Difusividade, Viscosidade, Fluxo difusivo e Tensões de corte

Difusividade, Viscosidade, Fluxo
difusivo e Tensões de corte
Taxa de Acumulação e Equação de
Evolução
• Já vimos que a taxa de variação de uma
propriedade num sistema material de dimensões
infinitesimais é dada pela derivada total.
d 


uj
?
dt
t
x j
• Porque variam as propriedades?
– Pelas fontes e poços ou porque a propriedade pode
deslocar-se por meios diferentes da velocidade (e.g.
difusão, radiação),
– Pelas fontes ou poços descritas nos princípios de
conservação (e.g. Forças no caso da quantidade de
movimento).
Equação de evolução
d 


D j   S o  Si 

uj

dt
t
x j
x j
• A derivada convectiva resulta da divergência
do fluxo convectivo (ou advectivo).
• Afinal o que é a difusão? É a consequência da
definição de velocidade.
Definição de velocidade
Cx
Cx+∆x
• A figura representa moléculas de dois fluidos em
repouso. A velocidade mede o volume de
moléculas que passa por unidade de área.
• Se a velocidade for nula, o volume que passa num
sentido é igual ao que passa no sentido contrário.
Difusão
• Mas as moléculas têm movimento browniano
e por isso - num fluido - estão sempre a mudar
de posição relativa.
• Se as moléculas que estão de um lado da
superfície forem iguais às que estão do outro
lado, o saldo é estatisticamente nulo.
• Se a concentração for diferente, então existirá
um saldo com um fluxo resultante orientado
da concentração maior para a menor.
Fluxo difusivo por unidade de área
 d  cl  cl  l ub
c
cl  cl  l    l
l
c
 d  l.ub
l
Na direcção “x”:
 dx
c
 
x
Equação de evolução
d 



uj

dt
t
x j
x j




 
  S o  S i 



x
j 

Porque
d 



uj

dt
t
x j x j
  

  S o  S i 
 x 
j 

Porque motivo a equação da continuidade não
tem fluxo difusivo?
O caso da quantidade de Movimento

 j  
x j
  u l
A taxa de variação da quantidade de movimento é igual ao
somatório das forças aplicadas e por isso o fluxo difusivo
pode ser visto como uma força: É a força de atrito
A difusividade de quantidade de movimento chama-se
viscosidade.
Viscosidade
• A força de atrito aparece quando as moléculas que
passam de um lado para o outro da superfície têm
velocidade diferente.
• O gradiente que gera o atrito é por isso o gradiente de
velocidade.
• Existindo gradiente de velocidade, as moléculas têm
que ser aceleradas ou desaceleradas. Como
consequência vão alterar a sua quantidade de
movimento. A variação da quantidade de movimento
implica a existência de aceleração e a foça vai ser
proporcional à massa. Por unidade de volume teremos:
•
u
u
   
s
 
s
Gradiente de velocidade e taxa de
deformação
δuδt
u(y)
δu
δy
δθ
δθ
δy
δx
u u t tan 
  


y y t
t
tan   d


t
t
dt
Mas, no caso infinitesimal
E a tensão de corte é proporcional à
taxa de deformação de um elemento
de fluido
Síntese
• A tensão de corte é o fluxo difusivo de
quantidade de movimento.
• A tensão de corte é tangente à velocidade e
origina um fluxo de quantidade de movimento
perpendicular à velocidade, no sentido
contrário do gradiente de velocidade.
• A velocidade tem 3 componentes e por isso o
seu gradiente tem 9 (cada uma das 3
componentes pode variar nas 3 direcções do
espaço).
O tensor das tensões
• A tensão de corte é por isso representada por
um tensor com 9 componentes.
• A componente “i” da velocidade pode variar
em qualquer das direcções “j” do espaço,
dando origem a 3 forças. O conjunto das
tensões é o tensor:
 ji
•
• Pensemos num volume infinitesimal com a
forma de um cubo e na componente “1” da
velocidade (representada a verde).
• Esta componente pode varia na direcção “1”,
na direcção “2” e na direcção “3”, dando
origem respectivamente às tensões
 11; 21; 31;
• Estas tensões actuam nas faces do cubo com
normais nas direcções “1”, “2” e “3”. Existem
duas faces para cada uma das direcções. A
resultante das forças é a diferença entre as
tensões que actuam em faces
correspondentes, que por unidade de volume
dá:

 j1 

x j
• A convenção de sinais é: o que entra é
positivo.
Como determinar as tensões?
• São proporcionais ao gradiente de velocidade,
• Não pode haver efeito de pressão (a força é
tangencial):
 11   22   33  0
• E o momento resultante sobre um volume de
controlo tem que ser nulo (caso contrário teria
aceleração angular).
Caso geral
 x  ydy
 
 
y x  dx
y x
 x  y
    
O sistema de tensões segundo x criaria um binário.
Para o equilibrar tem que haver outro binário
equilibrado por tensões iguais segundo y.
y x
x y
Expressão geral da Tensão de corte
 u i u j
 ji    


x

x
j
i





Quando i=j esta expressão dá a divergência da velocidade,
que se o fluido for compressível tem que ser anulada. A
expressão geral fica:
 u i u j
 ji    

 x j xi
 2 u k
   ij
 3 x
k
