y =f(x) - WordPress.com

Integral
Integral Indefinida
Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I se x  I,
temos F´(x) = f(x).
Exemplo:
A função F(x) = x2 é uma primitiva de f(x) = 2x  x  IR, pois F´(x) = (x2)´= 2x  x  IR
𝑥3
é uma primitiva de f(x) = x2  x  IR, pois F´(x)
3
𝑥3
1
= 3 + 4, H(x) = 3 (x3 + 3) são primitivas de f(x) = x2
1
A função Fx) =
= 3.3x2 = x2 = f(x)
A função G(x)
 x  IR, pois G´(x) = H´(x)
= x2 = f(x)
A função F(x) = sen x é uma primitiva de f(x) = cos x  x  IR, pois F´(x) = (sen x)´= cos x  x
 IR
Como a derivada de uma constante C é sempre zero, se F(x) é primitiva de f(x) então F(x) +
c também é uma primitiva de f(x).
Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x)+ c é chamada integral indefinida da função
f(x), indicada pela notação f(x) dx = F(x) + c.
A figura a seguir mostra uma família de primitivas da função f(x) = x2 + 1 (quadro)
O valor da constante assume os valores de C = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
Propriedades da Integral indefinida
1. K f(x) dx = K f(x) dx
2. (f(x) + g(x))dx = f(x) dx + g(x) dx
Tabela de Integrais imediatas
1.
 du = u + c
2.

3.
 𝑢𝛼 du =
4.
au du = 𝑙𝑛 𝑎 + c
5.
eu du = eu + c
6.
 sen u du = -cos u + c
7.
 cos u du = sen u + c
8.
 sec2 u du = tg u + c
9.
 cosec2 u du = -cotg u + c
𝑑𝑢
𝑢
= ln u + c
𝑢𝛼+1
𝛼+1
+c
𝑎𝑢
10.  sec u.tg u du = sec u + c
Integral
11.  cosec u.cotg u du = -cosec u + c
12. 
13. 
14. 
𝑑𝑢
√1−𝑢2
𝑑𝑢
√1+𝑢2
= arc sen u + c
= arc tg u + c
𝑑𝑢
𝑢√𝑢2 −1
= arc sec u + c
15.  senh u du = cosh u + c
16.  cosh u du = senh u + c
17.  sech2 u du = tgh u + c
18.  cosech2 u du = -cotgh u + c
19.  sech u.tgh u du = -sech u + c
20.  cosec u.cotg u du = -cosec u + c
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
𝑑𝑢
√1+𝑢2
𝑑𝑢
√𝑢2 −1
𝑑𝑢
√1−𝑢2
= arg senh u + c = ln u + √1 + 𝑢2  + c
= arg cosh u + c = ln u + √𝑢2 − 1 + c
={
𝑑𝑢
𝑢√1+𝑢2
𝑑𝑢
𝑢√1−𝑢2
arg tgh u + c, se u < 1
1
1+𝑢
= 𝑙𝑛 | | + 𝑐
1−𝑢
arg cotgh u + c, se u > 1 2
= - arg cosech u + c
= - arg sech u + c
Exemplos:
a)  x5 dx
=
𝑥6
6
+𝑐
b) (4x3 – 3x2 + 1) dx
= x4 – x 3 + x + C
c)
∫
1
√𝑥
dx
= ∫ 𝑥 −1/2 𝑑𝑥
=
𝑥 1/2
1/2
+ c = 2x1/2 + c = 2√𝑥 + 𝑐.
d) (3𝑥 2 + 5 + √𝑥)𝑑𝑥
= 3x2 dx + 5dx + x1/2 dx
Integral
=3
𝑥3
3
𝑥 3/2
+ 5𝑥 +
3/2
+𝑐
2
= x3 +5x + x3/2 + c
3
e)
(3sec x . tg x + cosec2x) dx
= 3secx . tg x dx + cosec2x dx
= 3sec x – cotg x + c
f)

𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
=
.
