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Proposições lógicas
Cerutti IES
Proposição
• Proposição - é um conjunto de palavras ou
símbolos que:
– exprime um pensamento de sentido completo,
de modo que se possa atribuir,
dentro de certo contexto,
somente um de dois valores
lógicos possíveis:
– verdadeiro ou falso.
Proposições
• Quaisquer afirmações ou negações que
apresentem
• Um termo em relação ao outro
• Ex.:
Todo cavalo é um animal azul
Todo animal azul é uma árvore
Logo Todo cavalo é uma árvore
Estrutura mínima da proposição
• 2 (duas) premissas
Todo cavalo é um animal azul
Todo animal azul é uma árvore
• 1 (uma) Conclusão
Logo Todo cavalo é uma árvore
Princípos
• A lógica matemática se assenta em dois
princípios fundamentais:
Nao Contradiçao
Terceiro Excluido
DECLARATIVAS
• Somente às sentenças declarativas pode-se
atribuir valores de verdadeiro ou falso,
• que ocorrem quando a sentença é confirmada ou
negada.
•
•
•
•
Não se pode atribuir um
valor de verdadeiro ou
falso às demais formas
de sentenças
como as interrogativas (???)
as exclamativas (!!!!)
Imperativas (GO!, Go! Go!)
e outras, embora elas também expressem
pensamentos ou juízos.
Premissas são frases DECLARATIVAS
Somente às sentenças declarativas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorre
quando a sentença é, respectivamente, confirmada ou negada.
De fato, não se pode atribuir um valor de
verdadeiro ou falso às demais formas de sentenças como as interrogativas, as exclamativas e
outras,
embora elas também expressem juízos.
São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas:
• O número 6 é par.
Não são proposições:
• O número 15 não é primo.
• Todos os homens são mortais.
Qual é o seu nome? (interrogativa)
• Nenhum porco espinho sabe ler.
Preste atenção ao sinal. (imperativa)
• Alguns canários não sabem cantar.
Caramba! (exclamativa)
• Se você estudar bastante, então aprenderá tudo.
• Eu falo inglês e francês.
• Marlene quer um sapatinho novo ou uma boneca.
Proposições
• As proposições classificam-se em simples ou
atômicas e compostas ou moleculares.
SIMPLES
•ATÔMICAS
COMPOSTAS
•Moleculares
PROPOSIÇÃO SIMPLES
• É um pensamento singular sem integrar
qualquer outra proposição.
• Exemplos:
Somente premissas,
sem conclusões
Proposição composta
• — É formada pela combinação de duas ou mais
proposições simples.
• 1 premissa e uma conclusão
• Exemplos
LETRAS
• As proposições simples são geralmente designadas
pelas letras minúsculas p, q, r, s
• E as compostas pelas letras maiúsculas P, Q, R, S
Proposições Aristotélicas
As proposições deste tipo incluem sempre dois termos:
O termo sujeito é
aquele que ocupa o lugar
de S
O termo predicado
lugar de P
é aquele que ocupa o
Lógica Aristotélica
As Quatro Formas Lógicas:
A, E, I, O.
São de tipo A ou universais afirmativas
São de tipo E ou universais negativas
São de tipo I ou particulares afirmativas
São de tipo O ou particulares negativas
Formas & Proposições
Todos os S são P
UNIVERSAIS afirmativas
Nenhum S é P
UNIVERSAIS negativas
Alguns S são P
PARTICULARES afirmativas
Alguns S não são P PARTICULARES negativas
Proposições & FORMAS Lógicas
reconhecem-se
apenas proposições que tenham uma de
quatro formas lógicas:
A classificação das proposições realizase a partir de 2 fatores
A
O
E
I
Canônico
É uma forma de REGRA
As Quatro Formas Lógicas
Para resolver exercícios de lógica aristotélica é
preciso apresentar as proposições na sua
forma canónica.
A frase:
“Há homens que são mortais”
Exprime uma proposição de tipo...
Proposições
A frase:
“Há homens que são mortais” Exprime uma proposição de tipo I
Como devemos alterá-la para que respeite a forma
canónica das proposições de tipo I?
A forma canônica das
proposições de tipo I é “alguns S são P”
PARTICULAR: ALGUNS
S=SUJEITO=HOMENS
AFIRMATIVA=SÃO
P=PREDICADO=MORTAIS
Conectivos e valores lógicos
• Conectivos: (Termos usados para formar
novas proposições a partir de outras
existentes.)
• "e", "ou", "não", "se... então... ", "se e
somente se ..."
Conectores das proposições:
· A negação não cujo símbolo é ~ ou ¬.
· A disjunção ou cujo símbolo é v.
· A conjunção e cujo símbolo é ^
· O condicional se,.....,
então, cujo símbolo é -- >.
· O bicondicional se, e somente se, cujo símbolo é < - >.
Lógica ELEMENTAR
• Logica elementar é o estudo dos argumentos.
Propriedades Inferenciais
ou Conetivas Lógicas:
1.
2.
3.
4.
5.
Eˆ
Se ... Então... =>
Ou V
Não ¬
Se e somente SE 
DEDUTIVA E INDUTIVA
• RACIOCÍNIOS OU FORMA LÓGICAS
Ciência do raciocínio Dedutivo
• A lógica, ciência do raciocínio dedutivo, estuda a
relação de consequência dedutiva,
• tratando entre outras coisas das inferências
válidas;
• ou seja, das inferências cujas conclusões têm que
ser verdadeiras quando as premissas o são.
