Document

Resolução das atividades complementares
Física
4
F10 — Movimento harmônico simples
p. 8
Em questões como a 1, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
1 (UEM-PR) Tomando-se como base a conservação da energia mecânica, assinale o que for correto.
(01) Em qualquer circunstância, a energia mecânica de uma partícula é constante.
(02) A energia potencial não pode ser transformada em energia cinética.
(04) Não é possível determinar a energia potencial de uma partícula quando a sua energia cinética é nula.
(08) Durante a queda de um corpo no vácuo, a energia mecânica do corpo permanece constante.
(16) A energia mecânica de uma partícula em movimento harmônico simples (MHS) é proporcional ao quadrado da amplitude do movimento.
(32) Joga-se uma pedra verticalmente para cima. A energia cinética da pedra é máxima no momento em que ela sai da mão.
(64) Em qualquer circunstância, o tempo empregado por uma partícula para se deslocar de uma posição para outra pode ser determinado diretamente a partir da expressão que caracteriza a conservação da energia mecânica. 56
Resolução:
(01) Errada. A energia mecânica só é constante se na partícula agirem apenas forças conservativas.
(02) Errada. A energia potencial pode se transformar em cinética e vice-versa.
(04) Errada. Se a energia potencial for gravitacional, ela é calculada por Ep 5 mg L e se for elástica 2
ela é calculada por E p 5 Rx . Se for energia potencial elétrica, é calculada por Ep 5 qV.
2
(08) Correta. A queda de um corpo no vácuo sob a ação do peso do corpo é uma força conservativa.
2
(16) Correta. Emec 5 ka .
2
(32) Correta. Conforme a pedra vai ganhando altura, vai perdendo energia cinética, que é transformada em energia potencial.
(64) Errada. Não é possível determinar diretamente o tempo a partir da expressão que caracteriza a conservação de energia mecânica.
2 (UFMS) Em um movimento harmônico simples, a elongação (x) é dada por x 5 A cos(ωt 1 ϕ).
Desejando-se percentualizar a grandeza elongação, definiu-se %x 5 100x , onde xmáx representa o máximo
x máx
valor que a elongação pode assumir. Os percentuais (%v) e (%a) das grandezas velocidade e aceleração,
respectivamente, receberam definições semelhantes. O gráfico desses percentuais, em função do tempo, t(s),
está representado abaixo, com legenda posicionada na parte superior.
Considere as afirmativas:
I. O período do movimento é de 10 segundos.
II. A freqüência do movimento é de 0,1 hertz.
III. A pulsação do movimento é de π rad/s.
6
IV. O ângulo inicial de fase () é de π radianos.
6
V. A velocidade do objeto é nula no instante t 5 4 s.
É correto afirmar que:
a) apenas a afirmativa I está correta.
d) as afirmativas III e V estão corretas.
b) as afirmativas I e II estão corretas.
e) todas as afirmativas estão corretas.
c) apenas a afirmativa III é correta.
Resolução:
I. Errada. O tempo decorrido entre 2100% e 100% é T 5 (10 2 4) s → T 5 2 ? 6 → T 5 12 s
2
1
1
II. Errada. A freqüência é f 5
5
5 0,083 Hz.
T
12
III. Correta.  5 2π 5 2π  5 π rad/s
T
12
6
IV. Errada. %x 5 100x Em t 5 0 → 50 5 100x → 50x máx 5 100x →
x máx
x máx
x máx
50x máx
x máx
x
5 x → x 5
→ cos  5 x 5 2 5 máx ? 1
100
2
x máx
x máx
2
x máx
cos  5 1 →  5 π rad
2
3
V. Correta. Em t 5 4 s
%v 5 100v → 0 5 100v → 100v 5 0 → v 5 0
vmáx
vmáx
Alternativa d.
