doc - Plato

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE FÍSICA
MECÂNICA I - FMT 305 - 1° SEMESTRE DE 2004
período diurno
profa. Mazé Bechara
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TÓPICO II. OSCILAÇÕES NA MECÂNICA CLÁSSICA
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tempo previsto: ~ três semanas
II.1 O movimento harmônico simples unidimensional. Conceito de espaço de fase e
seu diagrama.
II.2 Oscilações harmônicas bidimensionais.
II.3 Movimentos harmônicos amortecidos unidimensionais. O diagrama no espaço de
fase.
II.4 Oscilador forçado cossenoidal. O fenômeno de ressonância.
II.5 O princípio de superposição e forças arbitrárias em sistemas oscilantes
unidimensionais - série e integral de Fourier.
II.6 A resposta de um oscilador a uma força impulsiva. O método de Green para uma
força arbitrária unidimensional.
II.7 Noções sobre movimentos não lineares e sobre movimentos caóticos na física
clássica.
REFERÊNCIAS:
1. Jerry B. Marion e Stephen T. Thornton (M&T) em “Classical Dynamics of Particles
and Systems” da “Saunders College Publishing”, 4a. edição; Caps. 3 e parte do 4
e/ou
2. Keith R. Symon (S) em “Mecânica” da Editora Campus; Cap.2, Seções 2.7 a 2.11,
3.9 e 3.10;
3. Kazunori Watari - Mecânica clássica. vol. 1, Cap. 2.
outros textos:
3. T. B. Kibble; “Mecânica Clássica”.
4. H. Goldestein; “Classical Mechanics”.
Obs. importante: as questões que seguem são o mínimo que os
estudantes devem trabalhar para ter um certo domínio do assunto. Outras
questões estão no final dos capítulos indicados dos textos.
Mecânica I – Lista tópico II
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QUESTÕES REFERENTES AO TÓPICO II
Questão 1.
Uma mola com constante k e massa negligenciáveis tem uma extremidade fixa
no ponto A, em um plano inclinado de ângulo  e uma massa m à outra
extremidade, como indicado na figura ao lado.
Admita que a massa m é puxada para baixo
a uma distancia x0 abaixo da
posição de equilíbrio e então é solta. Nessas
condições, ache o deslocamento da posição de
equilíbrio em um instante t qualquer para os
seguintes casos:
(a) quando não há atrito entre o plano e o corpo,
(b) quando há atrito com coeficiente de fricção .
Questão 2.
Uma mola vertical de constante elástica k, tem
um suporte em sua extremidade superior com
um peso W em cima, como mostra a figura
ao lado. Determinar a maior freqüência com a
qual a mola pode oscilar, tal que o peso ainda
permaneça encostado no suporte.
Questão 3.
Uma partícula sujeita a uma força de restituição linear é submetida a uma
outra força F t   F0 cos t   , na mesma direção que a força elástica. A
partícula parte do repouso no instante t=0..
(a) Escreva a equação do movimento da partícula.
(b) No caso particular em que a freqüência da força que provoca as oscilações
do sistema coincide com as freqüência própria do mesmo, mostre que a
amplitude das oscilações cresce linearmente com o tempo.
Questão 4.
Um anel de massa m é forçado a mover-se em um fio sem atrito na forma de
um cicloide (veja figura abaixo) cujas equações paramétricas são :
x  a  sin 
y  acos   1 , onde x e y estão em um plano vertical. Se
o anel parte de repouso no ponto O:
(a) Ache o módulo da velocidade no ponto inferior da trajetória.
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Mecânica I – Lista tópico II
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(b) Mostre que o anel oscila com um período equivalente ao do pêndulo de
comprimento 4a.
Questão 5.
Uma partícula move-se em um movimento harmônico simples, ao longo do eixo
x. Nos instantes T0, 2T0 e 3T0 ela está em x = a, b e c, respectivamente. Prove
que o período de oscilação é T 
4T0
.
1  a  c 
cos 

 2b 
Questão 6.
(a) Determine, usando o princípio de superposição, o movimento de um
b
1
   0 , onde  
oscilador subamortecido com
(coeficiente de
3
2m
k
amortecimento) e o 
(freqüência natural do oscilador), inicialmente
m
em
repouso
e
submetido
após
t=0
à
ação
da
força
F  Asen( 0 t )  sen0 t ) .
(b) Qual deve ser a razão entre A e B para que as oscilações forçadas com
freqüência 30 tenham a mesma amplitude que as oscilações cuja
freqüência é 0?
3
Mecânica I – Lista tópico II
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Questão 7.
Um corpo de massa m está suspenso por uma mola de constante k. Supondo
que a força resistiva do ar é proporcional à velocidade do corpo, e que o
sistema é subamortecido, calcule o movimento do corpo, se no instante inicial
ele é deslodo de uma distancia d acima do ponto de equilíbrio e o e abandonado
com velocidade nula.
Questão 8.
A figura ao lado mostra a potência média como função da freqüência da força
externa que age sobre um oscilador
amortecido (massa m, freqüência natural 0 e
amortecimento  ). O valor do fator Q é tão
grande que a potência média, que é máxima
em 0 , se reduz à metade do valor máximo
para as freqüências 0,98 0 e 1,02 0.
(a) Qual é o valor numérico de  ?
(b) Se a força externa for removida mostre
que a energia média decresce de acordo com E  E0et . Qual é o valor de
?
(c) Qual é a fração de energia média perdida em um ciclo?

