Matemática - Nacional Online

Matemática
Considere o feixe de retas concorrentes no ponto P(8,3). Seja r a reta desse feixe que
determina junto com os eixos cartesianos um triângulo retângulo (ângulo reto na origem)
contido no quarto quadrante e área igual a 6 unidades de área.
Na equação geral ax + by + c = 0 da reta r, a soma dos inteiros a + b + c é múltiplo de
A)7.
B)13.
C)11.
D)5.
Gabarito: B
Resolução:
Um desenho ilustrativo (sem escala) que satisfaz a descrição do enunciado está dado
abaixo
Destacando o triângulo retângulo desejado
A área do triângulo dado é 6 u.a, ou seja
m⋅n
= 6⇒
2
m · n = 12
n=
12
m
Aplicando semelhança entre os triângulos abaixo
3
8−m
=
⇒
12
m
m
96
3m =
− 12 ⇒
a
3m2 + 12m – 96 = 0 ⇒
m2 + 4m – 32 = 0
∴
m1 = 4
m2 = – 8 (não convém)
Voltando na expressão da área, vamos substituir o valor de a.
m ⋅|n|
= 6⇒
2
4 ⋅|n|
= 6⇒
2
|n|=3
MAS CUIDADO! A área é dada em MÓDULO. Logo, o valor de b também está em módulo, dessa forma, o valor de b para que o triângulo se localize no 4º Quadrante é b = –3.
Assim, a reta concorrente procurada corta os eixos cartesianos em A(4; 0) e B(0; –3).
Para encontrarmos sua equação, podemos recorrer à equação segmentária:
x y
+ =1 ⇒
m n
x y
1
− =
4 3
Multiplicando toda a equação por 12, obtemos
3x – 4y = 12 ⇒
3x – 4y – 12 = 0
Logo, a soma dos coeficientes da equação geral da reta é
Σ=a+b+c⇒
Σ = 3 – 4 – 12 ⇒
Σ = –13
e –13 é um múltiplo de 13.