Matriz

Matriz
Introdução
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais
aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um
exemplo.
A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:
Química
Inglês
Literatura
Espanhol
A
8
7
9
8
B
6
6
7
6
C
4
8
5
9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na
segunda linha e na terceira coluna da tabela.
Na matemática, uma matriz é um tabela de m x n , representada sob a forma de um quadro
com m linhas e n colunas e utilizado, entre outras coisas, para a resolução de sistemas de
equações lineares e transformações lineares.
Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no
exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:
Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima
para baixo e as colunas, da esquerda para direita:
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas
matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3. (três por três )
Veja mais alguns exemplos:


é uma matriz do tipo 2 x 3
é uma matriz do tipo 2 x 2
Notação geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras
minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha( i ) e a
coluna ( j )que o elemento ocupa.
Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:
ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que
o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.
A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2x3 com elementos naturais.
Nesse exemplo, o elemento a12 é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do
quadro.
Na matriz
, temos:
5
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.
Um elemento qualquer é representado por aij, onde i representa a linha e j a coluna, onde o elemento se
encontra localizado.
·
Representações de uma matriz :
( ), [
]
||
||
.
Matriz determinada por lei de formação
As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas por leis, de acordo com
seus índices i e j. Por exemplo, construir a matriz A, do tipo 3x2 onde aij = i + j, para i de 1
a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2
Denominações especiais
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.

Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz
A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.

Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por
exemplo,

, do tipo 3 x 1
Matriz quadrada: matriz do tipo m x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas;
dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz
isto é, quadrada de ordem 2.
é do tipo 2 x 2,
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é
formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1 .Veja:
Observe a matriz a seguir:
a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)

Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n.
Por exemplo,

.
Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal
principal são nulos. Por exemplo:

Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são
iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por
exemplo:
Assim, para uma matriz identidade

.
Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.
Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna
Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que
ocupam a mesma posição são iguais:
.
Operações envolvendo matrizes do mesmo tipo
Adição de matriz do mesmo tipo
Dado matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B é a matriz C do tipo m por n
computada adicionando os elementos correspondentes: (A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].
Por exemplo:
A+B=C
Exemplos:


Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.
Subtração de matriz do mesmo tipo
Dado matrizes A e B do tipo m por n, sua diferença A - B é a matriz C do tipo m por n
computada subtraindo os elementos correspondentes: (A - B)[i,j] = A[i, j] - B[i,j].
C= A - B => C= A + ( - B )
Observe:
Multiplicação de um número real por uma matriz
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do
tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:
B = x.A
Observe o seguinte exemplo:
Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos
elementos.
Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada
elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima
linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.
Vamos multiplicar a matriz

1ª linha e 1ª coluna

1ª linha e 2ª coluna

2ª linha e 1ª coluna
para entender como se obtém cada Cij:

2ª linha e 2ª coluna
Assim,
.
Observe que:
Portanto,
comutativa.
.A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade
Vejamos outro exemplo com as matrizes
:
exemplo:
Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao
número de linhas de B:
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):
Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1



1) Dadas as matrizes :
 5 2
2  2
a b 
A
, B
e X 


 tais que 2 A  X  B, calcule o determinan te de X .
 1 1 
0 1 
c d 
Primeirame nte encontramo s a matriz X :
5
2
 1
 10
 2

2 a b  2  2


1   c d  0 1 
4  a b   2  2


2  c d  0 1 
 10  a 4  b  2  2
  2  c 2  d   0 1 

 

det X 
8
6
2 1

10  a  2  a  8
4  b  2  b  6


 2  c  0  c  2
2  d  1  d  1
 8.1  6.(2)  8  12  20
Exercício de matriz serie 1
1-Escreva
a matriz A, do tipo 3X2 , onde aij= 3i-j
2- Escreva a matriz A, do tipo 1X3 , onde aij=
-2i+j2

 8 6
X 

 2 1
3-Escreva
a matriz quadrada de ordem 2 onde aij=
4- Escreva a matriz B,= (bij)2x3 onde bij=
i  2 j

 2
5
 2

3x  y 1
se i  j
se i  j
se i  j
se i  j
1   2
1 
 a

 


2
b

1


2

3 

 
c  2
7   4 d  a 

5- Determine a,b,c,d, de modo que se tenha
6- Dadas as matrizes A= 
i  j

 2.i
 x  y 5
 , calcular x e y para que
 10 1
e B= 
A =B
3 0 
2 5
0  1
7- Dadas as matrizes A= 
 , B 2 5  e C = 6  4


