Lista de Exercícios - Limites

Cálculo I
Prof. Lorena Caliman
LIMITES DE FUNÇÕES QUANDO X TENDE A UMA CONSTANTE
PROBLEMA 1 : Calcule
5𝑥² − 8𝑥 − 13
𝑥→3
𝑥² − 5
lim
RESOLUÇÃO:
5𝑥² − 8𝑥 − 13 5(3)2 − 8(3) − 13 8
=
= =2
𝑥→3
(3)2 − 5
4
𝑥² − 5
lim
PROBLEMA 2 : Calcule
3𝑥² − 𝑥 − 10
𝑥→2
𝑥² − 4
lim
RESOLUÇÃO:
3𝑥² − 𝑥 − 10
0
=" "
𝑥→2
0
𝑥² − 4
lim
(Vamos contornar a forma indeterminada fatorando tanto o numerador quanto o
denominador)
(𝑥 − 2)(3𝑥 + 5)
𝑥→2 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
lim
(Dividir os fatores “x – 2” que estão causando a forma indeterminada
0
0
. Agora
o limite pode ser calculado. )
(3𝑥 + 5) 3(2) + 5
11
=
=
𝑥→2 (𝑥 + 2)
(2) + 2
4
lim
1
Cálculo I
Prof. Lorena Caliman
LIMITES DE FUNÇÕES QUANDO X TENDE AO INFINITO
ATENÇÃO: Inicialmente alguns estudantes incorretamente concluem que
igual a 1, ou que o limite não existe, ou é
que
“∞-∞”
é igual a 0. De fato, as formas
+∞ ou -∞.
∞
∞
∞
∞
é
Muitos concluem
e “∞-∞” são exemplos de
formas indetermindas.
Usualmente essas formas indeterminadas podem ser contornadas por
manipulações algébricas.
PROBLEMA 3 : Calcule
100
𝑥→∞ 𝑥² + 5
lim
RESOLUÇÃO:
100
"100"
=
=0
𝑥→∞ 𝑥² + 5
∞
lim
(O numerador é sempre 100 e o denominador “x² + 5” tende ao
tende ao
, assim a resolução da fração se aproxima de 0.)
quando x
PROBLEMA 4 : Calcule
lim (3𝑥 3 − 1000𝑥²)
𝑥→∞
RESOLUÇÃO:
lim (3𝑥 3 − 1000𝑥²) = ∞ − ∞
𝑥→∞
2
Cálculo I
Prof. Lorena Caliman
(O que NÃO é igual a 0. Essa é uma forma indeterminada e pode ser
contornada por fatoração.)
lim 𝑥² (3𝑥 − 1000)
𝑥→∞
(Quando x tende do
aproximam do
.)
, cada uma das duas expressões “x²” e “3x – 1000” se
lim 𝑥² (3𝑥 − 1000) = ∞. ∞
𝑥→∞
(Essa não é uma forma indeterminada, ela possui significado.)
=
Quando x → ∞, considera-se somente o termo de maior potência para o cálculo
do limite. Exemplo:
lim 𝑥 3 = ∞
𝑥→∞
PROBLEMA 4 : Calcule
𝑥+7
𝑥→−∞ 3𝑥 + 5
lim
RESOLUÇÃO:
𝑥+7
−∞
="
"
𝑥→−∞ 3𝑥 + 5
−∞
lim
(Essa é uma forma indeterminada. Podemos contorná-la dividindo cada termo
por x .)
𝑥 7
7
+ 𝑥
1+𝑥
𝑥 + 7 1⁄𝑥
𝑥
lim {
.
} = lim
= lim
5 𝑥→−∞
5
𝑥→−∞ 3𝑥 + 5 1⁄
𝑥→−∞ 3𝑥
𝑥
3+𝑥
𝑥 +𝑥
(Quando x tende a
aproximam de 0.)
, cada uma das duas expressões “7/x” e “5/x” se
1 1
=
𝑥→−∞ 3
3
lim
3
Cálculo I
Prof. Lorena Caliman
Lista de Exercícios - Limites
𝑥² − 7𝑥 + 10
𝑥→2
𝑥² − 4
lim
2
𝑥 +𝑥−2
𝑥→−1 𝑥 2 − 1
lim
𝑥 2 + 2𝑥 − 35
lim
𝑥→5 𝑥 2 − 10𝑥 + 25
3𝑥 5 + 𝑥 − 1
lim
𝑥→∞ 2𝑥 7 + 𝑥³
5 − √𝑥
𝑥→25 25 − 𝑥
lim
100
𝑥→∞ 𝑥 2 + 5
lim
7
𝑥→−∞ 𝑥 3 − 20
lim
lim 𝑥² + 1
𝑥→0
lim 𝑥² + 2𝑥 + 1
𝑥→0
3𝑥 5 + 𝑥 − 1
lim
𝑥→∞ 2𝑥 7 + 𝑥³
2𝑥 8 + 7𝑥
lim
𝑥→+∞ 3𝑥 2 − 2
5𝑥 5 + 2𝑥 − 1
lim
𝑥→+∞
3𝑥 5 − 𝑥²
lim 𝑥² + 1
𝑥→∞
𝑥
𝑥→0 𝑥² − 𝑥
lim
lim 𝑥² − 3𝑥 + 1
𝑥→∞
lim 3𝑥 3 − 1000𝑥²
2
𝑥→5 𝑥
lim 𝑥 4 + 5𝑥² + 1
1
𝑥→0 𝑥² + 3𝑥 − 1
𝑥→∞
𝑥→−∞
lim 𝑥 5 − 𝑥²
lim
lim
𝑥→∞
𝑥+7
𝑥→−∞ 3𝑥 + 5
lim
7𝑥² + 𝑥 − 100
𝑥→∞
2𝑥 2 − 5𝑥
lim
𝑥² − 4
𝑥→2 𝑥 − 2
lim
𝑥² − 𝑥
𝑥→0
𝑥
lim
4