3 (Efei-MG) Um corpo executa um movimento harmônico simples, de tal forma que a sua posição
(
)
π ,
em função do tempo é dada pela expressão x 5 5,0 ? cos 4πt 1
em que x é dado em metros e t em
2
segundos. Pede-se:
a) a amplitude do movimento; 5 m
c) a posição em t 5 4 s; zero
d) o período T. 1 s
b) a freqüência f; 2 Hz
2
Resolução:
a) A 5 5 m
b)  5 4π
f 5  → f 5 4π 5 2 Hz
2π
2π
c) x 5 5 ? cos 4π ? 4 1 π
2
x 5 5 ? cos 16π 1 π
2
π
x 5 5 ? cos
2
x 50
(
(
)
)
d) T 5 1 5 1 s
f
2
4 (UFG-GO) Seja uma partícula em movimento harmônico simples regido pela função x 5 0,1 ? cos(2πt),
para x em metros e t em segundos. Responda:
a) O que representam as constantes 0,1 e 2π? 0,1 m e 2π rad/s
b) Qual a freqüência, em hertz, do movimento? 1 Hz
c) Em que posição se encontra a partícula em t 5 0 s? Qual a velocidade nesse instante? 0,1 m e zero
d) Em que posição a energia cinética é máxima? Em que instante isso acontece?
x 5 0 e t 5 n (n, natural, ímpar)
4
Resolução:
a) A amplitude e a pulsação (A e )), respectivamente.
A 5 0,1 m e  5 2π rad/s
b) f 5  → f 5 2π 5 1 Hz
2π
2π
c) x 5 0,1 ? cos (2π ? 0) 5 0,1 ? cos 0 5 0,1 m
v 5 2 0,1 ? 2π ? sen (2π ? 0) 5 20,2π ? sen 0 5 0 m/s
d) Ec é máxima quando | v| é máxima. Como | v | 5 0,2π | sen (2π ? t)|:
vmáx → | sen (2π ? t)| 5 1 → sen (2πt) 5 1
Sendo sen (2πt) 5 1, teremos cos (2πt) 5 0
Logo:
x 5 0,1 ? cos (2πt) → x 5 0
Isso ocorre nos instantes:
sen (2πt) 5 1 → sen (2πt) 5 sen n ? π
2
π
2πt 5 n
2
n
t 5 (n, natural e ímpar)
4
5 (Unisa-SP) Uma partícula realiza um movimento harmônico simples de período 2 s e amplitude de
5 cm. O módulo de sua velocidade, ao passar pelo ponto de elongação igual a 3 cm, em cm/s, será:
π
a)
c) π 2 e) 4π
2
d) 2π
b) π
Resolução:
a 5 5 cm
T 5 2 s →  5 2π 5 2π →  5 π rad/s
T
2
x 5 a cos (T 5 0) Chamado cot 1 0 5  → 3 5 5 cos 
cos  5 3
5
2
25 2 9
sen 2  1 cos 2  5 1 → sen 2  1 3 5 1 → sen 2  5 1 2 9 5
5
25
25
16
4
2
sen  5
→ sen  5 
25
5
v 5 2a → sen (t 1 0) → v 5 2π ? 5 sen 
v 5 2 π ? 5 2  4 → v 5 4π cm/s
5
| v| 5 4π cm/s
()
( )
6 (UECE) Em 1610 Galileu usou o seu recém-construído telescópio para observar Calisto, uma das
luas de Júpiter. Como observava noite após noite, ele mediu a posição de Calisto com relação a Júpiter
e verificou que esta lua se movia para a frente e para trás, o que lhe sugeria um movimento harmônico
simples. Realmente, Calisto não oscila para a frente e para trás; ela se move numa órbita aproximadamente
circular em torno de Júpiter. Essa situação pode ser visualizada observando-se a sombra de uma haste
vertical iluminada, fixada na borda de um disco que executa um movimento circular uniforme no plano
horizontal, como mostra a figura. Para um disco de 20 cm de raio, girando com freqüência de 5/π Hz, a
máxima aceleração da sombra da haste projetada na parede, P1, em m/s2, é:
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
Resolução:
a 5 R 5 20 cm 5 0,20 m
 5 2π ? f 5 2π ? 5 5 10 rad/s
π
| máx | 5  2 ? a 5 102 ? 0,20 5 100 ? 0,2
| máx | 5 20 m/s 2
p. 9
7 A posição de um ponto material que executa um MHS é dada por x 5 6 ? cos 4πt, no SI.
a) Calcule a pulsação e a fase inicial desse movimento. 4π rad/s e zero
b) Qual a posição e a velocidade inicial desse ponto material? 6 m e zero
c) Esboce, num diagrama cartesiano, o gráfico da posição em função do tempo.