 3 1


calcular : a) A+B
b)3.A-2C
c) (B+C)t-A
 3 
8- Dadas as matrizes A =   2 
e B = ( -1 -4 2) , calcular a matriz X tal que
 5 
 
a) X –2.A= Bt
b) 2X+At = -3B
2 5
0  1
, B

 e C=
 3 1
2 5 
9-Dadas as matrizes A= 
a) X-A = B+2C
b) 3X-C = 2.A-X
3 0 
6  4 , calcular a matiz X tal que :


c) X+2At = (B-C)t
10) Verificar se é possível multiplicar as matrizes, se possível, qual o tipo da matriz produto.
a) matriz A (2 X 2) matriz B (2 X 3) produto A.B
b) matriz A (2 X 3) matriz B (3 X 1) produto A.B e B.A
c) matriz A (2 X 1) matriz B (1 X 2) produto A.B e B.A
d) matriz A (2 X 3) matriz B (3 X 2) produto A.B e B.A
e) matriz A (2 X 3) matriz B (3 X 3) produto
Exercicios de matriz serie 2
A.B e B.A
01) Calcule a soma dos elementos da 2ª coluna da matriz B  bij 2x3 tal que
bij  2i  j  1
02) Construa as matrizes:
a) A  aij 1x3 onde a ij  2i  j
b)
B  bij 3 x 2
i  j, se i  j
onde bij  
2
i  j , se i  j
03) Determine o valor de cada incógnita para que as matrizes sejam iguais.
1 
 3 a b  x  2  5
c  1 4 0   4
y z  3

 
04) Determine a, b, x, y, sabendo que:
 x  y 2a  b 3  1
2 x  y a  b   0 7 

 

x
2
 1 2 3
 1




t
05) A matriz A   x y z  admite a transposta A   x  2
y
1  . Nessas
2 1 z
 3y 6  y z 




condições, calcule x, y e z.
 1 1 0 


06) Dada a matriz A   2 3
4  , obtenha a matriz X tal que X  A  At
 0 1  2


07) Considere as seguintes matrizes:
A  aij 2 x3 definida por aij  i  j
B  bij 2 x3 definida por bij  i  j
Determine o elemento c23 da matriz C  A  B .
08) Ache m, n, p e q de modo que:
 m 2m   n  n   7 8 

  
  

 p p   q  3q   1 5 
 1 2


 5 1 3
t
 e  X  A  B .
09) Calcule a matriz X, sabendo que A    1 0  , B  
  2 0 2
 4 3


 2 1
 0  1


10) Dadas as matrizes A = 
B= 
2 5 
  3 4
a) A-3Bt+2C
b) 2X-3A = C t
 3 0

C= 
6 1
calcule:
11) Determine o valor das incógnitas tal que:
a)
a   5  3  c 8 
 2

 + 

 = 
 b  2 7   4 1   2 8
 x  y 3  6 w / 2 
=

b) 
8   4 2 x  y 
 4
Proposta de atividades em grupo (4 a 5 alunos) para conclusão dos conteúdos do 3 ano, em
forma de trabalho de pesquisa, criação geométrica das formas e aplicação com relação
pratica dos sólidos em nosso cotidiano
I- Estudo dos sólidos 1- prismas (paralelepípedo , cubo e prisma triangular)
2- corpos redondos cilindro , cone , tronco de cone esfera
3- pirâmide de base quadrada e tetraedro
http://www.bibvirt.futuro.usp.br/textos/exatas/matematica/tc2000/mat2g63.pdf
http://www.webcalc.com.br/frame.asp?pag=http://webcalc.com.br/matematica/cone_reto.ht
ml
(efetua cálculo de área e volume da vários sólidos)
http://www.vestibular1.com.br/menu/resumao.htm
Mediadas dos sólidos : área total e volume ,
estimar a relação entre m3 e litros ; cm3 e mililitros(litros)
Atividades
1- definições , forma geométrica , fórmulas , exercícios de aplicação
2- construção em cartolinas ou outro meio para identificar sólidos, efetuar
seus cálculos com base nessas medidas (usar produtos e propaganda de supermercado)
II – estudo dos polinômios a) definição b) grau do polinômios c) valor numérico
d) operações adição, subtração, multiplicação e divisão
Objetivos das atividades
a- Proporcionar aos alunos uma independência em relação a busca do seu conhecimento
b- Proporcionar uma relação de amizade e trabalho de equipe entre os integrantes do grupo
c- ética profissional diante de um desafio e busca de suas soluções
d- inclusão digital em relação a pesquisa,e construção do conhecimento e elaboração do
projeto
e- recuperação e valorização da auto estima do aluno em relação ao ensino de matemática
de forma diferenciada
b) apresentação do trabalho manuscrita(de forma limpa e organizada contendo
bibliografias utilizadas e ou referencia ) ou forma digital (o grupo deverá
providenciar meio para que todos os alunos tenham acesso ao trabalho)
Avaliação: atitude dos integrantes do grupo , apresentação , execução do trabalho , espírito
de equipe, criatividade
Aconselha que os alunos que apresentaram dificuldades durante o ano, formem um grupo ,
para uma melhor avaliação de suas atividades e posterior recuperação de atitudes e
conhecimento