Limite e Continuidade

Limite e Continuidade
Noção Intuitiva
Sucessões numéricas
Dizemos que:
1, 2, 3, 4, 5, ....
Os termos torna-se cada
vez maior sem atingir um
limite
x  +
1 2 3 4 5
, , , , ,.....
2 3 4 5 6
Os números aproximam-se
cada vez mais de 1, sem
nunca atingir esse valor
x1
1, 0, -1, -2, -3, ...
Os termos torna-se cada
vez menor sem atingir um
limite
x  -
3 5 6
1, ,3, ,5, ,7,...
2 4 7
Os termos oscilam sem
tender a um limite
Limites Intuitivos

<
<


(c )
(b ) (d )
(a )
(b )

(c )


(b )

=


(a)
(d ) 

(d )
(c )
>
(a )
(a ) lim f ( x)  0
(a ) lim f ( x)  
(a ) lim f ( x)  0
(b) lim f ( x)  1
(b) lim f ( x)  
(b) lim f ( x)  entre[1,1]
(c) lim f ( x)  
(c) lim f ( x)  0
(c) lim f ( x)  
(d ) lim f ( x)  0
(d ) lim f ( x)  entre[1,1]
x 0
x 0
x  
(d ) lim f ( x)  
x  
x 0
x 0
x  
x  
x 0
x 0
x  
x  

(b )
(a ) lim f ( x)  0
x 1
(b) lim f ( x)  
x  

(a )
Definição de Limites
• Seja f(x) definida em um intervalo aberto
em torno de a (um número real), exceto
talvez em a.
c
a
d
• Dizemos que f(x) tem limite L quando x
tende a a e escrevemos
Figures 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de
x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 10).
Figures 1.13: Um
lim
f ( x)  L
xa
se para todo  > 0, existe um número
correspondente  > 0 , tal que
|x-a|<   |f(x)-L|< ,
para todos os valores de x.
Figura 1.11: Relação entre  e  na definição de
limite.
Propriedades dos Limites
• Se L, M, a, c são números reais e n inteiro
lim f ( x)  L e lim g ( x)  M ,
xa
xa
• Regra da soma(subtração):
lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  L  M
xa
x a
x a
• Regra do Produto:
lim f ( x).g ( x)  lim f ( x). lim g ( x)  L.M
xa
x a
x a
• Regra da multiplicação por escalar:
lim c. f ( x)  c . lim f ( x)  c.L
xa
x a
• Regra do quociente:
f ( x) L
f ( x) lim
x a
lim


x a g ( x)
lim g ( x) M
x a
• Regra da potencia:
lim f ( x)  (lim f ( x))  L
n
xa
n
n
xa
• Regra da raíz
lim
n
xa
f ( x)  n lim f ( x)  n L
xa
se lim f ( x)  L  0, n é impar.
xa
• Regra do logaritmo:
lim log c ( f ( x))  log c (lim f ( x))
x a
x a
 log c L se lim f ( x)  0
x a
• Regra do seno(o mesmo vale para o cosseno)
lim sen f ( x)  sen( lim f ( x))  sen L
x a
x a
• Regra da exponencial:
lim c
x a
f ( x)
c
lim f ( x )
xa
c
L
Limites de Funções Polinomiais
Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser
obtidos por Substituição:
Se
P( x)  an x  an 1 x
n
n 1
 ...  a0
então
lim
n
n 1
P( x)  P(c)  a n c  a n 1c  ...  a0 .
xc
Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial
3
x

4
x

x

x

2

lim
5
4
2
x  2
3  ( 2 )  4  ( 2 )  ( 2 )  ( 2 )  2 
5
4
2
3  (32)  4 16  4  2  2 
 96  64  4  2  2  32
Limites de Funções Racionais
Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser
obtidos por Substituição, caso o limite do denominador
não seja zero:
Se
P (x )
e
Q(x)
são polinômios e
Q (c )  0
então
lim P( x)
P (c )

x  c Q( x )
Q (c )
,
Exemplo – Limite de Uma Função Racional
x  4 x  3 (1)  4(1)  3 0

 0
lim
2
2
x 5
(1)  5
6
x 1
3
2
3
2
Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum
x  x2
2
x x
2
lim
x 1
Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um
denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também
é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em
comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma fração
mais simples, com os mesmos valores da original para x  1:
x  x  2 ( x  1)( x  2) x  2


2
x x
x( x  1)
x
2
Se x
1
Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses
valores quando x 1 por substituição:
x  x2
x  2 1 2
 lim

3
2
x x
x
1
x 1
2
lim
x 1
2h2

h( 2  h  2 )
h

h( 2  h  2 )
1

2h  2
Fator comum de h.
Cancelar h para h  0.
Então,
lim
h 0
2h 
h
2
 lim
1
1


20  2 2 2
h 0
1
2h 
2