Matéria a ser estudada - Integral Paulínia – 2ª Série EM

Projeto de Recuperação 2ª série – 1º Sem/2011
MATEMÁTICA 1 e MATEMÁTICA 2
MATEMÁTICA 1
Objetivo:
Recuperar conteúdo matemático ministrado no primeiro semestre.
Matéria a ser estudada:
Aulas
Volume 1
Aulas
Volume 2
1
Matrizes: definição / classificação
17
Sistemas lineares: definições e soluções.
3
Matrizes: multiplicação
18
Sistemas equivalentes, método de Cramer
4
Matrizes: exercícios
20
O método de Cramer – Discursão de Sistemas 2x2
5
Determinante de ordem 2
23
Discussão de Sistemas 3x3
6
Determinante de ordem 3
25
Sistemas-Problemas
7
Teorema de La place
26
Sistemas-Problemas
8
Exercícios
15
Matriz inversa
16
Exercícios gerais
Estratégia:
Fazer e entregar lista de exercícios que estará disponível na monitoria e freqüentar plantões de dúvida.
AVALIAÇÃO
Será uma prova dissertativa valendo 80%, e uma lista de exercícios valendo 20%.
O aluno deverá entregar a Lista de Exercícios (com as resoluções) no dia da inscrição.
LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Sendo:
o determinante de B é igual a
a) 
1
4
b)
1
4
c)
3
4
d) 4
e) -4
y x
y  4 6 
x



 , quanto valem x e y, respectivamente?
2 x 3 y  2 x 3 y  8 18
2) Na equação 
a)
b)
c)
d)
e)
4e1
2 e -3
2e3
1e1
0e3
1 1
2
 , qual é a soma da diagonal principal da matriz A ?
0
1


3) Sendo A = 
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
1
4) Quanto vale x na equação
a) -3
b) -4
c) 0
2 x 3
d) 1
4
4
 4?
e) 2
3 2 5
5) Calcule o valor do determinante 0
1 3:
0 0 4
a) 10
b) 11
c) 8
d) 0
e) 12
3x  3 y  3
, quanto vale 2x + y?
2 x  5 y  9
6) Resolvendo o sistema 
a) 5 b) 6
c) 7 d) 8
e) 9
2 x  y  z  3

7) Resolvendo o sistema  y  z  2
, qual o valor de x?
4 z  8

a) 5,5
b) 5
c) 4,5
d) 4
e) 3,5
8) A soma de todos os elementos da matriz A = (aij)2x2, onde aij = 3i– 2j -1, é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
9) Se A  
x
z
y
1 2
t
,B  

 e A = -B, então qual é o valor de z?
t
3
5


a) -1
c) -3
b) -2
d) -5
e) 0
10) Se o termo geral de uma matriz 2x2 é aij = 3i – 2j, qual é o determinante dessa matriz?
a) 4 b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
mx  y  2
não seja determinado?
3x  y  0
11) Qual o valor de m para que o sistema 
a) -5
b) -6
c) -4
d) 3
e) 2
12) O sistema :
3x  y  2

11x  4y  3
tem a solução:
a) x = 5, y = 3.
b) x = -5, y = 13.
c) x = 5, y = -13.
d) x =-5, y = -13.
e) x = 2, y = -13.
13) Numa lanchonete, 2 copos de refrigerante e 3 coxinhas custam R$ 5,70. O preço de 3 copos de
refrigerante e 5 coxinhas é R$ 9,30 Nessas condições, é verdade que cada copo de refrigerante custa
a) R$ 0,70 a menos que cada coxinha.
b) R$ 0,80 a menos que cada coxinha.
c) R$ 0,90 a menos que cada coxinha.
d) R$ 0,80 a mais que cada coxinha.
e) R$ 0,90 a mais que cada coxinha.
14)O termo geral da matriz M2x 2 é aij = 3i - 2j. O valor do determinante de M é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
e) 6
15) (Pucmg 1997) M é uma matriz quadrada de ordem 3, e seu determinante é det(M)=2. O valor da
2
expressão det(M)+det(2M)+det(3M) é:
a) 12
b) 15
c) 36
d) 54
e) 72
16. (Ufrs 1997) O sistema linear
x  y  1

