5 – PROBABILIDADES

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5 – PROBABILIDADES
A teoria das probabilidades tem raízes na teoria matemática dos jogos de azar iniciada em
1654, quando o jogador De Mère propôs ao matemático Pascal suas célebres perguntas a
respeito dos jogos de azar. De início a teoria das probabilidades ocupava-se apenas com
dados, lances de moedas, retiradas de cartas de um baralho, loterias, etc. Com o passar do
tempo ela passou, pouco a pouco, constituir o fundamento da estatística da atuária, (parte
da estatística que investiga problemas relacionados com a teoria e o cálculo de seguros
numa coletividade) e outros ramos do conhecimento.
Havia sido observado que em todos os jogos habituais com dados, cartas, etc, a freqüência
de determinado resultado de um jogo parecia tender para um valor definitivo quando o jogo
era repetido um grande número de vezes. Observado essa tendência os matemáticos Pascal,
Fermat, Huygens, e James Bernoulli desenvolveram seus estudos. Mais tarde, o mesmo
tipo de regularidade foi verificado com dados demográficos de vários tipos. Gradualmente,
o campo de observação do referido fato empírico - conhecido pela denominação de
estabilidade das freqüências relativas em longa série de observações - foi se ampliando a
ponto de hoje ser considerada uma característica geral dos experimentos causais
realizados sob condições uniformes.
5.1 - DEFINIÇÕES E TEOREMAS SOBRE PROBABILIDADES
5.1.1 – ESPAÇO AMOSTRAL
Denominamos espaço amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento. Por exemplo, se o experimento for lançar um dado o espaço amostra é o
conjunto E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Suponhamos que o experimento seja lançar uma moeda três vezes. Seja
c = cara. O espaço amostral é o conjunto
k = coroa e
E = {kkk, kkc, kck, ckk, kcc, ckc, cck, ccc}.
5.1.2 - EVENTO
Denominamos evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Por exemplo, lançar
um dado e obter números pares. O evento é o conjunto A = {2, 4, 6}. Outro exemplo,
lançar três moedas e obter duas coroas. O evento é formado por todos os resultados
possíveis que apresentarem duas coroas. Ou seja B = {kkc, kck, ckk}.
p( A) 
n
x

29
5.1.3 – PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE UM EVENTO
Consideremos um experimento com espaço amostral E contendo n elementos. Seja A um
evento de E contendo x elementos. Então a probabilidade de A ocorrer é dada por
p ( A) 
x
n
Exemplo 5.1. Se o experimento for lançar uma moeda três vezes e o evento for
A = {obter duas coroas}, a probabilidade é
p ( A) 
3
 0,375
8
Isso significa que se repetirmos o experimento 100 vezes em 37,5 devermos obter duas
coroas.
5.1.4 - PROBABILIDADE CONDICIONADA
Suponhamos que numa sala, fazendo um curso, estão presentes 25 homens e 30 mulheres.
Entre eles há um aniversariante. Ninguém do grupo, exceto o próprio, sabe quem é o
felizardo. Vamos denominá-lo “y”. Sorteando um dos presentes qual a probabilidade do
aniversariante ser sorteado?
A o problema é solucionado da seguinte forma:
1 – Estabelecemos o espaço amostral. Isto e’, E = {25 homens, 30 mulheres}.
2 – Estabelecemos o evento. Isto é, A ={ y é aniversariante}.
Assim,
p ( A) 
x 1

 0,018
n 55
Ou seja, a probabilidade de acerto não chega a ser 2%.
Suponhamos que a secretária do curso chega e comunica que uma das mulheres é a
aniversariante. Com essa nova informação, qual a probabilidade da aniversariante ser
sorteada? A solução do problema é dada como anteriormente.
1 – Agora o espaço amostral é M = {30 mulheres}. O evento A = { y é mulher}
Assim,
x 1

 0,033
n 30
Note que agora a probabilidade do aniversariante ser sorteado passa de 3%.
p ( A) 
Essa nova probabilidade é denominada probabilidade condicionada. Essa denominação
deve-se ao fato dela estar condicionada a informação dada pela secretária do curso.
30
A pergunta óbvia, nesse caso, é: poderíamos determinar tal valor através de uma fórmula
própria? A resposta é sim. Vamos lá.
Seja E = { 25 homens, 30 mulheres} o espaço amostral. Sejam os eventos :
A = { y é aniversariante} e M = { y é mulher}.
Escrevemos p(A/M) - lê-se p(A) dado M - para indicar probabilidade de ser sorteando o
aniversariante y condicionada a informação de y ser mulher. Assim, temos a fórmula.
p( A / M ) 
p( A  M )
p( M )
Logo,
1
p( A  M ) 55
1
p( A / M ) 


