exercitando - Instituto UFC Virtual

(Tóp. 9.2) APLICAÇÕES DA INTEGRAL INDEFINIDA 1
EXERCITANDO (Aula 09 -Tóp.2)
1. Um carro em movimento retilíneo atingiu a velocidade de 80 km h , se a partir desse instante
ele foi freado à razão de 240 km h 2 , calcule o tempo necessário para ele parar e a distância
que ele ainda percorrerá.
2. Um bloco de gelo com 5 kg deve deslizar sobre uma superfície plana horizontal com 12 m de
comprimento, se o bloco é constantemente freado pela força de atrito da superfície que é de
2 N (newtons ou kg m s 2 ), determine a velocidade inicial do bloco para que ele atinja a
extremidade da superfície em 10 s.
3. Um carro em movimento retilíneo partiu de um ponto, à razão de t - 2e- t m s 2 . Encontre sua
velocidade após 10 s e a distância percorrida até esse instante.
4. Se uma partícula, em movimento retilíneo, tem aceleração dada por (cos s)e  sen s  3s 2 onde
s é o espaço percorrido no tempo t, encontre sua velocidade no tempo t, sabendo-se que
v(0)  s(0)  0.
5. Um carro com m kg está com uma velocidade de v 0 km h . Num determinado instante, seu
freio é acionado, sabendo-se que a força de atrito do solo é de F0 N , ache a distância
percorrida pelo carro até ele parar.
6. Uma partícula cai de uma altura de 500 m, calcule a velocidade de impacto com o solo.
7. Uma partícula se encontra a uma altura de 300 m, com que velocidade ela atinge o solo se for
lançada verticalmente para:
(a) Cima com a velocidade de 30 m s;
(b) Baixo com a velocidade de
30 m s.
8. Um balão está subindo verticalmente com velocidade de 20 m s e um objeto é solto dele e
atinge o solo após 1 minuto. Ache a altura do balão no momento em que o objeto foi solto.
9. Se o balão do problema anterior estivesse caindo numa razão de 20 m s , determine o tempo
em que o objeto atingiria o solo.
10. Um objeto é lançado verticalmente para cima e alcança 35 m em 1 s, encontre a velocidade
inicial do objeto e a altura máxima alcançada.
11. Uma partícula é lançada verticalmente para baixo, com velocidade de v m s e a s m do
solo. Calcule a sua velocidade no momento em que ele atinge o solo.
12. Quando um bloco desliza sobre um plano formando a inclinação  com a horizontal, há três
forças atuando nele: o seu peso P e as forças normal N e tangencial de atrito f exercidas
sobre ele pela superfície do plano. Verifica-se experimentalmente que f é proporcionalmente
constante a N, esse fator de proporcionalidade  é chamado de coeficiente de atrito. Calcule
a distância percorrida por um bloco num plano inclinado, com velocidade inicial de
2 (Aula 09) INTEGRAL INDEFINIDA E APLICAÇÕES
v m s; onde supõe-se que as unidades das grandezas envolvidas no problema sejam
compatíveis.
13. Uma substância S evapora-se numa razão proporcional a quantidade existente em cada
instante. Se um quinto do volume de S leva 30 minutos para se evaporar e 5 cm 3 se
evaporou em 10 minutos, determine a quantidade que havia no início da evaporação.
14. Seja um circuito com 16 amperes de intensidade de corrente, contendo indutor e resistor. Se a
fem é retirada e 25% da intensidade de corrente cai em 0,05 segundos, encontre a queda de
corrente em 0,2 segundos.
15. Num recipiente existe 60 cm 3 de uma solução com 10 gramas de uma substância dissolvida.
Supondo que se deseja diminuir a concentração da solução, adicionando mais solvente no
recipiente com uma razão 4 cm3 min ., calcule:
(a) O tempo necessário para que haja apenas 5 gramas da substância na solução, se à medida
que o solvente vai sendo adicionado no recipiente, a mistura se mantém homogênea e com
a mesma rapidez a mistura é retirada do recipiente;
(b) O tempo do item (a), mas se a mistura é retirada na razão de 2 cm 3 min.
16. Suponha que a partícula do exemplo proposto 1 do tópico 2 desta aula é lançada do solo e
descreve uma trajetória plana, estabelecendo que o ponto de lançamento é a origem de um
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, mostre que o movimento é dado pelas equações
e
my"(t)  gm
mx"(t)  g.0 , assim as equações paramétricas da trajetória são
y   12 gt 2   vo sen   t e x   vo cos   t onde  é a medida do ângulo na direção do
lançamento e a horizontal.
17. Se uma partícula de massa m caí apenas atraída pela força gravitacional da Terra, mostre que
m r"(t)  gm
 Rr 
2
onde r é a distância da partícula ao centro da Terra (considerando que a
Terra é pensada com a sua massa M concentrada em seu centro) e R é o raio da Terra, assim
[r '(t)]2  2gR 2