4x  my  2
é possível e determinado se e somente se
a) m = 2
b) m = 4
c) m ≠ -4
d) m ≠ 1
e) 4m = 1
17) Num bar paga-se R$ 5,80 por 5 pastéis e 3 copos de refrigerante. No mesmo local, 3 pastéis e 2
copos de refrigerante custam R$ 3,60. Nesse caso, cada copo de refrigerante custa
a) R$ 0,70.
b) R$ 0,50.
c) R$ 0,30 a menos do que o preço de cada pastel.
d) R$ 0,20 a mais do que o preço de cada pastel.
e) R$ 0,20 a menos do que o preço de cada pastel.
18) O valor de "a" tal que no sistema
2x  3y  z  3

 x  y  az  1
x  y  z  5

se tenha z = 3 é:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
19)Ache os valores de a e b para que o sistema
2x  3y  6

ax  5y  b
tenha mais do que uma solução.
20)Dadas as matrizes mostradas na figura adiante
o determinante da matriz A . B é :
a) -1.
b) 6.
c) 10.
d) 12.
e) 14.
21) Considere o seguinte problema: Determinar dois números inteiros tais que a diferença entre seus
dobros seja igual a 4 e a soma de seus triplos seja igual a 9. Esse problema pode ser resolvido por meio
do sistema de equações.
2x  2y  43

 x  3y  9
e a conclusão correta a que se chega é que esse problema
a) não admite soluções.
b) admite infinitas soluções.
c) admite uma única solução, com valores de x e y menores que 5.
d) admite uma única solução, com valores de x e y compreendidos entre 5 e 10.
e) admite uma única solução, com valores de x e y maiores que 10.
3
22) A solução do sistema de equações lineares representado abaixo é:
 x  2y  2z  1

 x  2z  3
y  z  1

a) x = -5, y = -2 e z = -1.
e) x = 5, y = 2 e z = 1.
b) x = -5, y = -2 e z = 1.
c) x = -5, y = 2 e z = 1.
d) x = 5, y = 2 e z = -1.
23) O valor de Y no sistema de equações
 x  5z  2

3x  y  5z  3
4x  4y  3z   4

é:
a) 4
b) 5
c) 1
d) 2
e) 3
24)Se A = (aij) é uma matriz quadrada de terceira ordem tal que
aij = -3, se i = j
aij = 0, se i ≠ j
então o determinante de A vale:
a) -27 b) 27
c) 1/27
d) -1/27
e) zero
25)Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A)=3 e se k é um número real tal que det(kA)=192,
então o valor de k é
a) 4 b) 8
c) 32
d) 64
e) 96
26)Se o sistema linear
3x  5y  12

4x  7y  19
for resolvido pela Regra de Cramer, o valor de x será dado por uma fração cujo denominador vale:
a) 41
b) 179
c) -179 d) 9
e) -9
27)Resolvendo o sistema a seguir, obtém-se para z o valor:
x  y  z  0

2x  y  2z  1
6y  3z   12

a) - 3
b) - 2
c) 0
d) 2
e) 3
28)Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante maior que zero e A-1 a sua inversa. Se
16 . det A-1 = det (2A), então o determinante de A vale:
a) 4 b) 6
c) 8
d) 2
e) 16
29) O sistema linear
5x  y  z  0

 x  y  z  1
3x  y  z  2

é:
a) Homogêneo e indeterminado. b) Impossível e indeterminado.
d) Impossível e determinado.
e) Possível e indeterminado.
c) Possível e determinado.
4
30) O valor de a para que a igualdade matricial seja verdadeira é:
a) 1
b) 2
c) 0
d) -2
e) -1
31) Considere as matrizes
É CORRETO afirmar que o valor do determinante da matriz AB é:
a) 32
b) 44
c) 51
d) 63
32) Numa determinada livraria, a soma dos preços de aquisição de dois lápis e um estojo é R$ 10,00. O
preço do estojo é R$ 5,00 mais barato que o preço de três lápis. A soma dos preços de aquisição de um
estojo e de um lápis é
a) R$ 3,00. b) R$ 4,00. c) R$ 6,00. d) R$ 7,00. e) R$ 12,00.
33) Resolvendo o sistema de equações lineares:
3x  y  2z  7

