Apresentação do PowerPoint

Introdução à Integrais – Antiderivação
Aula 02 – Matemática II – Agronomia
Prof. Danilene Donin Berticelli
Como podemos usar a inflação para
prever preços futuros?
Como usar o conhecimento de taxa de
crescimento de uma população para
estimar o número futuro de habitantes?
Qual será a velocidade de um corpo
que se move em linha reta com
aceleração conhecida?
Em todas as situações descritas anteriormente, a derivada (taxa de variação) de
uma grandeza é conhecida e estamos interessados em determinar o valor da
própria grandeza.
Esse processo é chamado antiderivação.
A Família de Antiderivada
Se a derivada de 𝐹 for 𝑓, dizemos que 𝐹 é uma antiderivada de 𝑓. Por exemplo:
𝑥²
Derivada: 2𝑥
𝑥² é uma
antiderivada
de 2𝑥
Observe que 2𝑥 tem várias antiderivadas:
𝑥2 + 1
𝑥² + 2
𝑥2 + 3
Derivada:
2𝑥
Se C for uma constante, temos:
𝑑 2
𝑥 + 𝐶 = 2𝑥 + 0 = 2𝑥
𝑑𝑥
Portanto, qualquer função sob a forma 𝑥² + 𝐶 é uma antiderivada de 2𝑥. A função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 tem uma
família de antiderivadas.
A visualização gráfica das antiderivadas
14
12
10
x²
8
x²+1
x²+2
6
x²+3
4
2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
A Integral Indefinida
Se 𝐹(𝑥) é uma antiderivada da função contínua 𝑓(𝑥), todas as antiderivadas de 𝑓(𝑥) têm a
forma 𝐹(𝑥) + 𝐶, onde 𝐶 é uma constante.
Representamos a família de todas as antiderivadas de 𝑓(𝑥) usando a simbologia:
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
Que é chamado de Integral Indefinida de 𝑓(𝑥). A integral é indefinida porque envolve uma
constante C que pode assumir qualquer valor.
Integrando
Constante de integração
2
3
3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
Símbolo de Integral
Variável de Integração
Integral Indefinida
𝑑𝐹
𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
𝑑𝑥
𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
Regras para Integrar Funções
Comuns
Regra da Constante: 𝒌𝒅𝒙 = 𝒌𝒙 + 𝑪 para C constante.
𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶
para n = -1
Regra da Potência:
𝒙𝒏 𝒅𝒙
Regra do Logaritmo:
Regra da Exponencial:
𝟏
𝒅𝒙
𝒙
=
𝒙𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝑪 para qualquer 𝑛 ≠ −1
= 𝐥𝐧 𝒙 + 𝑪 para qualquer 𝑥 ≠ 0
𝒆𝒌𝒙 𝒅𝒙
=
𝟏 𝒌𝒙
𝒆
𝒌
+ 𝑪 para qualquer k constante ≠ 0.
Exemplos:
Determinar as seguintes integrais:
a)
5𝑑𝑥
b)
𝑥 20 𝑑𝑥
c)
1
𝑑𝑥
𝑥
d)
2
𝑑𝑥
𝑥
e)
𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥
Exercícios:
Calcule as seguintes integrais:
A.
6𝑥 𝑑𝑥
B.
(𝑥 2 −4𝑥 + 7)𝑑𝑥
C.
(𝑥 + 𝑒 𝑥 )𝑑𝑥
D.
𝑥 3 𝑑𝑥
E.
(𝑥 2 + )𝑑𝑥
F.
1+𝑦²
𝑑𝑦
𝑦
12
𝑑𝑥
𝑥
G.
1
𝑥²
Problemas Práticos
1.
Determinar a função f(x) cuja tangente tem uma inclinação de 6x²+1 para qualquer valor de x
e cuja curva passa pelo ponto (1, 4).
60
50
40
30
20
10
0
-4
-3
-2
-1
-10
-20
-30
-40
-50
-60
0
1
2
3
4
Problemas práticos de valor inicial
Equação diferencial é qualquer equação que envolve uma ou mais
derivadas. As equações diferenciais são muito usadas em
modelagem e aparecem em uma grande variedade de aplicações
práticas do cálculo.
Problema de valor inicial é um problema que envolve a solução de
uma equação diferencial sujeita a uma condição inicial específica.
como o exemplo anterior.
Outros exemplos
2. Um fabricante constatou que o custo marginal é de 3q² - 60 q + 400 reais por unidade, onde q
é o número de unidades produzidas. O custo total para produzir as primeiras duas unidades é de
R$ 900,00. Qual é o custo total para produzir as primeiras cinco unidades?
Custo marginal representa o acréscimo de custo total que
ocorre quando se aumenta a quantidade de bens produzida em
uma unidade (ou a redução de custo total após a redução a uma
unidade na quantidade produzida).
3. A população P(t) de uma colônia de bactérias t horas depois de iniciada uma
observação está variando a uma taxa dada por
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 200𝑒 0,1𝑡 + 150𝑒 −0,03𝑡
Se a população era de 200.000 bactérias quando a observação começou, qual
será a população após 12 horas mais tarde?
4. Um varejista recebe um suprimento de 10.000 quilogramas de arroz que serão vendidos
durante um período de 5 meses à taxa constante de 2.000 quilogramas por mês. Se o custo de
armazenamento é de 1 centavo por quilograma por mês, qual será o custo total do
armazenamento durante os próximos 5 meses?
5. Depois que os freios são acionados, um carro perde velocidade à taxa constante de 6 metros
por segundo por segundo. Se o carro está a 65 quilômetros por hora quando o motorista pisa no
freio, que distância o carro percorre até parar?
Tabela de integrais
Integrais
Exemplos
(1) 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶
(2)
1
𝑑𝑥
𝑥
(3)
𝑥 𝑛 𝑑𝑥
(4)
𝑎 𝑥 𝑑𝑥
= ln 𝑥 + 𝐶
=
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
=
𝑎𝑥
+
ln|a|
+𝐶
𝐶
1
(5) 𝑒 k𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑒 k𝑥 + 𝐶
(6) 𝑐 𝑓𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
(7)
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
3 𝑑𝑥 =
2
𝑑𝑥 =
𝑥
𝑥 5 𝑑𝑥 =
3𝑥 𝑑𝑥 =
𝑒 5𝑥 𝑑𝑥 =
3(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =
[ 𝑥 2 + 3𝑥 − 2 ] 𝑑𝑥 =