(d) Mostre que Q  0
2
Questão 9.
Uma partícula de massa m esta sujeita a uma força restauradora FR   kx ,
num meio viscoso ( Fv  bv ) com uma força externa dependente do tempo,
t 0
0
F t
dada por F t    0 a  t  T
, onde T e F0 são constantes. No instante
T

t T
 F0
t = 0, a partícula se encontra em repouso. Determine a amplitude de oscilação
da partícula.
Questão 10.
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Mecânica I – Lista tópico II
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Um oscilador não amortecido ( = 0), inicialmente em repouso (x0 = 0, v0 = 0),
t  t0
 0
 P0
t0  t  t0  t .
está sujeito a uma força: F t   

t

t  t0  t
 0
(a) ache a posição em x(t) em qualquer instante t.
(b) para um dado P0, para que valor  t a amplitude final é máxima?
(c) Mostre que quando  t  0 a solução x é:
0
t  t0

 P
x 0
sen  o t  t0  
t  t0
 m0
Questão 11.
Determine, pelo método de Fourier, a solução estacionária para um oscilador
1


0
se
nT

t

n


T

2



harmônico sujeito à força F ( t )  
, onde n é
1


F
se  n   T  t  n  1T
 0
2

um inteiro e T = 6 /0 e 0 é a freqüência natural do oscilador. Mostre que se
 << 0, o movimento é aproximadamente senoidal com período T/3.
Questão 12.
Determine usando a série de Fourier, o estado estacionário de um oscilador
harmônico sem amortecimento, sujeito a ação da força que tem a forma de uma
onda senoidal retificada: F ( t )  F0 sen 0t , onde 0 é a freqüência natural do
oscilador.
Questão 13.
Considere um oscilador harmônico amortecido com 0 >  com as condições
iniciais x( 0 )  xo e ( dx dt )o  vo , sujeito a uma força F ( t )  Fo cos 3 ( t ) .
Determinar x(t) usando o método de Fourier.
Questão 14.
Determine x(t) para um oscilador harmônico superamortecido para os casos:
(a) Com as condições iniciais x0   x( 0 )  0 , e sujeito a uma força impulsiva
cujo momento transmitido é p0.
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Mecânica I – Lista tópico II
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(b) Com as mesmas condições iniciais e usando os resultados do item anterior,
determinar x(t) pelo método de Green, sabendo-se que o oscilador está
sujeito a uma força F(t).
(c) Usando também o método de Green, com as mesmas condições iniciais,
mas com a força aplicada dada por F t   F0 e  t .
Questão 15.
A força F t   F0 ( 1  e  t ) age sobre um oscilador harmônico que está em
repouso em t = 0. A massa é m, a constante da mola e k = 4ma2 e b = ma.
Determine o movimento usando o método de Green . Considere os três casos
de amortecimento. O que acontece se as condições iniciais não forem nulas?
Questão 16.
Use o método de Green para determinar a resposta de um oscilador harmônico
superamortecido quando a força tem a forma
t 0
0
F t   
t 0
 Fo exp(   t ) sin(  t )
Questão 17.
Determinar o deslocamento de uma partícula de massa m submetida à ação de
uma força restauradora –kx e a uma força de amortecimento   m g, onde g é
a aceleração da gravidade, devido ao atrito entre superfícies secas. Mostre que
as oscilações são isócronas (o período independe da amplitude) com
2 g
amplitudes de oscilação decrescendo de
em cada meio período.
02
Questão 18.
Um oscilador têm uma força de restauração atuante, cuja magnitude é
-x-x2, onde  é pequeno comparado a . Prove que o deslocamento do
oscilador (neste caso, geralmente chamado de oscilador não harmônico) da
posição
de
equilíbrio
é
dado,
aproximadamente
por
A 2
cos 2t    3 onde A e  são determinados pelas
x  A cos t   
6
condições iniciais.
Questão 19.
(a) Dê exemplos de sistema físico macroscópico nos quais a equação do
movimento não é uma equação linear.
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Mecânica I – Lista tópico II
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(b) Nestes casos, se você conhecer duas soluções para o movimento do
sistema, você pode chegar a outra solução? Justifique
(c) Todos os sistemas não lineares levam ao chamado movimento caótico?
Justifique conceituando o movimento caótico clássico (em palavras!).
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