gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III
PROVA DE MATEMÁTICA II  3a CERTIFICAÇÃO / 2011
3a SÉRIE
MANHÃ
COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR
PROFESSOR(A): _________________________________________
NOTA:
_______
__
NOME: GABARITO No:_______TURMA: _______
VALOR 3,5 PONTOS. Não serão aceitas respostas sem as devidas justificativas!!!
QUESTÕES:
1) Os vértices de um triângulo são A(6, 3), B(– 4, 5) e C(3, – 1). Calcule:
(Valor: 1,0 ponto)
a) A medida da mediana relativa ao vértice C;
Solução. A medida da mediana (Md) é a distância do vértice C ao ponto médio (M) de AB.
Temos:
i) M   A  B    6  ( 4) , 3  5   1,4 .

ii)
2


2
2 
Md  dC,M 
Md 
3  12   1  42
.
22   52  4  25  29
b) A área do triângulo ABC;
Solução. Aplicando fórmula da área sob a forma matricial, temos:
6
3 1
6
3 1 6
3
1
1
1
Área  .  4 5 1  .  4 5 1 4 5  . 30  9  4  15  6  12
2
2
2
.
3 1 1
3 1 1 3 1

1
1
. 43   3   . 46  23 u.a.
2
2
2) Determine a equação da reta que passa pelo ponto B (2, – 1) e é perpendicular à reta
de equação 3x – 2y + 4 = 0.
(Valor: 1,0 ponto)
Solução. Considere r a reta 3x – 2y + 4 = 0 e s a reta perpendicular. O coeficiente angular de r
vale o inverso do simétrico do coeficiente angular da reta s. Temos:
3 x  2y  4  0  2y  3 x  4  y 
3x
2
2
3

.
coeficient e angular de r : mr  2
2x
2(2)


1
1
2  s : y   3  n  2,1  s  1   3  n


coeficient e angular de s : ms  
3
mr
3

2
1
2x 1
 3n  4  3  3n  1  n  . Logo, s : y  

ou s : 2x  3 y  1  0
3
3 3
1
3) Determine a equação da reta de inclinação 60o que passa pelo ponto P (2 3 , 5).
(Valor: 0,5 ponto)
Solução. A inclinação da reta é o ângulo que esta reta faz com o eixo horizontal. Seu
coeficiente angular é a tangente do ângulo.
r : y  mx  n
coeficient e angular de r : m r  tg60º  3
r : y  3 x  n
 5  3 2 3  n  n  6  5  n  1.

P 2 3, 5  r

 

.
Logo, r : y  3 x  1 ou r : 3 x  y  1  0 ou r : y  3 x  1  0
4) Escreva as equações reduzida e geral da circunferência de centro (-2,1) e raio 5:
(Valor: 1,0 ponto)
Solução. Substituindo na equação reduzida e depois desenvolvendo, temos:
i) Re duzida : x  2  y  1  5 2  x  2  y  1  25
2
2
2
2
ii) Geral : x 2  4x  4  y 2  2y  1  25  0  x 2  y 2  4x  2y  20  0
.
5) (Questão Bônus)
Determine o valor de m, real, para que os pontos A (1,4), B(3,-1) e C(m,2) estejam
alinhados.
Solução. Para que os pontos não formem um triângulo eles estarão alinhados. Aplicando a
condição de alinhamento, temos:
1
4
3
1 1  0  3
1
1 1 3
 1  0  1  4m  6   m  2  12  0  4m  m  5  14  0  5m  9  m 
m
2
2
2
1
1
m
4
11
1m
4
2
.
9
 1,8
5