Função Inversa

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Função Inversa
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Função Inversa
1.Função sobrejetora
2.Função injetora
3.Função bijetora
4.Função inversa
1. Função sobrejetora
Uma função f de A em B é sobrejetora se, e
somente se, para todo y pertencente a B existe um
elemento x pertencente a A tal que
f(x) = y
Em símbolos
f :A→B
f é sobrejetora ⇔ ∀y , y ∈ B, ∃x, x ∈ A / f ( x ) = y
3
1. Função sobrejetora
Notemos que f: A → B é sobrejetora se, e
somente se, Im(f) = B.
f :A→B
f é sobrejetora ⇔ Im(f ) = B
Em lugar de dizermos “f é uma função
sobrejetora de A em B” poderemos dizer “f é uma
sobrejeção de A em B”.
4
1. Função sobrejetora
Exemplos:
1o) A função f de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {0, 1, 4}
definida pela lei f(x) = x2 é sobrejetora, pois, para
todo elemento y ∈ B, existe o elemento x ∈ A tal
que y = x2.
5
1. Função sobrejetora
Observemos que para todo elemento de B
converge pelo menos uma flecha.
f
0
0
-1
1
1
2
4
A
B
6
1. Função sobrejetora
2o) A função f de A = ℝ em B = {y ∈ ℝ / y ≥ 1} definida por f(x) = x2 + 1 é sobrejetora pois, para
todo y ∈ B, existe x ∈ A, tal que y = x2 + 1,
bastando para isso tomar
x = y − 1 ou x = − y − 1
7
2. Função injetora
Uma função f de A em B é injetora se, e
somente se, quaisquer que sejam x1 e x2 de A, se
x1 ≠ x2 então f(x1) ≠ f(x2).
Em símbolos
f :A→B
f é injetora ⇔
( ∀x1,
x1 ∈ A, ∀x2 , x2 ∈ A ) ( x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) )
8
2. Função injetora
Notemos que a definição proposta é
equivalente a uma função f de A em B é injetora
se, e somente se, quaisquer que sejam x1 e x2 de A,
se f(x1) = f(x2) então x1 = x2.
f :A→B
f é injetora ⇔
( ∀x1,
x1 ∈ A, ∀x2 , x2 ∈ A ) ( x1 = x2 ⇒ f ( x1 ) = f ( x2 ))
Em lugar de dizermos “f é uma função
injetora de A em B” poderemos dizer “f é uma
injeção de A em B”.
9
2. Função injetora
Exemplos:
1o) A função f de A = {0, 1, 2, 3} em B = {1, 3, 5, 7,
9} definida pela lei f(x) = 2x + 1 é injetora, pois,
dois elementos distintos de A têm como imagens
dois elementos distintos de B.
10
2. Função injetora
Observemos que não existem duas ou mais
flechas convergindo para um mesmo elemento de B.
f
1
0
3
1
5
2
7
3
9
A
B
11
2. Função injetora
2o) A função de A = ℕ em B = ℕ definida por f(x) =
2x é injetora, pois, quaisquer que sejam x1 e x2
de ℕ , se x1 ≠ x2 então 2x1 ≠ 2x2.
3o) A função de A = ℝ * em B = ℝ definida por f(x) =
x -1 é injetora, pois, quaisquer que sejam x1 e x2
de ℝ *, se x1 ≠ x2 então x1 -1 ≠ x2 -1.
12
3. Função bijetora
Uma função f de A em B é bijetora se, e
somente se, f é sobrejetora e injetora.
Em símbolos
f :A→B
f é bijetora ⇔ f é sobrejetora e injetora
13
3. Função bijetora
A definição anterior é equivalente a: uma
função f de A em B é bijetora se, e somente se,
para qualquer elemento y pertencente a B existe
um único elemento x pertencente a A tal que
f(x) = y.
f :A→B
f é bijetora ⇔ ∀y , y ∈ B, ∃| x, x ∈ A / f ( x ) = y
Em lugar de dizermos “f é uma função
bijetora de A em B” poderemos dizer “f é uma
bijeção de A em B”.
14
3. Função bijetora
Exemplos:
1o) A função f de A = {0, 1, 2, 3} em B = {1, 2, 3, 4}
definida por f(x) = x + 1 é bijetora
f
0
1
1
2
2
3
3
4
A
B
15
3. Função bijetora
pois f é sobrejetora e injetora, isto é, para todo
elemento y ∈ B, existe um único elemento x ∈ A,
tal que y = x + 1. Observemos que para cada
elemento de B converge uma só flecha.
2o) A função f de A = ℝ em B = ℝ definida por f(x)
= 3x + 2 é bijetora, pois:
I) qualquer que seja y ∈ ℝ, existe x ∈ ℝ tal que y =
3x + 2, basta tomarmos x = y − 2 . Logo, f é sobrejetora;
3
16
3. Função bijetora
II) quaisquer que sejam x1 e x2 de ℝ , se x1 ≠ x2,
então 3x1 + 2 ≠ 3x2 + 2, isto é, f é injetora.