• A lógica pode, portanto, ser considerada como “o
estudo da razão” ou “o estudo do raciocínio”.
Lógica Dedutiva
• O objetivo da lógica consiste, então,
– na menção
– e estudo
– dos princípios lógicos
– usados no raciocínio dedutivo.
• Sob essa concepção, temos a lógica dedutiva .
Lógica Indutiva
• Podemos, entretanto, considerar uma outra
lógica, a lógica indutiva , que se ocupa
• não das inferências válidas, mas das
inferências verossímeis.
Aqui tem chovido todos os dias.
Logo, choverá amanhã.
Premissas e Conclusão
• Obviamente este argumento não é dedutivo
e, portanto, não é logicamente válido.
• A(s) premissa(s), ainda que verdadeira(s), não
implica(m) logicamente a conclusão,
embora esta possua uma certa
plausibilidade.
Aqui tem chovido todos os dias.
Logo, choverá amanhã.
Tabelas verdade
(inicio da aula 3 semestre 16-1)
• A Tabela verdade é um instrumento usado
para determinar os valores lógicos das
proposições compostas,
• a partir de atribuições de todos os possíveis
valores lógicos das proposições simples QUE A
COMPÕES componentes.
Tautologia
• A tautologia ocorre quando todos os resultados da tabela verdade
são VERDADEIROS
• Exemplo:
– Os gatos são mamíferos (q)
– Todos os Mamíferos são vertebrados (r)
q
r
operacoes
Resultados
V
V
q ^r
V
V
F
q ^¬ r
V
F
F
¬q ^ ¬ r
V
F
V
q Vr
V
Exemplos
• Nos exemplos abaixo tem-se 2ˆ2 = 4 linhas e
2ˆ3 = 8 linhas.
Todos os valores possíveis
Valor lógico da proposição
• Notação: O valor lógico de uma proposição
simples indica-se por V(p) e composta por V(P)
(letra maiúscula).
proposições simples:
Exemplos de proposições simples:
1. p : um triângulo têm três lados.
2. q : Blumenau é um país.
• V(p) = V
• V(q) = F
(Lê-se valor lógico de p é igual a V (verdadeiro) e de q é igual a F
(falso))
proposição composta
Exemplo de proposição composta:
1. p : o sol é uma estrela ou
2. q : a terra é uma estrela.
• P(p,q) = p
v q V(P) = V
(O símbolo "v" representa o conectivo "ou" visto
abaixo)
Operações lógicas
• Os valores lógicos das proposições são definidos
pelas tabelas descritas em cada operação a
seguir.
• Negação (~) "~p" lê-se "não p".
• Exemplo:
• p : Joana é bonita
• ~p : Joana não é bonita
• ou ~p : Não é verdade que Joana é bonita
• ou ~p : É falso que Joana é bonita
Conjunção (^)
• "p ^ q" lê-se "p e q".
• Exemplo:
• p : A neve é branca (V)
• q : 2 < 5 (V)
• p ^ q : A neve é branca e 2 < 5 (V)
Representação:
• V(p ^ q) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V
Leitura:: Valor lógico de (p e q) é igual a ou, de outro
modo, valor lógico de (p) e valor lógico de(q) é igual a ou
resulta em verdade e verdade que é igual a verdade.
Disjunção (v)
• "p v q" lê-se "p ou q".
• Exemplo:
1. p : Blumenau é a capital de SC (F)
2. q : 5/7 é uma fração própria (V)
3. p v q : Blumenau é a capital de SC ou 5/7 é
uma fração própria (V)
• V(p v q) = V(p) v V(q) = F v V = V
Disjunção exclusiva (v)
• "p v q" lê-se "ou p ou q", mas
não ambos ou ainda "ou exclusivo".
• Exemplo:
• P : Carlos é médico ou professor
• Q : Antônio é catarinense ou gaúcho.
Disjunção exclusiva (v)
• Na proposição composta P pelo menos uma
das proposições simples é verdadeira,
podendo ser ambas verdadeiras. ("ou"
inclusivo).
• Na proposição composta Q apenas uma das
proposições é verdadeira. ("ou" exclusivo).
Condicional (—>)
• "p —> q" lê-se "se p então q" ("—>" símbolo
de implicação).
• O valor lógico é Falso(F)
no caso em que p é verdadeira
e q é falsa.
Exemplo de condicional:
1. p : A terra é uma estrela (F)
2. q : O ano tem nove meses (F)
• p —> q : Se a terra é uma estrela, então o ano
tem nove meses (V)
• V(p —> q) = V(p) —> V(q) = F —> F = V
Valor lógico de p e de q
Bicondicional (<—>)
• "p <—> q" lê-se "p se e somente se q".
• Uma bicondicional é verdadeira
• somente quando ambas proposições
– são verdadeiras
– ou ambas falsas.
• (p é condição necessária e
suficiente para q ou q é condição
necessária e suficiente para p).
Bicondicional (<—>)
•
•
•
•
Exemplo:
p : A terra é plana (F)
q : 10 é um número primo (F)
p <—> q : A terra é plana se e somente se 10
for um número primo (V)
• V(p <—> q) = V(p) <—> V(q) = F <—> F = V
Valor lógico de p e de q