 0,033
30 30
p( M )
55
Assim a probabilidade do aniversariante ser sorteado condicionado a informação y é
mulher é 3,3%
5.1.5 – EVENTOS INDEPENDENTES
Sejam A e B dois eventos. Dizemos que A e B são independentes quando a ocorrência do
evento B não é influenciada pela ocorrência do evento A, ou vice versa.
Exemplo 5.2: O evento A = {Paulo ganhou na loto} não dependeu do B = { Paulo foi
sorteado para uma viagem de férias nas ilhas do Caribe}. Por outro lado, o evento
A = { Paulo contraiu AIDS } depende do evento B = { Paulo teve contato com algum
agente transmissor da AIDS}.
5.1.6 – EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES.
Dois eventos A e B são mutuamente excludentes quando a interseção entre eles é vazia.
Exemplo 5.3: Sejam os eventos A = {pessoas nascidas em SC} e
B = { pessoas nascidas em SP}. Então a interseção entre A e B é vazia.
5.1.7 – TEOREMAS PARA CÁLCULO DE PROBABILIDADES
I - Sejam A e B dois eventos mutuamente excludentes então p(A U B) = p(A) + p(B).
- Se forem vários eventos mutuamente excludentes então:
p(A U B U ......U Z) = p(A) + p(B) + ........+ p(Z)
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A e B dois eventos não mutuamente excludentes então
p(A U B) = p(A) + p(B) - p(AB).
- A , B e C não são mutuamente excludentes, então
p(A U B U C) =p(A) + p(B) + p(C) -p(A U B) - p(A U C) - p(B U C) +
p ( A  B  C)
III A e B dois eventos independentes então p(AB) = p(A) p(B).
II -
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS.
1 - O primeiro filho de um casal foi um menino. Qual a probabilidade do segundo filho
também ser um menino?
Solução: Temos como espaço amostral E = {menino, menina}. Os eventos são:
A = { primeiro filho menino} e B = { segundo filho também menino}. Como primeiro e
segundo filhos são meninos queremos p(AB). Sendo os eventos independentes vem
p(AB) = p(A) p(B) ou seja p(AB) = (0,5)(0,5) = 0,25 ou seja, 25%.
2 – Lançando um dado suponhamos que Paulo seja ganhador se der os números 3 ou 5.
Qual a probabilidade de Paulo ser vencedor?
Solução: Temos como espaço amostral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Os eventos favoráveis a
Paulo são A = {3} ou B ={5}. Tais eventos são mutuamente excludentes. Logo,
p(A U B) = p(A) + p(B) ou seja p(A U B) = 1/6 +1/6 = 2/6 = 1/3 = 0,3333. Isto é 33,33%.
3 – De um baralho contendo 52 cartas, Paulo será vencedor se retirar uma carta de paus ou
um ás. Qual a probabilidade de Paulo ser vencedor?
Solução: O espaço amostral é E ={52 cartas}. Os eventos são A = {Paulo tira uma carta
de paus} ou B = {Paulo tira um ás}. Como sabemos, num baralho de 52 cartas existem 13
cartas de paus e 4 ases. Nesse problema, o ás de paus está presente nos dois eventos. Logo,
A e B não são mutuamente excludentes. Portanto,
p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B) 
13 4
1 16