2x  3y  z   1
 x  2y  z  2,

encontramos y igual a:
a) 1. b) 3. c) 5. d) 2.
e) 4.
aij  10,se i  j
bij  3,se i  j
e B = (bij)3x3 tal que 
, o valor de
 aij  0,se i  j
bij  0,se i  j
34)Dadas as matrizes A = (aij)3x3 tal que 
det(AB) é
a) 27 x 103
b) 9 x 103
c) 27 x 102
d) 32 x 102
e) 27 x 104
35) Resolva o sistema linear
2x  3y  z  11

x  y  z  6
5x  2y  3z  18

36) Se o sistema linear a seguir, é impossível,
5
ax  y  z  1

 x  2y  3z  0
2x  y  3z  2

então:
a) a = 0
b) a =
14
3
c) a =
3
4
 0 1
d) a = 1
e) a = 28
4 5
37)Observe que se A = 
 e B =  6 7  , então A.B é a matriz
2 3 


0
5
6
7
a) 

12 21
b) 

26 31
 6 26 
c) 

7 31
0 12 
d) 

5 21
0
0
e) 

12 14 
38) Se,
 x  4z   7

 x  3y   8
y  z  1

Então, x + y + z é igual a :
a) -2 b) -1 c) 0
d) 1
e) 2
39)A solução do sistema a seguir nas variáveis x e y, é o par ordenado (-1, 2). Nessas condições o valor
a + b é:
ax  by  5

x  y  a
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
40)Para que o determinante da matriz :
seja nulo, o valor de a deve ser:
a) 2 ou -2 b) 1 ou 3
c) -3 ou 5
d) -5 ou 3
e) 4 ou -4
Gabarito:
1)E 2)C 3)A 4)B 5)E 6)A 7)C 8)E 9)B 10)C 11) D 12) C 13)C 14)E 15)E 16)C 17)E 18)D 19) a =
10/3 b = 10 20)E 21)A 22)E 23)E 24)A 25)A 26)A 27)D 28)D 29)E 30)B 31)B 32)D 33)D 34)A 35) x = 1
y = 2 z = 3 36)B 37)B 38)E 39)D 40)A
6
MATEMÁTICA 2
Objetivo:

Recuperar notas e conteúdos de trigonometria, necessários para o desenvolvimento do raciocínio matemático.
Matéria a ser estudada:


Caderno 1 – Aulas 1 à 16
Caderno 2 – Aulas 17 à 25
Estratégias:



