Regra de L.Hôpital

Ensino Superior
Cálculo 1
7- Regra de L’Hôpital
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 1 - Derivadas
• Regra de L’Hôpital
0
– Indeterminação da forma
0
– Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo
aberto I em torno de um ponto a, exceto possivelmente
no ponto a. Suponha que g(x)  0 para x  a I, x  a:
– Se lim f ( x )  0,
x a
lim g ( x)  0 e lim
x a
f ( x)
então: lim
 L,
x a g ( x)
x a
f ' ( x)
 L,
g ' ( x)
Cálculo 1 - Derivadas
• Regra de L’Hôpital
– Utilizaremos a regra de L’Hôpital quando tivermos uma
função da forma
f ( x)
e ela apresentar
g ( x)
indeterminação.
• Exemplo
– Calcule
x9 1
lim 8
x 1 x  1
0
– Temos uma indeterminação da forma: .
0
– Aplicando a regra de L’Hôpital, temos:
x9  1
9 x8
9x 9
lim 8
 lim 7  lim

x 1 x  1
x 1 8 x
x 1 8
8
Cálculo 1 - Derivadas
• Regra de L’Hôpital

– Indeterminação da forma

– A regra de L’Hôpital também vale para este caso.
• Exemplo
ln x
– Calcule lim
x   x
– A indeterminação é da forma  , aplicando a regra de

L’Hôpital para este caso, temos:
1
ln x
1
x
lim
 lim
 lim  0
x   x
x   1
x   x
Cálculo 1 - Derivadas
• Regra de L’Hôpital
– Indeterminação da forma 1
– Quando temos que calcular um limite da forma
f(x)g(x) quando x tende a “a”, ou a +, ou a - , e
ocorre uma indeterminação da forma 1 , isto é, lim
f(x) = 1 e lim g(x) = , devemos primeiro calcular o
logaritmo natural de ambos os membros da
igualdade y = f(x)g(x).
ln f ( x)
– Assim: ln y  g ( x). ln f ( x) 
1
g ( x)
Cálculo 1 - Derivadas
– Temos então que: lim ln f ( x)  ln[lim f ( x)]  ln 1  0
1
– e: lim
 0 e, portanto, ocorre agora uma
g ( x)
0
indeterminação da forma .
0
– Aplica-se então a regra de L’Hôpital,
obtendo lim lny = L. Como ln (lim y) = lim (ln y) = L, temos
que lim y = eL.
Cálculo 1 - Derivadas
• Exemplo
3x
1 

– Calcule lim 1 

x  

4x 
– Temos que:
1
• f ( x)  (1  )
4x
e
g ( x )  (3 x )
1 

– Temos que: lim f ( x)  lim 1 
1

x  
x  
 4x 
lim g ( x)  lim 3x   
x  
x  
e
Cálculo 1 - Derivadas
– Logo, a indeterminação é da forma: 1.
– Se calcularmos o logaritmo natural da função teremos:
ln y  g ( x). ln f ( x) 
ln f ( x)
1
g ( x)
– Cujo limite resulta na indeterminação da forma 0 . Aplicando a
0
regra de L’Hospital, temos:
1
1
1
2
1
3
4
x
4
x
lim ln y  lim ln
 lim
.

x  
x  
x   
1

1
1 
4
1



2
3x
3
x
4
x


– Como ln é uma função contínua, ln lim y  lim ln y  3
x  
x  
3
4
portanto, lim y  e 4
x  
Cálculo 1 - Derivadas
• Regra de L’Hôpital
– Indeterminação da forma
.0
Transformamos esta indeterminação em uma do tipo
• Exemplo
– Calcule lim x 3 .(1  e 2 x )
0 ou: 

0
x 
2 x
2 x
2
(
1

e
)
2
e

2
x
lim x 3 .(1  e 2 x )  lim
 lim

lim 2 x

2
x  
x  
x    3 x
1
3 x  e
x3
– Aplicando reiteradamente a regra de L’Hôpital, temos:
x2
2x
1
3
2 x
lim 2 x  lim

lim

0
,
portanto,
lim
x
.(
1

e
)0
x  e
x  2e 2 x
x   2e 2 x
x
Cálculo 1 - Derivadas
• Regra de L’Hôpital
– Indeterminação da forma

– A idéia é transformar a indeterminação na forma 0 ou 
0
.

• Exemplo
– Calcule lim ( x  x 2  x )
1
x 
1 1


1
0
x
2


lim ( x  x  x )  lim x1  1    lim

x  
x  
1
x  x 
0

1
x
1  1  2 1
– Por L’Hôpital,
1    2
1
2  x
x
lim

x 
2
 1 
 2
x 
Cálculo 1 - Derivadas
Guillaume de L’Hôpital
DERIVADAS
DIFERENCIAIS
NOTAÇÃO
DE LAGRANGE
=0
dk = 0
(k)´= 0
d(ku) = 0
(ku)´= 0
d(u+v) = du+dv
(u+v)´= u´+ v´
d(u.v) = vdu + udv
(uv)´= u´v+v´u
(u + v) =
+
d(u/v) = (vdu –udv)/v2
(u/v)´= (u’v – v’u)/v2
n-1.du
d(un) = n.u
+
(un)´= n.un-1.u´
d(eu) = eu.du
(eu)´= eu.u´
DERIVADAS
DIFERENCIAIS
NOTAÇÃO
DE LAGRANGE
d(au) = au.lna.du
(au)’ = au.lna.u’
d(senu) = cosu.du
(senu)’ = cosu.u’
d(cosu) = - senu.du
(cosu)’ = -senu.u’
d(lnu) = (1/u).du
(lnu)´= (1/u).u’
d(arctgu) =
du/(1+u2)
(arctgu)’ = u’/(1+u2)