1
r
 r1
o

onde r  ro e r '(0)  0. Mostre também que o tempo necessário para
a partícula atingir a superfície da Terra é t 
ro
2gR 2




 
 1  ro 
 ro  1 R  2o arcsen  2R
r
4
r

o


onde r  ro se t  0.
18. Um corpo de massa m está suspenso por uma mola presa na extremidade superior e está em
repouso, fazendo um deslocamento vertical y o do corpo e soltando-o com velocidade inicial
v o na vertical, além disso, suponha que a força exercida pela mola atua ao longo de uma reta
vertical contendo o centro de gravidade do corpo e é dirigida do corpo para o ponto de
repouso, também que o módulo da força em cada instante t é proporcional a diferença do
comprimento da mola no tempo t pelo comprimento se o corpo está em repouso (a constante
de proporcionalidade é dita a constante de distensão da mola). Desconsiderando quaisquer
outras forças atuando no corpo, mostre que o seu movimento é dado por my"(t)  gky onde
k é a constante de distensão da mola, y '  vo e y  yo se t  0. Ache a solução do
problema.
(Tóp. 9.2) APLICAÇÕES DA INTEGRAL INDEFINIDA 3
19. Considere a vibração do corpo do exercício 18, supondo que o movimento ocorre num fluido,
então o fluido vai retardar o movimento do corpo. Supondo que a força amortecedora do
movimento é proporcional à velocidade do corpo e com sentido oposto, mostre que a equação
do movimento é my"(t)  g  ky  cy '  onde c é a constante de proporcionalidade. Estude o
movimento do corpo de acordo com   ,    e   , onde 2m  cg e m2  gk,
chamados de movimentos oscilatório, criticamente amortecido e superamortecido,
respectivamente.
20. Seja um cabo flexível e inesticável, suspenso em suas extremidades P e Q, considere o cabo
em repouso e apenas sob a força de gravidade. Considere ainda um sistema de coordenadas
cartesianas XY com o eixo Y perpendicular a curva PQ formada pelo cabo suspenso no ponto
de mínimo M da curva. Seja R(x, y) um ponto qualquer da curva PQ, então o arco da
curva MR está sob à ação da força de tração T em R, a tração H em M e a carga vertical
C sobre MR. Considere que a carga C sobre MR decorre do peso do cabo e outros pesos
suportados pelo cabo, assim C 
x
0 (t)dt
onde (t) é a taxa de carregamento (isto é, o
peso por unidade de comprimento). A tração T e a força horizontal H são tangentes à curva
em R e M, respectivamente. Então T cos  e T sen  são as componentes horizontal e
vertical de T, assim como o arco MR está em equilíbrio, tem-se T cos   H  0 e
T sen   C  0. Mostre que a equação da curva PQ é dada pela equação y" H1 C'  0.
21. Suponha que um cabo suspenso tem peso desprezível suportando uma estrada uniforme (ou
seja, a taxa de carregamento é constante), mostre que a curva determinada pelo cabo é a
 2
x  yo onde M  0, yo  .
parábola y  2H
22. Se um cabo suspenso de peso desprezível tem seção reta uniforme e a única carga sobre ele é
decorrente do seu peso, então a taxa de variação do peso por unidade de comprimento do arco
é constante, assim mostre que y  e
ax  e ax
2a
onde a  Hc e c  C'.
23. Num circuito fechado uma força eletromotriz V origina um fluxo elétrico de indutância L
contra uma resistência R, armazenando uma carga eletrostática num capacitor C. Use a lei de
Kirchoff(1) (isto é, a soma algébrica das quedas das fem no circuito fechado é nula) para
mostrar que LI'(t)  RI(t)  C1 Q(t)  V(t), assim LQ"(t)  RQ'(t)  C1 Q(t)  V(t). ou
LI"(t)  RI'(t)  C1 I(t)  V '(t) .
24. Mostre a equação RI  V  L dI
dt
do exemplo resolvido 1 do tópico 2 desta aula, quando o
circuito não tem capacitor.
RESPOSTAS (Exercícios ímpares)
25v02 m
metros;
1. 20 min. e 40 km; 3. 48  2e 10 m s e 446  2e 10 m; 5.
648F0
3
3
7. (a) 10 69 m s, (b) 10 69 m s;
(1)
9. 56 s;
Gustav Robert Kirchoff (1824-1887), físico alemão.
11.
2gs  v2; 13.
53 5 cm3 ;
3
5 3 4
4 (Aula 09) INTEGRAL INDEFINIDA E APLICAÇÕES
15. (a) 15n2 minutos, (b) 30 minutos.