Observação:
Observemos que existem funções que não são
sobrejetoras nem injetoras. Assim, por
exemplo, a função de ℝ em ℝ definida por |x|:
I) dado y ∈ ℝ não existe x∈ ℝ tal que y = |x|,
portanto f não é sobrejetora;
*
−,
II) existem x1 e x2 em ℝ , x1 e x2 opostos (e portanto x1 ≠ x2) tais que |x1| = |x2|, isto é, f não é
17
injetora.
3.1 Reconhecimento através do
gráfico
Pela representação cartesiana de uma
função f podemos verificar se f é injetora ou
sobrejetora ou bijetora. Para isso, basta
analisarmos o número de pontos de intersecção das
retas paralelas ao eixo dos x, conduzidas por cada
ponto (0, y) em que y ∈ B (contradomínio de f).
18
3.1 Reconhecimento através do
gráfico
1o) Se cada uma dessas retas cortar o
gráfico em um só ponto ou não cortar o gráfico,
então a função é injetora.
Exemplos
19
3.1 Reconhecimento através do
gráfico
f :ℝ→ℝ
f (x) = x
6
4
2
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2
-4
-6
20
3.1 Reconhecimento através do
gráfico
f : ℝ+ → ℝ
f (x) = x2
40
30
20
10
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
-10
-20
-30
-40
21
3.1 Reconhecimento através do
gráfico
2o) Se cada uma das retas cortar o gráfico
em um ou mais pontos, então a função é
sobrejetora.
Exemplos
22
3.1 Reconhecimento através do
gráfico
f :ℝ→ℝ
f (x) = x − 1
8
6
4
2
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2
-4
-6
-8
23
3.1 Reconhecimento através do
gráfico
f : ℝ → ℝ+
f (x) = x2
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
24
3.1 Reconhecimento através do
gráfico
3o) Se cada uma das retas cortar o gráfico
em um só ponto, então a função é bijetora.
Exemplos
25
3.1 Reconhecimento através do
gráfico
f :ℝ→ℝ
f ( x ) = 2x
12
8
4
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
-4
-8
-12
26
3.1 Reconhecimento através do
gráfico
f :ℝ→ℝ
f (x) = x ⋅ x
40
30
20
10
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
-10
-20
-30
-40
27
3.1 Reconhecimento através do
gráfico
Resumo
Dada a função f de A em B, consideram-se
as retas horizontais por (0, y) com y ∈ B:
1o) se nenhuma reta corta o gráfico mais de uma
vez, então f é injetora;
2o) se toda reta corta o gráfico, então f é
sobrejetora;
3o) se toda reta corta o gráfico em um só ponto,
então f é bijetora.
28
4 Função inversa
Exemplo preliminar
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e
B = {1, 3, 5, 7}, consideremos a função f de A em B
definida por f(x) = 2x – 1.
f
1
1
2
3
3
5
4
7
A
B
29
4 Função inversa
Notemos que a função f é bijetora formada
pelos pares ordenados
f = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}
em que D(f) = A e Im(f) = B.
30
4 Função inversa
A relação f -1 = {(y, x)/(x, y) ∈ f}, inversa de
f, é também uma função, pois f é uma bijeção de A
em B, isto é, para todo y ∈ B existe um único x ∈ A
tal que (y, x) ∈ f -1.
f-1
1
1
3
2
5
3
7
4
A
B
31
4 Função inversa
Observemos que a função f é definida pela
sentença y = 2 x − 1,
ef
-1
y +1
é definida pela sentença x =
, isto é:
2
1o) f leva cada elemento x ∈ A até o y ∈ B tal que
y = 2x − 1
2o) f -1 leva cada elemento y ∈ B até o x ∈ A tal que
x=
y +1
2
32
4 Função inversa
A função f
-1
é formada pelos pares ordena-
dos
f -1= {(1, 1), (3, 2), (5, 3), (7, 4)}
em que D(f -1) = B e Im(f -1) = A.
33
4.1 Definição
Se f é uma função bijetora de A em B, a
relação inversa de f é uma função de B em A que
denominamos função inversa de A e indicamos por
f -1.
34
4.1 Definição
2a) Pela observação anterior, temos:
(x, y) ∈ f ⇔ (y, x) ∈ f -1
Agora, se considerarmos a função inversa de
f -1, teremos:
(y, x) ∈ f -1 ⇔ (x, y) ∈ (f -1)-1
isto é, a inversa de f
-1
é a própria função f:
(f -1)-1 = f
Podemos assim afirmar que f e f -1 são inversas entre si, ou melhor, uma é inversa da outra.
