UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE BIOFÍSICA CARLOS CHAGAS FILHO
MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA -2012/1
2ª. Lista de exercícios
1. Por meio de cálculos numéricos encontre os limites das funções indicados
abaixo (apresente seus cálculos em uma tabela):
1
2
3
𝑛−1
a. lim [𝑛2 + 𝑛2 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛2 ]
𝑛→∞
b. lim (√𝑛 + 1 − √𝑛 − 1 )
𝑛→∞
2. Calcule os limites abaixo indicados
(𝑥+1)2
a. lim
𝑥→∞ 𝑥 2 +1
1 2
1 2
𝑥 2 (1 + 𝑥)
(1 + 𝑥)
(𝑥 + 1)2
lim
= lim
) = lim
)=1
1
1
𝑥→∞ 𝑥 2 + 1
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑥 2 (1 + 2
(1 + 2
𝑥
𝑥
𝑥 2 −4
b. lim 𝑥 2 −3𝑥+2
𝑥→2
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
𝑥2 − 4
= lim
=4
2
𝑥→2 𝑥 − 3𝑥 + 2
𝑥→2 (𝑥 − 2(𝑥 − 1)
lim
𝑥2
c. lim
𝑥→∞ 10+𝑥√𝑥
1
𝑥2
𝑥2
𝑥2
lim
= lim 3
= lim
=∞
𝑥→∞ 10 + 𝑥 √𝑥
𝑥→∞
𝑥→∞ 10
10
( 3 + 1)
𝑥 2 ( 3 + 1)
𝑥2
𝑥2
𝑠𝑒𝑛5𝑥
d. lim 𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥→0
5𝑠𝑒𝑛5𝑥
2𝑥5𝑠𝑒𝑛5𝑥
5𝑠𝑒𝑛5𝑥
2𝑥
5
= lim
= lim
.
= lim 5𝑥 =
𝑥→0 2𝑥5𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥→0
5𝑥
2𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑥→0 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 2
2𝑥
𝜋
e. lim (𝑛𝑠𝑒𝑛 𝑛)
𝑥→∞
𝜋
𝜋
𝑠𝑒𝑛𝑢
lim (𝑛𝑠𝑒𝑛 ) = lim ( 𝑠𝑒𝑛𝑢) = lim 𝜋
=𝜋
𝑛→∞
𝑢→0 𝑢
𝑢→0
𝑛
𝑢
𝑠𝑒𝑛5𝑥
lim
𝑥→0 𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝜋
Onde fizemos a mudança de variável 𝑢 = 𝑛
2+𝑥 𝑥
f. lim (3−𝑥)
𝑥→0
lim (
𝑥−1 𝑥+2
𝑥→0
2+𝑥 𝑥
) =1
3−𝑥
g. lim (𝑥+3)
𝑥→∞
lim (
𝑥→∞
𝑥 − 1 𝑥+2
)
𝑥+3
−𝑥
1 𝑥+2
1 −1+2
𝑥 (1 + −𝑥)
(1 + −𝑥)
= lim [
]
= lim
= 𝑒 −4
3
3 𝑥+2
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑥(1 + 𝑥)
(1 + 𝑥)
3. Prove que f(x) dada abaixo tem uma descontnidade em x=0
𝑠𝑒𝑛𝑥
|𝑥|
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0
𝑥
𝑓(𝑥) = {𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0
−𝑥
𝑓(𝑥)
Levando em conta isto no cálculo do limite nas vizinhanças do x=0, temos
lim+
𝑠𝑒𝑛𝑥
= +1
𝑥
lim−
𝑠𝑒𝑛𝑥
= −1
−𝑥
𝑥→0
𝑥→0
1
Mostre que lim (1  ) x  e
x 
x
4.
1
Vamos, inicialmente, calcular o limite da seqüência (1  ) n , com n=1, 2,3....
n
1
A expressão (1  ) n é da forma de um binômio de Newton (a  b) n , cujo
n
desenvolvimento é dado por
n
(a  b)n 
 k !(n  k )! a
n!
nk k
b  an 
k 0
n! n 1 1
n!
n! 0 n
a b 
a n 2b2  .... 
ab
n!1
2!(n  2)!
n!1
Considerando que a=1 e b=1/n, temos
k
1
n
1
n!
1
n!
1
n!
1
n!
1
1
(1  ) n  
1nk
 1k 
1n1 
1n2 ( ) 2 
1n2 ( ) 3 ...  10 ( ) n
n
n
(n  1)!1
n 2!(n  2)!
n
3!(n  3)!
n
n
k 0 k!( n  k )!
1
1 n(n  1) 1 2 n(n  1)( n  2) 1 3
n(n  1)( n  2)...[ n  (n  1)] 1 n
(1  ) n  1  n 
( ) 
( ) ... 
( )
n
n
1 2 n
1 2  3
n
1 2  3  n
n
1 n
1
1
1
1
2
1
1
2
n 1
(1  )  1  1 
(1  ) 
(1  )  (1  )... 
(1  )  (1  )...(1 
)
n
1 2
n
1 2  3
n
n
1 2  3  n
n
n
n
A
1
(1)
(2)
1
variável (1  ) n é uma variável ordenada e crescente, pois se compararmos ela com
n
1 n1
(1 
) , que se obtém substituindo na última expressão n  n  1 , termo a termo,
n 1
veremos, por exemplo, para o terceiro termo das duas que:
1
1
1
1 .
(1  ) 
(1 
)
1 2
n
1 2
n 1
Além disso, vemos que
1
(1  )  1,
n
1
2
(1  )(1  )  1
n
n
..
1
2
n 1
(1  )  (1  )...(1 
) 1
n
n
n
Usando este fato na análise da expressão (2) acima, podemos escrever que
1
1
1
1
(1  ) n  1  1 