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑥
= tg x . sec x dx = sec x + c
g)
3
( √𝑥 2 + 1/3𝑥)𝑑𝑥
= x2/3 + 1/3dx/x
=
=
h) 
𝑥 5/3
5/3
1
+
3𝑥 5/3
3
1
+
5
𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐
𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐
3
𝑥 4 +3𝑥 −1/2 + 4
3
dx
𝑥4
=  (3 +
3𝑥 −1/2
=  (𝑥
+ 3𝑥 −5/6 + 4𝑥 −1/3 )𝑑𝑥
√𝑥
3
√𝑥
11/3
√𝑥
4
+ 3 )dx
√𝑥
=  𝑥 11/3 𝑑𝑥 + 3  𝑥 −5/6 𝑑𝑥 + 4  𝑥 −1/3 dx
=
=
i)
𝑥 14/3
14/3
+3
3𝑥 14/3
14
𝑥 1/6
1/6
+4
𝑥 2/3
2/3
+𝑐
+ 18𝑥 1/6 + 6𝑥 2/3 + 𝑐
1
 (2𝑐𝑜𝑠𝑥 +
√𝑥
) 𝑑𝑥
= 2cos x dx +  x-1/2 dx
= 2 sen x +
𝑥 1/2
1/2
+c
= 2sen x + 2√𝑥 + c
j)
 (2𝑒 𝑥 −
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
+
2
𝑥7
) 𝑑𝑥
= 2ex dx - secx . tg x dx + 2 x-7 dx
= 2ex – sec x -
1
3𝑥 6
+𝑐
Método da Substituição
Quando não for possível o cálculo da integral pelas propriedades estudadas, deve-se verificar a
possibilidade de aplicar o método da substituição, tocando a variável x por outra variável mais
conveniente.
Exemplos:
a)

𝑥
1+𝑥 2
𝑑𝑥
Fazendo u = 1 + x2 . Logo, du = 2xdx
𝑥
 1+𝑥2 𝑑𝑥 = 
= ln u + c
𝑑𝑢
𝑢
Integral
= ln (1 + x2) + c.
b) ∫(3𝑥 + 7)5 dx
Fazendo u = 3x + 7, temos du = 3dx
∫(3𝑥 + 7)5 dx = ∫
1
𝑢6
1
= ∫ 𝑢5 𝑑𝑢 = .
3
3
=
c)
(3𝑥+7)6
18
6
𝑢5
3
𝑑𝑢
+C
+C
 sen2x cos x dx
Fazendo u = sen x, então du = cos x dx
 sen2x cos x dx =  u2 du
=
=
𝑢3
+c
3
𝑠𝑒𝑛3 𝑥
3
+𝑐
d)  sen (x + 7) dx
Fazendo u = x + 7, então du = dx. Logo,
 sen (x + 7) dx =  sen u du
= cos u + c = cos (x + 7) + c
e)
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 tg x dx =  cos 𝑥 𝑑𝑥
Fazendo u = cos x, então du = - sem x dx e sem x dx = du. Assim,
−𝑑𝑢
 tg x dx = 
𝑢
= −
𝑑𝑢
𝑢
= -ln u + c
= -ln cos x + c
f)
𝑑𝑥
 (3𝑥−5)8
Fazendo u = 3x – 5, então du = 3 dx ou dx =
𝑑𝑥
 (3𝑥−5)8 = 
1
3
𝑑𝑢 . Assim,
1
𝑑𝑢
3
𝑢8
1
=  𝑢−8 𝑑𝑢
=
=
g)
3
1 𝑢−7
3 −7
−1
+𝑐
21(3𝑥−5)7
+ c.
 (x + sec2 3x)dx
=  xdx +  sec2 3x dx
=
𝑥2
2
+  sec2 3x dx
(1)
Substituindo 3x = u, tem-se du = 3dx ou dx = 1/3 du. Assim,
1
1
 sec2 3x dx =  sec2 u. 3 𝑑𝑢 = 3  sec2 u du
1
1
3
3
= tg u + c = tg 3x + c
Substituindo em (1)
 (x + sec2 3x)dx =
𝑥2
2
1
+ tg 3x + c
3
Integral
𝑑𝑥
h) ∫ 2
𝑥 +6𝑥+13
Para resolver essa integral devemos completar o quadrado do denominador:
X2 + 6x + 13 = x2 + 2.3x + 9 – 9 + 13 = (x + 3)2 + 4
Portanto,
𝑑𝑥
𝑑𝑥
∫ 𝑥 2 +6𝑥+13 = ∫ (𝑥+3)2 +4
Fazendo u = x + 3, du = dx
𝑑𝑢
𝑑𝑥
∫ 𝑥2 +6𝑥+13 = ∫
=
i)
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑢2 +22
𝑥+3
2
1
𝑢
= 2 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 2 + 𝑐
+𝑐
√𝑡 2 − 2𝑡 4 dt
= √𝑡 2 (1 − 2𝑡 2 ) dt = t √1 − 2𝑡 2 dt
Fazendo u = 1 – 2t2, du = - 4t dt, dt = du/-4t
Logo,
1
√𝑡 2 − 2𝑡 4 dt =  u1/2. –𝑑𝑢
=  u1/2 du
4
4
3
1 𝑢2
= .