35
4.1 Definição
3a) O domínio da função f -1 é B, que é a imagem da
função f. A imagem da função f -1 é A, que é o
domínio da função f.
f-1
f
A
B
B
D(f-1) = B = Im(f)
e
A
Im(f-1) = A = D(f)
36
4.2 Determinação da função
inversa
Vimos no exemplo preliminar que, se a
função f é definida pela sentença aberta
y = 2 x − 1,
então a função inversa f -1 é definida pela sentença
y +1
x=
2
37
4.2 Determinação da função
inversa
Observemos, por exemplo, que x = 2 e y = 3
satisfazem a condição y = 2 x − 1 e x =
y +1
.
2
Isso não quer dizer que o par ordenado
(2, 3) pertença a f e f -1. De fato:
(2, 3) ∈ f
e
(3, 2) ∈ f -1.
38
4.2 Determinação da função
inversa
As sentenças abertas
y = 2x − 1
e
y +1
x=
2
não especificam qual (x? ou y?) é o primeiro termo
do par ordenado.
39
4.2 Determinação da função
inversa
Ao construirmos o gráfico cartesiano da
função f, colocamos x em abscissas e y em
ordenadas, isto é:
f = {( x, y ) ∈ A x B / y = 2 x − 1}
e ao representarmos no mesmo plano cartesiano o
gráfico de f -1, como o conjunto
y + 1

f −1 = ( y , x ) ∈ B x A / x =

2 

devemos ter y em abscissa e x em ordenada.
40
4.2 Determinação da função
inversa
A fim de que possamos convencionar que:
1o) dada uma sentença aberta que define uma
função, x representa sempre o primeiro termo dos
pares ordenados e
2o) dois gráficos de funções distintas possam ser
construídos no mesmo plano cartesiano com x em
abscissas e y em ordenadas.
justifica-se a seguinte regra prática.
41
4.3 Regra prática
Dada a função bijetora f de A em B,
definida pela sentença y = f(x), para obtermos a
sentença aberta que define f -1, procedemos do
seguinte modo:
1o) na sentença y = f(x) fazemos uma mudança de
variável, isto é, trocamos x por y e y por x,
obtendo x = f(y);
2o) transformamos algebricamente a expressão
x = f(y), expressando y em função de x para
obtermos y = f -1(x).
42
4.3 Regra prática
Exemplos
1o) Qual é a função inversa da função f(x) bijetora
em ℝ definida por f(x) = 3x + 2?
43
4.3 Regra prática
A função dada é f ( x ) = y = 3 x + 2 .
Aplicando a regra prática:
I) permutando as variáveis: x = 3 y + 2
II) expressando y em função de x:
x −2
x = 3y + 2 ⇒ 3y = x − 2 ⇒ y =
3
Resposta: É a função f
-1
emℝ definida por
x −2
f (x) =
3
−1
44
4.3 Regra prática
Exemplos
2o) Qual é a função inversa da função f(x) bijetora
em ℝ definida por f(x) = x3?
45
4.3 Regra prática
A função dada é: f ( x ) = y = x 3.
Aplicando a regra prática:
I) permutando as variáveis: x = y 3
II) expressando y em função de x:
x = y3 ⇒ y = 3 x
Resposta: É a função f
-1
emℝ definida por
f −1( x ) = 3 x
46
4.4 Propriedades dos gráficos
de f e f-1
Os gráficos cartesianos de f e f -1 são
simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes
1 e 3 do plano cartesiano.
Exemplos:
Vamos construir no mesmo diagrama os
gráficos de duas funções inversas entre si:
1 ) f ( x ) = 2x − 4
e
x+4
f (x) =
2
2o ) f ( x ) = x 2
e
f −1( x ) = x
3o ) f ( x ) = x 3
e
f −1( x ) = 3 x
o
−1
47
4.4 Propriedades dos gráficos
de f e f-1
x+4
y=
2
1 ) y = 2x − 4
o
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
x
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
y
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
48
4.4 Propriedades dos gráficos
de f e f-1
12
10
f
8
6
f-1
4
2
0
-12
-10
-8
-6
-4
-2
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4
-6
-8
-10
-12
49
4.4 Propriedades dos gráficos
de f e f-1
2o ) y = x 2
y= x
x
0
1
2
3
4
5
6
y
0
1
4
9
16
25
36
x
0
1
4
9
16
25
36
y
0
1
2
3
4
5
6
50
4.4 Propriedades dos gráficos
de f e f-1
36
f
30
24
18
12
f-1
6
0
0
6
12
18
24
30
36
51
4.4 Propriedades dos gráficos
de f e f-1
6
f
5
4
3
f-1
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
52
4.4 Propriedades dos gráficos
de f e f-1
3o ) y = x 3
y=3x
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-27
-8
-1
0
1
8
27
x
-27
-8
-1
0
1
8
27
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
53
4.4 Propriedades dos gráficos
de f e f-1
28
24
f
20
16
12
8
f-1
4
0
-28
-24
-20
-16
-12
-8
-4
-4
0
4
8
12
16
20
24
28
-8
-12
-16
-20
-24
-28
54
4.4 Propriedades dos gráficos
de f e f-1
6
f
4
f-1
2
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2
-4
-6
55