... 
n
1 2 1 2  3
1 2  3  n
(3)
Por outro lado,
1
1

,
1.2.3 2 2
1
1

1.2.3.4 2 3
..
1
1

1.2.3.4...n 2 n 1
Usando estes resultados e considerando a (3), podemos escrever
 1
1
1
1 
(1  ) n  1  1 
 2 ...  n 1 
n
2
2 
 2
(4)
Os termos dentro da chave em (4) correspondem à soma dos termos de uma progressão
1
geométrica de razão q=1/2 e primeiro termo igual a 1. Tal soma vale (2  ) n 1 .
2
Conseqüentemente, o membro direito de (4) é menor que 3, pois
 1 n 1 
1 n
(1  )  1  2 
(5)
3
n
2 

Mas pela própria expressão (2), vemos que também
1
(1  ) n  2 .
n
Então,
1
2  (1  ) n  3
n
1
Portanto o (1  ) n é um número entre 2 e 3. Este número é chamado e, o úmero de
n
Euler e é a base do logaritmo neperiano; ele vale 2,718281828...
1
Mostramos até aqui que o limite da variável (1  ) n , com n=1, 2,3..., quando n   ,
n
1
vale e. Precisamos calcular agora (1  ) x sendo x um número qualquer e não apenas
x
um inteiro.
Qualquer número x pode ser expresso como situado entre dois inteiros
n  x  n 1
Por conseguinte, teremos
1 1
1
 
n x n 1
1
1
1
1  1  1
n
x
n 1
1 n 1
1 x
1 n
(1  )  (1  )  (1 
)
n
x
n 1
1
Calculando os limites das expressões que estão à esquerda e à direita de (1  ) x ,
x
veremos que
1
lim (1  ) n1  e
n 
n
1
lim (1  ) n  e
n 
n
obrigatoriamente
1
lim (1  ) x  e
x 
x
Veja, abaixo, no gráfico, porque o limite da função é e
6
5
4
y=f(x) x<0
3
y=f(x) x>0
y=e
2
1
0
-10
-5
0
5
10
15
5. Calcule os limites abaixo
7
3 7 3x
21
21
)  lim(1  )3 x  lim(1  )u  e21
a. lim(1  )3 x  lim(1 
x 
x

x

u

x
3x
3x
u
Aqui usamos u=3x e o resultado do exercício 4, e portanto o valor limite não se
altera (se x tende ao infinito, u também tende).
x
1
1

lim(1  ) x
 1 x 
x 1 x
x 
x  e  e 2
b. lim(
)  lim 


3
x  x  3
x 
3
3
lim(1  ) x e
 1  
x 
x
x

3
3
3  
3 
3 

c. lim(1  )3 x  lim  (1  )3 (1  ) x    lim(1  )3  lim(1  ) x   1 e3  e3
x 
x 
x
x
x   x
x  x
x 

1
 2
( x  7 x  3) 2

x  7x  3
x
d. lim(
)  lim 
4
2
x 
x 
x  x 4
 ( x 4  x 2  4) 12
x

2

7 3 

 1  2 

x x  1

  lim
x  
1
4 

1 2  4 


x
x 

A multiplicação/divisão de um fator no numerador e no denominador pode eliminar

0
diretamente uma indeterminação do tipo
ou
.
0

cos 2 x  1
cos 2 x  sen2 x  (cos 2 x  sen 2 x)
2sen2 x
)  lim(
)  lim(
)
e. lim(
x 0 cos x  1
x 0
x 0 cos x  1
cos x  1
1  cos2 x
 (1  cos x)(1  cos x) 
2  lim(
)  2  lim 
1  cos x   4
  2  lim
x 0 cos x  1
x 0
x 0
cos x  1


Atente à troca de sinal na última simplificação.
Outro caminho, usando troca de variável u=cos(x), com u tendendo a 1:
2sen2 x
1 u2
 (1  u)(1  u) 
lim(
)  2lim(
)  2lim 
4
x 0 cos x  1
u 1 u  1
u 1
u 1


sen5 x
5 sen5 x
5
sen5 x
5
sen u
5
)  lim(
)  lim(
)  lim(
)
x 0
x 0 3
3x
5x
3 x 0 5 x
3 u 0 u
3
Aqui usamos u=5x e, portanto, o valor limite não se altera. Usamos o resultado do
exercício 1 (um limite clássico).
f.
6.
lim(