4
=
−1
6
3
2
+𝑐
(1 − 2𝑡 2 )3/2 + 𝑐
Método de integração por partes
Em geral usamos integração por partes para integrar produto de funções quando o método de
integração por substituição simples não se aplica.
Pela regra de derivação do produto de duas funções, u = u(x) e v = v(x), temos:
(uv)’ = u’v + uv’ ou
Integrando ambos os lados da equação, obtemos:
u(x).v(x)= u’(x).v(x) dx + u(x).v’(x)dx ou ainda
 u.v’ = uv -  v.u’
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
A escolha de u e dv deve ser feita de forma conveniente. Não escolha para u o argumento de
uma função, expoentes, denominadores, etc.
Exemplos:
a)  xex dx
u = x; dv = ex
du = dx; v = ex
x.ex dx = xex - exdx
= xex – ex + C = ex(x – 1) + C.
b) x cos x dx
u = x; dv = cos x dx
du = dx; v = cos dx = sen x
Integral
x cos x dx = x.sen x - sen x dx
= x sen x + cos x + C
c)  ln x dx
u = ln x; dv = dx
du =
𝑑𝑥
𝑥
;v=x
 ln x dx = x. ln x - 
𝑥𝑑𝑥
𝑥
= xln x – x + C
d)  x2 sen x dx
u = x2 ; dv = sen x dx
du = 2x; v = -cos x
 x2 sen x dx = x2. (-cos x) - (-cos x) 2x dx = -x2.cos x + 2 x cos x dx
A integral 2 x cos x dx deve ser também ser resolvida por partes e o seu resultado pode
ser observado no exemplo b. Logo:
 x2 sen x dx = -x2.cos x + 2 [x sen x + cos x] + C
= -x2.cos x + 2x sen x + 2cos x + C
e)  e2x sen x dx
u = e2x; dv = senx dx
du = 2e2x; v = -cos x
 e2x sen x dx = e2x (-cos x) - (-cos x).2e2x dx = -e2xcos x + 2  e2x cos x. dx
Integrando  e2x cos x. dx por partes
u = e2x
dv = cosx dx
2x
du = 2e v = sen x
 e2x cos x. dx = e2x sen x - 2e2x sen x dx.
Logo,
 e2x sen x dx = -e2x cos x + 2e2x cos x - 4e2x sen x dx
(1)
Observamos que a integral do 2º membro é exatamente igual a integral a ser calculada.
Somando 4e2x sen x dx a ambos os lados da equação (1), vem:
5 e2x sen x dx = -e2x cos x + 2e2x cos x. Assim
1
 e2x sen x dx = 5 (-e2x cos x + 2e2x cos x) + C.
f)
 sen3 x dx
u = sen2 x
du = 2senx cosx dx
dv = sex dx
v =  senx dx = - cosx
logo:
 senx dx = sen2 x. (-cosx) -  -cosx. 2senx cosx dx
= -sen2 x cosx + 2  cos2 x senx dx
𝑐𝑜𝑠3 𝑥
3
= -sen2x cosx - 2
+c
Integral
Área
Para definir a área de uma figura plana dividimos a figura em polígonos cujas áreas possam ser
calculadas pelos métodos da geometria elementar.
Por exemplo: definir a área S da região plana na figura a seguir:
Y
y =f(x)
S
a
b
X
Dividimos o intervalo [a, b] em n sub intervalos, tal que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
O comprimento de cada retângulo é x = xi – xi-1 e sua altura igual a f(ci)
Y
y =f(x)
x0 = a c1 x1 c2 x2 c3 x3 c4 x4 c5 x5 c6 x6 ...
xn = b
X
A soma das áreas dos n retângulos é dada por Sn = f(c1)1 + f(c2)2 + ... + f(cn)n = ∑𝑛𝑖=1 f(c𝑖 )𝑖 .
Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x.
Podemos observar que conforme n cresce a soma das áreas retangulares aproxima-se da área
de S.
Definição: Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a, b]. A área sob a curva y = f(x)
de a até b é definida por:
A=
lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑖→0
∑𝑛𝑖=1 f(c𝑖 )𝑖
Integral definida
Seja y = f(x) uma função definida no intervalo [a, b] e seja P uma partição qualquer de [a, b]. A
𝑏
integral definida de f de a até b, denotada por ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 é dada por
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑖→0
∑𝑛𝑖=1 f(c𝑖 )𝑖
Integral
Quando a função é contínua e não negativa em [a, b], a definição de integral coincide com a
𝑏
definição da área. Portanto, nesse caso a integral definida ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 é a área da região sob o
gráfico de f de a até b.
Propriedades da integral definida
𝑏
𝑏
1. ∫𝑎 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = k ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑏
𝑏
2. ∫𝑎 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
3. Se a < c < b e f é integrável em [a, c] e em [c, b] então f é integrável e [a, b] e
𝑏
𝑐
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Teorema fundamental do cálculo
O teorema fundamental do Cálculo permite relacionar as operações de derivação e integração.
Isto é, conhecendo uma primitiva de uma função contínua f:[a, b] => IR, podemos calcular sua
𝑏
integral definida ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡.
Exemplos:
Calcular as integrais definidas:
3
a) ∫1 𝑥𝑑𝑥
1
1
= 2 𝑥 2 |13 = 2 . 32 9
1 2
.1
2
1
=2−2=4
/2
cos 𝑡 𝑑𝑡
/2
= 𝑠𝑒𝑛 𝑡|
=1
0
b) ∫0
1
c) ∫0 (4x3 – 3x2 + 1) dx
1
1
1
= ∫0 4x3 dx − ∫0 3x2 dx + ∫0 dx
1
1
1
= 𝑥 4 | − 𝑥 3 | + 𝑥|
0
0
0
1
4
= (4 − 0) − (3 − 0)+(1 – 0) = -1/12.
d)
3
∫−1 𝑓(x) dx sendo f(x) = {
|𝑥|, − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
|𝑥 − 2|, 2 < 𝑥 ≤ 3
𝑥,
𝑥 ≥0
Temos x = {
−𝑥, 𝑥 < 0
Logo,
3
2
3
∫−1 𝑓(x) dx = ∫−1|𝑥|dx + ∫2 |𝑥 − 2|dx
0
2
3
= ∫−1 −𝑥 dx + ∫0 𝑥 dx + ∫2 (𝑥 − 2)dx
= −
𝑥2 0
𝑥2 2 𝑥2
3
|
+ | +
− 2𝑥|
2
2 −1
2 0
2
1
4
9
4
= (0 + 2) + (2 − 0)+(2 − 6) − (2 − 4)
= 3.
Y
Integral
X
-1
2
3
2
𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
e) ∫0 𝑓(x) dx sendo f(x) = {
2, 1 < 𝑥 ≤ 2
Y
-1
1
2
1
2
3
X
2
∫0 𝑓(x) dx = ∫0 𝑥 dx + ∫1 2 dx
𝑥2 1
2
= 2 | + 2𝑥|
0
1
1
5
= + 2.2 − 2.1 =
2
2
f)
∞ 𝑑𝑥
∫1/2 𝑥 2
Y
4
X
0,5
𝑏 𝑑𝑥
= lim ∫1/2 𝑥 2
𝑏→∞
= lim − |
𝑥
1
𝑏
1/2
1
1
𝑏→∞
= lim [− 𝑏 + 1/2]
𝑏→∞
=2
Cálculo de áreas
Caso 1: Cálculo de área delimitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos x, onde
f é contínua e f(x) ≥ 0,  x[a, b].
Y
y =f(x)
a
𝑏
A = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
b
X
Integral
Exemplo:
Qual a área limitada pela curva y = 4 – x2 e o eixo dos x.
