapézio sombreado estão no eixo
x e os outros dois vértices estão sobre o gráfico da função real f  x   log k x, com k  0 e k  1.
Sabe-se que o trapézio sombreado tem 30 unidades de área; assim, o valor de k  p  q é
a) 20
b) 15
c) 10
d) 15
e) 20
5. (Uern 2012) O produto entre o maior número inteiro negativo e o menor número inteiro
positivo que pertence ao domínio da função f(x)  log3 (x2  2x  15) é
a) – 24.
b) – 15.
c) – 10.
d) – 8.
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6. (Insper 2011) O gráfico a seguir representa as funções f(x)  2x e g(x)  log2 x.
Seja A um número inteiro tal que:
f(A)  g(A)  10

g(f(A)  g(A))  3
Então, g(g(A)) é aproximadamente igual a
a) 0,6.
b) 1,2.
c) 1,8.
d) 2,4.
e) 3,0
7. (Udesc 2009) O conjunto de números reais que representa a interseção entre os domínios
das funções
f(x) =
  2x
2

 6x  8 e g(x) = log(x + 2)
é um intervalo:
a) aberto à direita e fechado à esquerda.
b) aberto nos dois extremos.
c) fechado nos dois extremos.
d) infinito.
e) aberto à esquerda e fechado à direita.
8. (Pucrs 2008) A representação
é da função dada por y = f(x) = logn (x) O valor de logn (n3+8) é
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
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9. (Uece 2008) Na figura a seguir estão representados seis retângulos com lados paralelos
aos eixos coordenados e vértices opostos sobre o gráfico da função f(x) = log 2 x, x > 0.
A soma das áreas dos seis retângulos é igual a
a) 2 unidades de área
b) 3 unidades de área
c) 4 unidades de área
d) 5 unidades de área
10. (Unesp 2008) O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamado
de magnitude aparente da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente
que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de 10 parsecs (1 parsec é
aproximadamente 3 × 1013 km). As magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito
úteis para se determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente e M a
magnitude absoluta de uma estrela, a relação entre m e M é dada aproximadamente pela
fórmula
M = m + 5 . log3 (3 .d-0'48)
onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem aproximadamente magnitude
aparente 0,2 e magnitude absoluta - 6,8. Determine a distância, em quilômetros, de Rigel ao
planeta Terra.
11. (Ufrj 2007) Seja f: ] 0 , ∞ [  IR dada por f(x) = log3 x.
Sabendo que os pontos (a, -â), (b, 0), (c, 2) e (d, â) estão no gráfico de f, calcule b + c + ad.
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12. (Fgv 2007) O gráfico que representa uma função logarítmica do tipo f(x) = 2 + a . log (b . x),
 1  1 
,6  e  ,2  . Esse gráfico cruza o
 50   5 
com a e b reais, passa pelos pontos de coordenadas 
eixo x em um ponto de abscissa
3
a)
b)
c)
d)
e)
10
.
4
14
.
25
10
.
5
7
.
10
10
.
4
13. (Ufjf 2007) Na figura a seguir, encontram-se representados o gráfico da função f : ]0,∞[ 
IR, definida por f(x) = log2 x, e o polígono ABCD. Os pontos A, C e D estão sobre o gráfico de f.
Os pontos A e B estão sobre o eixo das abscissas. O ponto C tem ordenada 2, o ponto D tem
abscissa 2 e BC é perpendicular ao eixo das abscissas.
Sabendo que os eixos estão graduados em centímetros, a área do polígono ABCD é:
a) 2,5 cm2.
b) 3 cm2.
c) 3,5 cm2.
d) 4 cm2.
e) 4,5 cm2.
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14. (Ufpb 2007) Sabe-se que a pressão atmosférica varia com a altitude do lugar. Em
Fortaleza, ao nível do mar, a pressão é 760 milímetros de mercúrio (760 mmHg). Em São
Paulo, a 820 metros de altitude, ela cai um pouco. Já em La Paz, capital da Bolívia, a 3.600
metros de altitude, a pressão cai para, aproximadamente, 500 mmHg. Nessa cidade, o ar é
mais rarefeito do que em São Paulo, ou seja, a quantidade de oxigênio no ar, em La Paz, é
menor que em São Paulo.
