universidade de são paulo

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE FÍSICA
MECÂNICA I - FMT 305 - 1° SEMESTRE DE 2003
período noturno
2o Trabalho Extra-Classe (peso 2)
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questões sobre partícula sujeita à força que varia só com a velocidade, ou só com a posição e sistema
de massa variável
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Data limite para entrega: 21 de março de 2003 - 21h20min
(40%) Questão 1 O movimento de uma partícula carregada num campo eletromagnético
pode ser obtido a partir da força de Lorentz que atua sobre ela. Se o campo elétrico e


magnético são dados respectivamente pelos vetores E e B , a força sobre uma partícula

de massa m e carga q que tem a velocidade v é dada por :


 
F  qE  qv  B
sendo v<<c (c é a velocidade da luz).
(a) (1,0) Se não há um campo elétrico e se a partícula entra no campo magnético (de
módulo constante) na direção perpendicularmente às linhas do fluxo magnético,
mostre que a trajetória é uma circunferência e que tem raio r dado por:
r
mv
v

qB wc
qB
é chamada de a freqüência ciclotron.
m



(b) (2,5) Escolha B na direção do eizo z e defina o plano E e B como o plano (y,z) de forma
onde wc 
que (sendo Ey e Ex são constantes e uniformes):


B  Bk
e



E  E y j  Ez k
Mostre que a componente z do movimento é dada pela relação:
qE
z( t )  z 0  z 0 ( t )  z t 2
2m
onde z(0) = z0 e z(0)  z0 .
(c) (3,0) Obtenha as expressões para as componentes x e y da velocidade x (t ) e y (t ) .
Mostre que as médias temporais dessas componentes de velocidade são:
Ey
 x 
,  y  0
B
(Mostre que o movimento é periódico e então faça a média num período)
1
(d) (3,5) Mostre que nas condições iniciais:
x ( 0) 
E
A
, x (0) 
, y (0)  0 e y (0)  A
B
wc
valem as equações:
x(t ) 
Ey
A
cos wc t 
t
wc
B
e
y (t ) 
A
sen wc t
wc
(35%) Questão 2 Uma partícula de massa m se move num poço de potencial (em
mecânica "poço de potencial" significa energia potencial) dado por
V x   
Vo a 2 a 2  x 2 
8a 4  x 4 
(a, Vo constantes > 0).
(a) (2,0) Faça um esboço de V(x) e F(x).
(b) (3,5) Discuta qualitativamente os possíveis movimentos de uma partícula sujeita a este
poço de potencial, apontando explicitamente em que intervalos de energia cada um
deles se dá, e quais as posições que pode ocupar em cada um dos movimentos
possíveis.
(c) (2,0) Calcule a freqüência para o movimento de pequenas oscilações em torno do(s)
ponto(s) de equilíbrio estável(eis).
(d) (2,5) Uma partícula começa a se mover a uma grande distância do poço de potencial
com velocidade v0, em direção a ele. Ao passar pelo ponto x = a sofre uma colisão na
qual perde uma fração  de energia cinética inicial. Calcule:
(d1) o valor mínimo de  para que a partícula fique presa no poço.
(d2) o valor mínimo de  para que fique presa em um lado do poço.
(d3) Calcule os pontos de retorno supondo  = 1.
(25%) Questão 3 Um trem com vagões abertos está se movendo ao longo de uma via
férrea. O coeficiente de atrito entre as rodas e a via é . Durante uma tempestade a chuva
aumenta a massa total do trem numa razão constante dm dt  R . Se a massa inicial do
trem é mo , quanta potência a locomotiva deverá desenvolver de maneira a conservar o
trem movendo-se com uma velocidade constante vo ? Qual seria o resultado se a força de
atrito pudesse ser desprezada?
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