Estudar os tópicos de teoria das aulas indicadas acima. Refazer os exercícios de classe feitos pelo professor na
ocasião das aulas.
Freqüentar plantões de dúvidas.
Fazer e entregar os exercícios da lista abaixo (com resolução) no dia da inscrição.
Lista para entrega:
1. O menor valor de 1/ (3-cos x), com x real, é:
a) 1/6. b) 1/4. c) 1/2. d) 1. e) 3.
2. Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.
Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120 cm e os raios PA e QB medem, respectivamente,
25cm e 52cm.
De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor:
a) 10°
b) 11°
c) 12°
d) 13°
e) 14°
3. O conjunto solução da equação 2cos2x + cosx - 1 = 0, no universo U = [0, 2π], é
a) {π/3, π, 5π/3}
b) {π/6, π, 5π/6}
c) {π/3, π/6, π}
d) {π/6, π/3, π, 2π/3, 5π/3}
e) {π/3, 2π/3, π, 4π/3, 5π/3, 2π}
4. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 e o ângulo A B C mede 60°. A soma das medidas dos catetos
vale:
a) 15(1 +
15
4
c) 15(1 +
3
)
4
b)
3)
7
15
2
15(1  3)
e)
2
d)
5. Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um ponto A até um ponto B,
diametralmente opostos, conforme a figura.
O menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento, em metros, igual a:
a) .
b) .
c) .
d)
e)
.
.
6. Se sen x = 4/5 e tg x < 0, então tg 2x vale:
a) 24/7. b) - 24/7. c) - 8/3. d) 8/3. e) - 4/3.
7. Se tgx = 5 , então sen2x é igual a:
1
a) .
6
1
b) .
5
3
.
4
3
d) .
5
5
e) .
6
c)
8. Se s = sen(x), 5s2 + s - 4 = 0 e 0 ≤ x ≤ π/2 então:
a) x = 0
b) 0 < x < π/4
c) 0 < x < π/6 d) x = π/2
e) π/4 < x < π/2
9. Se x - y = 60°, então o valor de (senx + seny)2 + (cosx + cosy) 2 é igual a
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
10. Se cosx = 0,8 e 0 < x < π/2 então o valor de sen2x é:
a) 0,6 b) 0,8 c) 0,96 d) 0,36 e) 0,49
11. Considere os ângulos α, β e γ conforme representados no círculo.
8
Pode-se afirmar que:
a) cos α < cos β
b) cos γ > cos α
c) sen α > sen β
d) sen β < cos γ
e) cos β < cos γ
12. Calculando-se o valor da expressão mostrada na figura a seguir
obtém-se
a)
 2
6
b)
 3
3
c) -
 2
6
d) - 3
 2
2
e) - 2
 3
3
13. Em [0, 2π], a soma das raízes da equação ( 1  cos2 x ) + sen x = 1 é: a) 3 π b) 2 π c) 4 π d) 0 e) π
14. A função real definida por f(x) = k . cos(px), k > 0 e p ∈ IR tem período 7π e conjunto imagem [-7, 7]. Então, k .
p vale:
a) 7 b) 7/2 c) 2 d) 2/7 e) 14
15. Um ângulo do segundo quadrante tem seno igual a 12/13. O cosseno desse ângulo é igual a:
a) 5/13.
b) 1/13.
c) - 5/13.
d) - 1/13.
e) - 12/13.
16. Em uma rua plana, uma torre AT é vista por dois observadores X e Y sob ângulos de 30° e 60° com a
horizontal, como mostra a figura a seguir.
Se a distância entre os observadores é de 40m, qual é aproximadamente a altura da torre?(Se necessário, utilize
2 =1,4 e
3 =1,7).
9
a) 30 m b) 32 m c) 34 m d) 36 m e) 38 m
17. Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura adiante.
Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um
ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B,
para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°?
a) 150 b) 180 c) 270 d) 300 e) 310
18. Se x é a medida de um ângulo em radianos e
π/2 < x < 3π/4, então
a) cos x > 0. b) cos 2x < 0.
c) tgx > 0. d) sen x < 0.
e) sen 2x > 0.
19. Se k é um número real tal que sen x = k, então
a) k ≠ 1
b) k ≥ 1
c) sen (2π - x) = k d) cos (- x) = - k
e) cos 2x = 1 - 2k2
20. Os vértices de um triângulo ABC, no plano cartesiano, são: A = (1, 0), B = (0, 1) e C = (0, 3 ). Então, o ângulo
BÂC mede:
a) 60° b) 45° c) 30° d) 18° e) 15°
21. Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60 quilômetros de
A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a
rota, fazendo um giro de 120° à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que
deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura.
Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião voou partindo de A até chegar a B é
a) 30 3 . b) 40 3 . c) 60 3 .
d) 80 3 . e) 90 3 .
22. Se o ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 centímetros, o número que melhor aproxima a distância em
centímetros percorrida por sua extremidade em 20 minutos é: (considere π=3,14)
a) 37,7 cm. b) 25,1 cm. c) 20 cm.
d) 12 cm. e) 3,14 cm.
23. A diferença entre o maior e o menor valor de θ ∈ [0, 2π] na equação 2sen2θ + 3senθ = 2, é
a) π/3 b) 2π/3 c) 4π/3 d) 5π/3 e) 7π/3
