Diapositivos de Lógica

Lógica
|
Lógica → A lógica fornece-nos regras e
técnicas para determinar se um argumento
é válido.
z Matemática
Lógica → Demonstração de teoremas
z
Ciências de computação
Lógica → Verificação de programas
z
Vida corrente (raciocínios lógicos)
1
Lógica – Raciocínios correntes
|
Raciocínios lógicos e não lógicos
Exemplos
• Os peixes vivem na água, a baleia vive
na água, logo a baleia é um peixe.
• Ontem disse que, se amanhã chovesse,
ia ao cinema. Como choveu, vim ao
cinema.
• Ontem disse que, se amanhã chovesse,
ia ao cinema. Vim ao cinema, logo está a
chover.
2
1
Lógica - Formalismo
|
Proposição é uma afirmação que é verdadeira ou
falsa mas nunca ambas
Exemplos
Proposições
2+3=5
2+2=5
∀x∈|N 2+ x =5
∃ x∈|N 2+ x =5
(V)
(F)
(F)
Não proposições
2+ x =5
Estudem!
Já tocou?
( x =?)
(ordem)
(interrogação)
(V)
3
Lógica – Proposições simples e compostas
|
|
Proposições simples (variáveis)→ p, q, r, …
Operações lógicas →~, ∧, ∨, ∨& , ⇒, ⇔
Proposições
simples
+
Operações
lógicas
→
Proposições
compostas
Exemplos
● (3 > 5 ∧ 7 = 4) ∨ 6 > 3
● Hoje, às 3h, vou à aula e ao café.
(V)
(F)
4
2
Lógica – Operações lógicas
|
Negação - ~ (não) - ~p é o caso contrário de p
Tabela de verdade
Exemplo
● 2+1>1
p ~p
V F
F V
(V)
→ ~(2+1>1)
(F)
(2+1≤ 1)
5
Lógica – Operações lógicas
|
Conjunção - ∧ ( e ) -
p ∧ q só é verdadeiro
quando p e q forem ambos verdadeiros
Tabela de verdade
p
q p∧q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
Exemplos
● 2 < 3 ∧ -5 > -8
(V)
● 5 < 3 ∧ -5 > -8
(F)
6
3
Lógica – Operações lógicas
|
Disjunção - ∨ ( ou inclusivo ) - p ∨ q só é
falso quando p e q forem ambos falsos
Tabela de verdade
p
q p∨q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
Exemplos
● 2 < 3 ∨ -5 > -8
● 5 < 3 ∨ -5 > -8
● - 2 < -3 ∨ 5 > 8
(V)
(V)
(F)
7
Lógica – Operações lógicas
|
Disjunção - ∨& ( ou exclusivo ) - p ∨& q é verdadeiro
quando apenas um (p ou q) for verdadeiro
( pouco usado na
matemática)
Tabela de verdade
p
q p∨
&q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
Exemplos
● Vou para Engenharia Civil
ou Electrotécnica.
(V)
(F)
& -5 > -8
● 2<3 ∨
& x ≤1 (V)
● ∀x∈|R x >1 ∨
8
4
Lógica – Operações lógicas
|
Implicação – ⇒ ( se … então ) - p ⇒ q só é falso quando p
é verdadeiro e q é falso
Tabela de verdade
p
q
p⇒q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Exemplos
(V)
● 3+2=4 ⇒ 3 par
● ∀x∈|N 2+x =4 ⇒ x par (V)
Linguagem corrente:
● p implica q; ● q se p;
● p só se q;
● p é condição suficiente para q
(= se p ocorre q também ocorre, mas, há casos em q ocorre e p não) ;
● q é condição necessária para p
(= se q não ocorre p também não, mas, há casos em que q ocorre e p não).
9
Lógica – Operações lógicas
|
Equivalência – ⇔ ( …se e só se … ) - p ⇔ q é verdadeiro
quando p e q forem ambos verdadeiros ou ambos falsos
Tabela de verdade
p
q
p⇔q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
Exemplos
● 4×5>2 ⇔ 5 > 2 / 4
● ∀x∈|N 2+x =4 ⇔ x par
(V)
(F)
Linguagem corrente:
● p se e só se q;
● p é condição necessária e suficiente para q
(= basta verificar a ocorrência de p para garantir q e vice-versa ) ;
10
5
Lógica
|
Tautologia – proposição que é sempre
verdadeira, qualquer que seja o valor lógico das suas
variáveis.
|
Contradição ou Absurdo – proposição
que é sempre falsa.
|
Contingência – proposição que pode ser
verdadeira ou falsa, conforme o valor das variáveis.
Exemplo:
● p ∧ ∼p
→
absurdo
11
Lógica
Exemplos:
● (p ⇒ q) ⇔ (∼q ⇒ ∼p)
→
tautologia
p q p ⇒ q ∼p ∼q ∼q ⇒ ∼p (p ⇒ q) ⇔ (∼q ⇒ ∼p)
V V
V
F
F
V
V
V F
F
F
V
F
V
F V
F F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
● (∼p ∧ q) ∨ (p ∧ ∼q)
→
contingência
12
6
Lógica - tautologias
1 p∧p⇔p
p∨p⇔p
Prop. de identidade
2 p∧q⇔q∧p
p∨q⇔q∨p
Prop. comutativa
3 (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Prop. associativa
4 p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r)
p∨(q∧r) ⇔ (p∨q)∧(p∨r)
Prop. distributiva
5 ~ (p ∧ q) ⇔ (~p) ∨ (~q)
~ (p ∨ q) ⇔ (~p) ∧ (~q)
Leis de Morgan
6 ~~p ⇔ p
& q ⇔(~p∧q)∨(p∧~q)
7 p∨
8 p ⇒ q ⇔ ~p ∨ q
alternativa para programar
∨&
alternativa para programar ⇒
9 p ⇒ q ⇔ ~q ⇒ ~p
10 p ⇔ q ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
11 p⇔q ⇔ (p∧q)∨(~q∧~p)
alternativa para programar ⇔
12 ~ (p ⇒ q) ⇔ p ∧ ~q
13 ~ (p ⇔ q) ⇔ (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q)
13
Lógica - Exemplo
|
Escreva um algoritmo para calcular f(x)
Algoritmo
−1 se x<0