 0,3777
52 52 52 52
Portanto, a probabilidade de Paulo ser vencedor é 37,77%
EXERCÍCIOS
1 – A probabilidade de determinado teste para AIDS dar resultado negativo em portadores
de anticorpos contra o vírus ( falso negativo) é 10%. Suponhamos que os falsos negativos
ocorrem independentemente. Qual a probabilidade de um portador de anticorpos contra o
vírus da AIDS, que faz o teste três vezes ter resultado negativo nas três vezes?
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2 – Suponha que a probabilidade de uma pessoa ser do tipo sangüíneo O é 40%, ser A é
30% e ser B é 20%. Suponha ainda que a probabilidade de Rh+ seja 90% e que o
fator Rh independe do tipo de sangüíneo . Nestas condições, qual a probabilidade de uma
pessoa da população, tomada ao acaso, ser :
a) ( O, Rh+), b) (A, Rh- ) c) ( AB, Rh- ).
3) Um grupo de médicos estão distribuídos conforme a tabela abaixo
Cardiologistas
Homens
Mulheres
Total
92
101
193
Oftalmologistas Otorrinolaringologist
as
35
47
33
52
68
99
Total
174
186
360
I)
Qual a probabilidade de ser escolhido um médico ao acaso e ele ser: a) Homem
cardiologista? b). Mulher oftalmologista?
II)
Escolhe-se uma médica ao acaso. a). Qual a probabilidade dela ser
otorrinolaringologista? b). Ser cardiologista?
III)
Escolhe-se um cardiologista ao. Qual a probabilidade de Ter sido escolhido um
homem?
4) O levantamento de 500 estudantes que freqüentavam um ou mais curso de Álgebra,
Física e Estatística, durante um semestre revelou os seguintes números de estudantes de
cada matéria indicada:
Álgebra 329
Álgebra e Física
83
Física
186
Álgebra e Estatística 217
Estatística 295
Física e Estatística
63
Quantos estudantes estão freqüentando a) todas as 3 matérias b) Álgebra, mas não
Estatística c) Álgebra, mas não Física ou Estatística
6. PARTIÇÃO
Dizemos que os eventos B1, B2,....Bk representam uma partição do espaço amostral S,
quando
a ) Bi  B j   para todo i  j
k
b)  Bi  S
i 1
c) P( Bi )  0 para todo i
p(A) = p(A/B1). p(B1) + p(A/B2).p(B2) + ......+ p(A/Bk).p(Bk)
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7. TEOREMA DE BAYES
Seja B1,B2 ,...., Bk uma partição do espaço amostral S e seja A um evento qualquer
associado a S, então:
P( A / Bi ).P( Bi )
P( Bi / A)  k
 P( A / Bi ).P( Bi )
i 1
8. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
Até agora, ao descrever o espaço amostral de um experimento, não especificamos
que o resultado individual seja um número.
Contundo, em muitas situações, estaremos interessados na mensuração de alguma
coisa e no seu registro com um número.
Definição Seja E um experimento e S o espaço amostral asssociado a E. Uma
função x, que associe cada elemento s  S um número real, x(s) é denominada variável
aleatória.
Ss
x(s)
Definição Seja x uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de x for
finito ou infinito numerável, denominaremos x de variável aleatória Discreta
Satisfazendo 1) p(xi)  0

2)  p ( xi )  1
i 1
A função p (as vezes denominada f) recebe o nome de função de probabilidade da
variável aleatória x, e o conjunto de pares (xi, p(xi)) é denominado de distribuição de
probabilidade de x
Definição :
Seja x uma variável aleatória, se x pode assumir todos os valores que
pertencem a um intervalo da forma a < x < b, denominaremos x como uma variável
aleatória contínua.
A sua função densidade de probabilidade (f.d.p.), deve satisfazer:
a) f ( x)  0 para todo x  a  x  b
b
b)
 f ( x) dx  1
a
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Definição
Seja x uma variável aleatória discreta n ou continua. Define-se a função F,
denominada função distribuição acumulada ou função acumulativa, como:
F ( x)  p ( X  x)
k
Se x for uma V.A. Discreta F ( x k )  p( X  x k )   p ( xi )
i 1
a
Se x for uma V.A Continua F (a )  p ( x  a ) 
 f ( x)dx

9.Valor Esperado
Seja x uma Variável Aleatória Discreta, defini-se valor esperado de x, representado
por E(x) como

E ( x )   xi p ( xi )
i 1
Se x for uma Variável Aleatória Continua

E ( x) 
 x . f ( x) dx

Propriedades do Valor Esperado
a) E(c)= c
onde c é uma constante
b) E(c.x) = c.E(x)
onde c é uma constante e x é uma Variável Aleatória
c) E(x + y) = E(x) + E(y)
onde x e y são Variáveis Aleatórias
10. Variância
Seja x uma Variável Aleatória (discreta ou continua), a variância de X é
V(x)
V ( x)  E[ x  E ( x)] 2
Com
V ( x)  E ( x 2 )  [ E ( x)] 2
Propriedades
a) V(c) = 0 onde c é uma constante
b) V(x + c) = V(x)
onde c é uma constante e x uma V A
2
c) V(c.x) = c V(x)
onde c é uma constante e x uma V A
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