1 s
d) Quanto tempo o ponto material leva para passar pela primeira vez na posição de equilíbrio?
8
Resolução:
a)  5 4π rad/s e 0 5 0
b) A função da velocidade é:
v 5 A ? sen (t 1 0)
v 5 2 4π ? 6 sen (4 πt) 5 224π sen (4πt)
Sendo t 5 0, obtemos:
x 5 6 ? coss (4π ? 0) 5 6 cos 0 5 6 m
v 5 224π sen (4π ? 0) 5 224π sen 0 5 0
c)
t
x
0
6
1
8
1
4
3
8
1
2
0
x (m)
6
26
0
0
1
8
1
4
3
8
1
2
t (s)
�6
6
d) Do gráfico, obtemos: t 5 1 s
8
8 Qual o nome de um movimento em que as oscilações se repetem igualmente no mesmo intervalo de
tempo?
Resolução:
Movimento periódico.
9 Que relação existe entre o período e a freqüência de um movimento harmônico simples?
Resolução:
Como em qualquer movimento pe­riódico, o período é o inverso da freqüência, e vice-versa.
10 Qual é a relação entre a freqüência, o comprimento de onda e a velocidade de uma onda?
Resolução:
A relação, chamada de “relação fundamental da ondulatória”, é dada por: v 5 λ ? f.
11 (Fuvest-SP) Dois corpos A e B descrevem movimentos periódicos. Os gráficos de suas posições x em
função do tempo estão indicados na figura:
Podemos afirmar que o movimento de A tem:
a) menor freqüência e mesma amplitude;
b) maior freqüência e mesma amplitude;
c) mesma freqüência e maior amplitude;
d) menor freqüência e menor amplitude;
e) maior freqüência e maior amplitude.
Resolução:
No eixo x → xmáx 5 xmáx  os dois movimentos têm a mesma amplitude. No eixo t → enquanto B
A
B
executa um movimento completo, A executa dois.
Assim, o movimento de A tem maior freqüência.
Alternativa b.
p. 11
12 O que significa período de um pêndulo?
Resolução:
Período é o intervalo de tempo em que ocorre uma oscilação completa do pêndulo.
13 Se o comprimento do fio de um pêndulo é diminuído, sua freqüência aumenta ou diminui? Por quê?
Resolução:
A freqüência aumenta, pois ocorre uma diminuição do período de oscilação.
14 O tempo necessário para uma balança de um parque de diversões oscilar para a frente e para trás
aumenta ou diminui quando uma criança senta na balança?
Resolução:
Ele permanece constante, pois para um pêndulo simples o período de oscilação independe da massa.
15 (UFMA) Em uma aula prática, o professor de Física pediu a seus alunos que determinassem a
aceleração da gravidade utilizando um pêndulo simples. Para que o valor de g, obtido por esses alunos, tenha
uma maior precisão, eles devem:
a) usar uma massa muito grande.
d) aumentar a amplitude de oscilação.
b) encurtar o comprimento do fio.
e) utilizar massas diferentes.
c) medir um número maior de períodos.
Resolução:
Sendo T 5 2π L , temos:
g
T 2 5 4π 2 ? L → g 5 4π 2 ? L2
g
T
Pela expressão, devemos variar o comprimento do fio e dessa forma medir um número maior de
períodos.
Alternativa c.
p. 12
16 (Cefet-MA) Um professor da Cefet-MA, para motivar os seus alunos a acreditarem nas leis da Física,
costumava fazer a seguinte experiência: Um pêndulo de massa igual a 1 kg era preso no teto da sala.