A curva y = 4 – x2 intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissa -2 e 2
Y
X
-2
2
No intervalo [-2, 2], y = 4 – x2 ≥ 0. Assim, a área procurada é a área sob o gráfico de y = 4 – x2
de -2 até 2.
2
A = ∫−2(4 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = (4𝑥 −
= [(8 – 8/3) - (−8 −
(−2)3
3
2
𝑥3
)|
3 −2
)] =
32
3
Caso 2: Cálculo de área delimitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos x, onde
f é contínua e f(x) ≤ 0,  x[a, b].
Y
a
b
X
y =f(x)
𝑏
A = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Exemplos:
a) Qual a área limitada pela curva y = -4 + x2 e o eixo dos x.
A curva y = x2 - 4 intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissa -2 e 2
Y
-2
2
X
-4
No intervalo [-2, 2], y = 4 – x2 ≤ 0.
Integral
Assim, a área procurada é a área sob o gráfico de y = x2 - 4 de -2 até 2.
2
A = |∫−2(𝑥 2 − 4)𝑑𝑥 |
=|
−32
|
3
=
32
3
b) Encontre a área marcada na figura a seguir, limitada pela curva y = sen x e pelo eixo dos x
de 0 até 2.
Dividimos a área em duas sub-regiões, S1 e S2
Y
S1

0
2
X
S2
No intervalo [0, ], y = senx ≥ 0 e no intervalo [, 2], y = senx ≤ 0. Logo, se A1 é a área de
S1 e A2 a área de S2, temos:
A = A1 + A2

2𝜋
A = ∫0 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥+| ∫𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥|𝜋0 + -cosx 2 
= -cos + cos0 + -cos2 + cos
= -(-1) + 1 + -1 + (-1)
=4
Caso 3: Cálculo de área delimitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos x, onde
f é contínua e f(x) ≥ 0,  x[a, b].
Nesse caso pode ocorrer uma situação particular onde f e g assumem valores não negativos
para todo x  [a, b].
Y
y =f(x)
y = g(x)
a
b
X
A área é calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a área sob o gráfico de g:
𝑏
𝑏
𝑏
A = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
O mesmo resultado podem ocorrer deslocando as curvas para baixo:
Y
y =f(x)
a
b
X
Integral
y = g(x)
Exemplos:
a) Encontre a área limitada por y = x2 e y = x + 2.
As curvas interceptam-se nos pontos de abcissa -1 e 2. Nesse intervalo temos x + 2 ≥ x2.
Logo:
𝑥2
2
A = ∫−1(𝑥 + 2 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = ( 2 + 2𝑥 −
22
= ( 2 + 2.2 −
23
(−1)2
)
−
(
3
2
= 9/2.
+ (−1).2 −
2
𝑥3
)|
3 −1
(−1)3
)
3
Y
4
X
-1
1 2
b) Encontre a área limitada pelas curvas y = x3 e y = x
As curvas intercepam-se nos pontos de abcissa -1, 0 e 1. No intervalo [-1, 0], x < x3 e, no
intervalo [0, 1], x> x3.
Logo:
Y
-1
1
X
-1
0
1
A = ∫−1(𝑥 3 − 𝑥)𝑑𝑥 + ∫0 (𝑥 − 𝑥 3 )𝑑𝑥
𝑥4
=(4 −
0
𝑥2
)|
2 −1
𝑥2
+(2 −
1
𝑥4
)|
4 0
= ½.
c) Encontre a área delimitada pelas curvas y = x2 – 1 e y = x + 1.
As curvas interceptam-se nos pontos de abcissa -1 e 2.
Y
-1
2
No intervalo [-1, 2], x + 1 ≥ x2 -1. Logo:
X
Integral
2
A = ∫−1(𝑥 + 1)𝑑𝑥 − (𝑥 2 − 1)𝑑𝑥
2
= ∫−1(𝑥 − 𝑥 3 + 2)𝑑𝑥
𝑥2
2
=(
−
𝑥3
3
2
+ 2𝑥)|
−1
= 9/2.
d) Encontre a área da região sombreada, limitada pelas curvas y – x = 6, y – x3 = 0 e 2y + x = 0
Devemos dividir a região em duas sub-regiões: 1 e 2
Y
Y=6+x
I
2
I
1
1
-4
2
X
Y = - x/2