Resolução

Resolução da frequência (31/01/2004):
1.1.
D f  x  IR : 1  x  0  x  0  x  0  IR
Continuidade:
Para x  0 :
A função é contínua, porque é a diferença entre uma constante e a composição de uma
função logarítmica com uma função afim (contínua em  ,1 ; em particular em IR  ).
Para x  0 :
A função é contínua, porque é a composição de uma função exponencial com uma
função polinomial (contínua em IR; em particular em IR  ).
Para x  0 :
lim f x   lim e  ln 1  x   e  ln 1  e
x 0 
x 0
lim f x   lim e1 x  e1  e
2
x 0
x 0
E, f 0  e . Assim, a função é contínua em x  0 .
Logo, a função é contínua em IR.
1.2.
A função não tem assimptotas verticais, porque é contínua em IR .
Assimptotas não verticais:
m  lim
x  
f ( x)
e  ln 1  x     R. C.
1
 lim
    lim
0
x  
x
x
   x 1  x
b  lim  f ( x)  mx  lim e  ln 1  x   
x  
x  
A função não tem assimptota à esquerda.
f ( x)
e1 x
0
1
m  lim
 lim

 0
 00  0
x  
x  
x
x


2
b  lim  f ( x)  mx  lim e1 x  e   0
2
x  
x  
y  0 é uma assimptota horizontal à direita.
1.3.
Se x  0 :
f ' x  
Se x  0 :
f ' x  2 xe1 x
1
1 x
f ' x   0 
2
f ' x   0  2 xe1 x  0  
x0
2
1
0
1

x


C. Imp.
C. Imp.
x
-∞
+∞
0
f ' x 
+
?
-
f x 

e

A função é decrescente em 0, e crescente em  ,0 .
Da análise da tabela, e como a função é contínua em x  0 , concluímos que ela tem aí
um máximo.
1.4.
x0  1  y 0  1
m  f ' x0   f ' 1  2
;
y  y 0  m x  x 0 
y  1  2 x  1
y  2 x  3
1.5.1.
lim ln g x 
1
x
x 0

 lim ln e1 x
x 0
2

1

 lim 1  x 2
x
x 0

1
x
 
 1
Ind.
Aplicando logaritmos:

ln lim 1  x 2
x 0

1
x

 lim ln 1  x 2
x 0

1
x
 2x
2
2x
0
 lim 1  x  lim 
 0
2
x 0
x 0
1
1
1 x
Assim, lim ln g x 
x 0
1
x
 e0  1 .


ln 1  x 2
1

 0  R. C.
 lim  ln 1  x 2   lim
  
x 0  x
x
 x 0
0


1.5.2.
 xgx dx   xe
1 x 2
dx  
2
2
1
 2 x e1 x dx   1 e1 x  c

2
2
2.1.
3q 2  q  48
48
CUM q  
 3q  1 
q
q
CUM ' q   3 
48
q2
CUM ' q   0  3 
48
 0  3q 2  48  0  q  4
2
q
q
0
+∞
4
CUM' q
-
0
+
CUM q

m

O CUM será menor quando se produzirem 4 unidades do bem.
2.2.
C ' q   CUM q   6q  1  3q  1 
48
48
 3q 
 3q 2  48  q  4
q
q
3.1.1.
 n  1
 1
1
lim u n  lim 
  lim 1    e  e
n  
n  
n


 n 
 n
n
n
3.1.2.

 u
n 1
n
 u n 1 
 n 1
é uma série de Mengoli, com u n  
 e k  1.
 n 
n
Como lim u n  e (finito), a série é convergente e a sua soma é:
n  
 n 1
S  u1  1  lim 
  2e
n  
 n 
n
3.2.

2
n 1
1
1
, com a n  n .
2 n!
n!
n
Pelo critério da razão:
1
a
2 n n!
2 n n!
1
1
1
2 n  1!
lim n 1  lim
 lim n 1
 lim n
 lim
 0  0 1
1
an
n 1 2
2 n  1!
2  2  n  1  n! 2
n
2 n!
Conclusão: a série dada é convergente.
n 1
4.1.
f x, y   e xy
 ye xy  0
 f x  x, y   0
y  0



 xy
 xe  0
x  0
 f y  x, y   0
0,0 é o único ponto crítico.
x, y   f xx x, y   f yy x, y   f xy2 x, y 

x, y   y 2 e xy  x 2 e xy  1  xye xy

2
Como 0,0  1  0  0,0 é ponto sela.
4.2.
Como f x  dx, y  dy   f x, y   f x x, y dx  f y x, y dy , então:
f 0,01;2,02  f 0,2  f x 0,2  0,01  f y 0,2   0,02
 1  2  0,01  0   0,02
 0,98
5.1.
1
 x1  ln x  dx
2
Seja ln x  t  x  e t  x'  e t
Então,
1
1
 e 1  t   e dt   1  t
t
t
2
2
dt  *
Cálculo auxiliar:
1
1
A
B



2
1  t 1  t  1  t 1  t
1 t
Pela regra do tapa:
1
 1 
A


1  t  t 1 2
1
 1 
B


1  t  t 1 2
1 
 1
1  1
1 1
1
1

2
*   
 2 dt   
dt  
dt   ln 1  t  ln 1  t  c 

1 t 1 t
2 1 t
2 1 t
2
2



1
ln 1  t  ln 1  t   c  1 ln 1  t  c  ln
2
2 1 t
1 t
c
1 t
Assim:
1
 x1  ln x dx  ln
2
1  ln x
c
1  ln x
5.2.
1
6x  2x
6x
2 x
x 2
1
dx

dx

dx

6
dx

2
 x
x
 x

 x dx   6dx  2  x 2 dx 
 1 1
1
x 2
x 2
 6x  2 
 c  6x  2 
 c  6x  2 2  x  c  6x  2 2x  c
1
 1 1
2
2