Trazendo o pêndulo para junto de sua cabeça, ele o abandonava em seguida, permanecendo imóvel, sem
medo de ser atingido violentamente na volta da massa. Ao fazer isso, ele demonstrava confiança na seguinte
lei física:
a) Independência do Período do Pêndulo em Relação à Massa.
b) Conservação da Quantidade de Movimento.
c) Segunda lei de Newton.
d) Primeira lei de Newton.
e) Conservação da Energia.
Resolução:
A energia mecânica do sistema se conserva. O pêndulo volta à posição inicial transformando sua
energia cinética em energia potencial gravitacional, ou seja, sua velocidade nesse ponto é nula.
Alternativa e.
17 (Unifei-SP) Os relógios de pêndulo podem ser acertados variando-se o comprimento do pêndulo
(aumentando-se ou diminuindo o seu comprimento). Qual das afirmações abaixo é correta?
a) Se o relógio estiver adiantando, devemos diminuir o comprimento do pêndulo.
b) Se o relógio estiver adiantando, devemos aumentar a massa do pêndulo.
c) Se o relógio estiver adiantando, devemos diminuir a massa do pêndulo.
d) Se o relógio estiver atrasando, devemos aumentar o comprimento do pêndulo.
e) Se o relógio estiver atrasando, devemos diminuir o comprimento do pêndulo.
Resolução:
L,
O período independe da massa do pêndulo. Sendo T 5 2π
verificamos que diminuindo o
g
comprimento L, o período do pêndulo diminui. Assim, o relógio se adiantará.
Alternativa e.
18 (Mack-SP) Num laboratório, são realizadas experiências com dois pêndulos
simples distintos. O primeiro, de comprimento L, denominado pêndulo A, possui
um corpo suspenso de massa m. O segundo, de comprimento L , denominado
3
pêndulo B, possui um corpo suspenso de massa 3m. A relação entre os respectivos
períodos de oscilação desses pêndulos é:
a) TA 5 TB ?
3
c) TA 5 TB
b) TB 5 TA ?
3
d) TA 5 9 ? TB
e) TB 5 9 ? TA
Resolução:
O período de oscilação de um pêndu
ulo não depende da massa do corpo oscilantee e é dado por:
T 5 2π L
g
Portanto: TA 5 2π L
g
TB 5 2π
TA
5
TB
L
3
g
3 → TA 5 TB 3
19 (UFPR) Uma criança de massa 30,0 kg é colocada em um balanço cuja haste rígida tem comprimento
de 2,50 m. Ela é solta de uma altura de 1,00 m acima do solo, conforme a figura abaixo. Supondo que a
criança não se auto-impulsione, podemos considerar o sistema “criança-balanço” como um pêndulo simples.
Desprezando-se a resistência do ar, é correto afirmar: (Dado: g 5 10 m/s2.)
(01)
(02)
(04)
(08)
(16)
O intervalo de tempo para que a criança complete uma oscilação é de π s.
A energia potencial da criança no ponto mais alto em relação ao solo é de 150 J.
A velocidade da criança no ponto mais próximo do solo é menor que 4,00 m/s.
Se a massa da criança fosse maior, o tempo necessário para completar uma oscilação diminuiria.
A freqüência de oscilação da criança depende da altura da qual ela é solta. 5
Resolução:
(01) Verdadeira.
2,5
T 5 2π L → T 5 2π
→ 2π 0,25 → T 5 2π ? 0,5 → T 5 π s
g
10
(02) Falsa.
EP 5 m g h → EP 5 30 ? 10 ? 1 → EP 5 300 J
(04) Verdadeira.
Da Conservação da Energia Mecânica:
EPA 5 E CB 1 EPB → m g h A 5 1 m v B 1 m g h B
2
10 ? 1 5 1 ? v 2B 1 10 ? 0,5
2
v 2B 5 10
v B 5 10 m/s
(08) Falsa.
O período de oscilação indepeende da massa.
(16) Falsa.
g
f 5 1 → f 5 1
T
2π L
A freqüência independe da amplitude.
p. 17
20 (Efoa-MG) Uma partícula presa a uma mola executa um movimento harmônico simples. É correto
afirmar que o módulo da velocidade da partícula é:
a) mínimo quando ela apresenta a aceleração máxima.
b) máximo quando a elongação é máxima.
c) mantido constante.
d) máximo quando ela apresenta a aceleração máxima.
e) mínimo quando a elongação é mínima.