f (x) = 0 se x =0
 1 se x >0

Ler x
Se x<0 então
f = -1
Senão se x=0 então
f=0
Senão
f=1
Fim se
Nota: No 2º senão, ~(x<0)∧ ~(x=0)⇔ x≥0∧ x≠0 ⇔ x>0.
Logo, a condição do 3º ramo é sempre verificada.
14
7
Lógica – exercícios propostos
Use a tabela de verdade para verificar a tautologia 7 (diapositivo 13).
Use equivalências para, a partir de 10, obter a tautologia 11 (diapositivo 13).
Use as tautologias do diapositivo 13 para verificar as seguintes tautologias:
I.
II.
III.
(p ∧ q) ⇒ p
(p ∧ q) ⇒ q
2
p ⇒ (p ∨ q)
q ⇒ (p ∨ q)
3
~p ⇒ (p ⇒ q)
1
4
~ (p ⇒ q) ⇒ p
5
[p ∧ (p ⇒ q) ]⇒ q
6
[~p ∧ (p ∨ q) ]⇒ q
7
[~q ∧ (p ⇒ q) ]⇒ ~p
8
[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ]⇒ (p ⇒ r)
15
Lógica – algumas resoluções
III.1
(p ∧ q) ⇒ p ⇔ ~(p ∧ q) ∨ p ⇔ (~p ∨ ~q) ∨ p ⇔
⇔ (~p ∨ p) ∨ ~q ⇔ V ∨ ~q ⇔ V
III.4 ~ (p ⇒ q) ⇒ p ⇔ ~[~(~p ∨ q)] ∨ p ⇔ (~p ∨ q) ∨ p ⇔
⇔ (~p ∨ p) ∨ q ⇔ V ∨ q ⇔ V
(≈ se (p ⇒ q) é falso então p é verdadeiro e se (p ⇒ q) é verdadeiro então
p pode ser verdadeiro ou falso )
III.5 [p ∧ (p ⇒ q) ]⇒ q ⇔ ~[p ∧ (~p ∨ q)] ∨ q ⇔
⇔ ~[(p ∧ ~p) ∨ (p ∧ q)] ∨ q ⇔ ~[F ∨ (p ∧ q)] ∨ q ⇔
⇔ ~(p ∧ q) ∨ q ⇔ ~p ∨ (~q ∨ q ) ⇔ ~p ∨ V ⇔ V
(≈ se p é verdadeiro e (p ⇒ q) é verdadeiro então q é verdadeiro e )
16
8