(Adaptado de: <www.searadaciencia.ufc.br>. Acesso em: 02 ago. 2006).
Esses dados podem ser obtidos a partir da equação h = 18400 log 10(760/P), que relaciona a
pressão atmosférica P, dada em mmHg, com a altura h, em metros, em relação ao nível do
mar. Com base nessa equação, considere as seguintes afirmações:
I. Quando h = 1840 m, a pressão será P = 76 mmHg.
II. Quando P = 7,6 mmHg, a altura será h = 36800 m.
III. A pressão P é dada em função da altura h pela expressão
De acordo com as informações dadas, está(ão) correta(s) apenas:
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) II e III
15. (Pucmg 2006) Na figura, os pontos A e B pertencem ao gráfico da função y = log 2 x. A
medida da área do trapézio de vértices A, B, (4, 0) e (8, 0) é cinco vezes a medida da área do
triângulo de vértices A, (4, 0) e (m, 0).
Então o valor de m é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
Como x2  x  1  0 para todo x real, segue que os valores de x para os quais f está definida
são tais que
log1 3 (x 2  x  1)  0  log1 3 (x 2  x  1)  log1 3 1
 x2  x  1  1
 x  (x  1)  0
 0  x  1.
Resposta da questão 2:
[D]
Queremos calcular o valor de x para o qual se tem P  3,6. Assim,
3,6  0,1  log2 (x  1996)  x  1996  23,5
 x  23  2  1996
 x  2007,2,
ou seja, a cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados de 2007.
Resposta da questão 3:
[D]
A raiz da função y  log(x  1) é tal que
log(x  1)  0  x  1  100  x  0.
Daí, o gráfico intersecta o eixo das abscissas no ponto (0, 0).
Portanto, a alternativa correta é a [D], cujo gráfico passa pela origem.
Resposta da questão 4:
[B]
Como a função f passa pelos pontos (p, 1) e (q, 2), segue que
logk p  1  k  p
e
logk q  2  k 2  q.
Sabendo que a área do trapézio é igual a 30 u.a, vem
1 2
 (q  p)  30  q  p  20  0.
2
Daí, obtemos
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k 2  k  20  0  k  4 ou k  5.
Portanto, como k  0, temos que
k  p  q  5  5  25  15.
Resposta da questão 5:
[A]
A função f está definida para os valores reais de x, tais que
x 2  2x  15  0  (x  1)2  16
 | x  1|  4
 x  3 ou x  5.
Portanto, como 4 é o maior número inteiro negativo e 6 é o menor número inteiro positivo
que pertencem ao domínio de f, segue que o produto pedido é igual a 4  6  24.
Resposta da questão 6:
[A]
Do enunciado, temos
f(A)  g(A)  10  2A  log2 A  10
e
g(f(A)  g(A))  3  log2(2A  log2 A)  3.
Como A é inteiro, segue que
A  2  log2 (22  log2 2)  log2 5  3
A  4  24  log2 4  18  10
 A  3.
Assim,
g(g(A))  g(g(3))  log2 (log2 3)
e, portanto,
log2 (log2 2)  log2 (log2 3)  log2 (log2 4)  0  g(g(A))  1.
Resposta da questão 7:
[E]
 2 x 2  6 x  8  0  x 2  3x  4  0  ( x  1)( x  4)  0
x  2  0  x  2
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Resposta da questão 8:
[B]
f (4)  2  2  log a 4  a  2.
log 2 (a 3  8)  log 2 2 4  4.
Resposta da questão 9:
[A]
Resposta da questão 10:
7,29 × 1015 km
Resposta da questão 11:
b + c + ad = 11
Resposta da questão 12:
[C]
Resposta da questão 13:
[C]
Resposta da questão 14:
[E]
Resposta da questão 15:
[C]
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