Resolução:
A velocidade da partícula é mínima (v 5 0) para x 5 A, ou seja, quando a aceleração é máxima.
Alternativa a.
21 Na Terra, um corpo de massa 10 g está em movimento harmônico simples, suspenso por uma mola
de constante elástica k. Sua freqüência é de 0,10 Hz, e a aceleração da gravidade vale 10 m/s2. Outro corpo de
massa 5,0 g é suspenso por outra mola de constante elástica 2k, na superfície de outro planeta, onde g 5 20 m/s2.
Calcule a freqüência, em hertz, desse segundo corpo. 0,4 Hz
Resolução:
Dados :
m1 5 10 g 5 0,01 kg

f1 5 0,1 Hz
g 5 10 m/s 2
 1
f1 5
1
→ f1 5 1
2π
2π
m2 5 5 g 5 0,005 kg
k 2 5 2k1
g 2 5 20 m/s 2
k1
→ 0,1 5 1
2π
m1
k1
0,01
k1 5 4 ? 1024 π 2 n/m
f2 5 1
2π
k2
→ f2 5 1
m2
2π
8 ? 1024 π 2
5 ? 1023
f2 5 0,4 Hz
10
22 (UFG-GO) Uma mola de constante elástica k 5 50 N/mResolução:
e massa desprezível tem uma extremidade
fixa no teto e a outra presa a um corpo de massa m 5 0,2 kg. No
O corpo
é mantido
equilíbrio,
temos:inicialmente numa posição
em que a mola está relaxada e na vertical. Ao ser abandonado, ele passa a realizar um movimento harmônico
mg
m g →g 5
x 5
simples, em que a amplitude e a energia cinética máxima são,Frespectivamente:
10 m/s2.)
el 5 P → k x 5 (Dado:
k
a) 4 cm e 0,04 J
c) 8 cm e 0,04 J
e) 8 cm e 0,16 J
0,2 ? 10
x 5
→ x 5 0,04 m → x 5 4 cm
b) 4 cm e 0,08 J
d) 8 cm e 0,08 J
50
Resolução:
Logo: A 5 4 cm.
No equilíbrio, temos:
Na posição x 5 0, temos:
�4 cm
mg
E
;
E
5
0;
E
5
E
c máx
p
m
c máx
Fel 5 P → k x 5 m g → x 5
k
2
50 ? (0,04)2 E
0
Em 5 kA → Em 5
0,2 ? 10
x 5
→ x 5 0,04 m → x 5 4 cm
2
2
50
Em 5 0,04 J
Logo: A 5 4 cm.
4 cm
Portanto, Ecmáx 5 0,04 J.
Na posição x 5 0, temos:
Ecmáx ; E p 5 0; Em 5 Ecmáx
cmáx
23 E
(Unicamp-SP)
corpo50
de ?massa
(0,04)m2 está preso a
kA 2 →Um
Em 5
m 5
Resolução:
uma mola de constante
elástica k e em2repouso no ponto O. O
2
corpo é E
então
puxado até a posição A e depois solto. O atrito é
m 5 10 kg
m 5 0,04 J

desprezível.
Sendo
m
5
10
kg,
k
5
40
N/m,
π
5
3,14,
calcule:
Portanto, Ecmáx 5 0,04 J.
a) Dados: k 5 40 N/m
a) o período de oscilação do corpo; 3,14 s
 π 5 3,14
 por ele, durante um
b) o número de vezes que um observador, estacionário no ponto B, vê o corpo passar
O período é dado por:
intervalo de 15,7 segundos. 10 vezes
Resolução:
T 5 2π m → T 5 2 ? 3,14 10 → T 5
k
40
m 5 10 kg

15,7
b) Como 15,7 s equivalem a
5
a) Dados: k 5 40 N/m
3,144
 π 5 3,14

5 períodos e, a cada período, o corpo
O período é dado por:
passa por B duas vezes, ele passará por
B 10 vezes.