24. Se x é um arco do 30. quadrante e cosx = -4/5, então cossecx é igual a
a) -5/3 b) -3/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 5/3
25. Avalie:
10
I) cos 225° < cos 215°
II) tg (5π/12) > sen (5π/12)
III) sen 160° > sen 172°
Das afirmações acima:
a) todas são verdadeiras.
b) todas são falsas.
c) somente II e III são verdadeiras.
d) somente II é verdadeira.
e) somente I e II são verdadeiras.
26. No intervalo [0, 2π], a equação trigonométrica
sen 2x = sen x tem raízes cuja soma vale:
a) π
b) 2π
c) 3π
d) 4π
e) 5π
27. Um veículo percorre uma pista circular de raio 300 m, com velocidade constante de 10 m/s, durante um
minuto. Dentre os valores abaixo, o mais próximo da medida, em graus, do arco percorrido é:
a) 90 b) 115 c) 145 d) 75 e) 170
28. Se
e
então:
a) x = 0
b) x = 7π/6
c) x = 7π/4
d) x = 5π/4
e) x = 11π/6
29. O gráfico em setores do círculo de centro O representa a distribuição das idades entre os eleitores de uma
 5π 
 cm.
 3 
cidade. O diâmetro AB mede 10 cm e o comprimento do menor arco AC é 
O setor x representa todos os 8000 eleitores com menos de 18 anos, e o setor y representa os eleitores com idade
entre 18 e 30 anos, cujo número é
a)12000 b)14800 c)16000 d)18000 e)20800
30. Ao descrever o tipo de salto de uma ginasta, um entendido a ele referiu: "Era como se seus dedos dos pés
descrevessem no espaço um arco de circunferência de 124 cm de comprimento." Considerando que cada perna
dessa ginasta, juntamente com seu pé esticado, estejam em linha reta e perfazem 60 cm, o cosseno do ângulo de
abertura de suas pernas era
(Use: π = 3,1)
a) -1 d) -1/2 e) 1/2
31. Considere a função f(x) = 2 - [(3 cos4x)/4]. Os valores máximo e mínimo de f (x) são, respectivamente:
a) 1 e -1 b) 1 e 0 c) 2 e - 3/4
d) 2 e 0 e) 2 e 5/4
32. Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura.
11
A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do
"monstro", em cm, é:
a) π - 1. b) π + 1.c) 2π - 1. d) 2π.
e) 2π + 1.
33. O número de raízes reais da equação (1/2) + cossecx = 0 é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) maior do que 3.
34. Quando resolvida no intervalo
apresenta soluções é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
, o número de quadrantes nos quais a desigualdade
35. Se x é a medida de um arco do primeiro quadrante e se sen x = 3 cos x, então sen (2x) é igual a
a)
5
3
1 5
3
4
. b) . c)
. d)
. e)
.
5
2
5
5
5
36. Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3 graus a uma velocidade constante de 4
metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é 30 m.
Use a aproximação sen 3° = 0,05 e responda. O tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer
completamente a rampa é
a) 2,5. b) 7,5. c) 10. d) 15. e) 30.
37. Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de
altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais
π
radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado
3
4 metros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de β radianos, com tg β = 3 3 .
alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e o solo foi de α =
É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é
a) 4 3 b) 5 3 c) 6 3 d) 7 3
12
e) 8 3
38. Para representar as localizações de pontos estratégicos de um acampamento em construção, foi usado um
sistema de eixos cartesianos ortogonais, conforme mostra a figura a seguir, em que os pontos F e M representam
os locais onde serão construídos os respectivos dormitórios feminino e masculino e R, o refeitório.
Se o escritório da Coordenação do acampamento deverá ser equidistante dos dormitórios feminino e masculino e,
no sistema, sua representação é um ponto pertencente ao eixo das abscissas, quantos metros ele distará do
refeitório?
a) 10 3 b) 10 c) 9 3 d) 9 e) 8 3
39. Sabendo que
, a expressão
é equivalente a:
a)
b)
c)
d)
e)
(Dica: utilize
)
40. Da trigonometria sabe-se que quaisquer que sejam os números reais p e q,
p  q
p  q
.cos 


 2 
 2 
sen p + sen q = 2.sen 
Logo, a expressão cos x . sen 9x é idêntica a:
a) sen 10x + sen 8x.
b) 2. (sen 6x + sen 2x).
c) 2. (sen 10x + sen 8x).
1
. (sen 6x + sen 2x).
2
1
e) . (sen 10x + sen 8x).
2
d)
GABARITO
1-B 2-D 3-A 4-E 5-A 6-A 7-E 8-E 9-D 10-C
11-E 12-D 13-E 14-C 15-C 16-C 17-C 18-B 19-E 20-E 21-C 22-B 23-B 24-A 25-C
26-E 27-B 28-D 29-C 30-D 31-E 32-E 33-A 34-E 35-B 36-A 37-C 38-B 39-A 40-E
13