T 5 2π m → T 5 2 ? 3,14 10 → T 5 3,14 s
k
40
15,7
b) Como 15,7 s equivalem a
5
3,144
p. 18
5 períodos e, a cada período, o corpo
24 Umpas
bloco
de B0,1
kg vezes,
oscila ele
sobre
uma por
superfície horizontal. Sua elongação é dada por
sa por
duas
passará
x 5 0,1 ? B
cos1010
t 1 π no SI.
vezes.
2
5 Hz
a) Qual a freqüência do movimento do bloco?
π
b) Qual a velocidade máxima adquirida pelo bloco? 1 m/s
c) Qual a posição do bloco quando sua velocidade é máxima? x 5 0
(
)
Resolução:
a) Da função, temos:  5 10 rad/s. Logo:
 5 2πf → 10 5 2πf → f 5 10
2π
5
f 5
Hz
π
b) vmáx 5 a → vmáx 5 10 ? 0,1 → vmáx 5 1 m/s
c) v 5 1 m/s → x 5 0 (no sentido positivo de x)
v 5 21 m/s → x 5 0 (no sentido negativo de x)
11
25 Num oscilador harmônico simples, situado num plano horizontal, a mola sofre deformação de
0,20 m quando a força elástica vale 12 N. A massa do bloco é igual a 300 g, e a amplitude da oscilação vale
50 cm. Calcule:
a) as energias cinética e potencial nos pontos de deformação máxima da mola; zero e 7,5 J
b) a energia mecânica do oscilador; 7,5 J
c) o módulo da velocidade máxima do bloco; 7,1 m/s
d) o módulo da velocidade do bloco quando a deformação da mola vale 6,0 cm. 7,02 m/s
Resolução:
 x 5 0,2 m

F 5 12 N
Dados: 
m 5 300 g 5 0,3 kg
 A 5 50 cm 5 0,5 m
a) Cálculo na constante elástica da mola:
F 5 kx → 12 5 k ? 0,2 → k 5 60 N/m
Nos pontos de elongação máxima Ec 5 0, pois v 5 0.
2
Como Em 5 Ec 1 E p → Em 5 E p 5 kA
2
2
60 ? 0,5
Ep 5
5 7,5 J
2
b) Em 5 7,5 J
c) No ponto de equilíbrio E p 5 0. Logo:
2
mvmáx
2
0,3 ? mvm2 áx
7,5 5
2
vmáx 5 50  7,1 m/s
Em 5 Ec 1 E p → Em 5 Ec → Ec 5
d) Sendo x 5 6 cm 5 0,06 m, temos:
2
2
Em 5 Ec 1 E p → kA 5 1 mv 2 1 kx
2
2
2
60 ? 0,52
60 ? 0,062
1
2
5
? 0,3 ? v 1
2
2
2
2
7,5 5 0,15v 1 0,108
v 2 5 49,28
v  7,02 m/s
12
26 (UFPB) Uma jovem monitora prepara um sistema massa2mola,
como indicado na figura ao lado, com o intuito de fazer uma demonstração
para seus estudantes.
A jovem então afasta a massa de seu ponto de equilíbrio, distendendo a mola de uma certa quantidade. A
seguir a massa é solta, passando a executar um movimento harmônico simples. Com base nessa situação,
pode-se afirmar que o gráfico que melhor representa a variação da energia potencial da massa em função do
tempo, a partir do instante em que a jovem a solta, é:
a)
c)
e)
b)
d)
Resolução:
2
A energia potencial elástica em função da posição é dada por: E p 5 kx . Mas, x 5 A cos (t 5 0).
2
Então, a energia potencial elástica em função do tempo é:
Ep 5
2
k ? [A cos (t 1 0)]2
→ E p 5 k A ? cos 2 (t 1 0).
2
2
No instante t 5 0, a energia potencial é máxima e o gráfico só apresenta Ep > 0. Logo, Ep 5 f(t) é o
gráfico da alternativa a.
13