UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE FÍSICA MECÂNICA I - FMT 305 - 1° SEMESTRE DE 2004 período diurno profa. Mazé Bechara _______________________________________________________________________ TÓPICO II. OSCILAÇÕES NA MECÂNICA CLÁSSICA ________________________________________________________________________ tempo previsto: ~ três semanas II.1 O movimento harmônico simples unidimensional. Conceito de espaço de fase e seu diagrama. II.2 Oscilações harmônicas bidimensionais. II.3 Movimentos harmônicos amortecidos unidimensionais. O diagrama no espaço de fase. II.4 Oscilador forçado cossenoidal. O fenômeno de ressonância. II.5 O princípio de superposição e forças arbitrárias em sistemas oscilantes unidimensionais - série e integral de Fourier. II.6 A resposta de um oscilador a uma força impulsiva. O método de Green para uma força arbitrária unidimensional. II.7 Noções sobre movimentos não lineares e sobre movimentos caóticos na física clássica. REFERÊNCIAS: 1. Jerry B. Marion e Stephen T. Thornton (M&T) em “Classical Dynamics of Particles and Systems” da “Saunders College Publishing”, 4a. edição; Caps. 3 e parte do 4 e/ou 2. Keith R. Symon (S) em “Mecânica” da Editora Campus; Cap.2, Seções 2.7 a 2.11, 3.9 e 3.10; 3. Kazunori Watari (KW)- Mecânica clássica. vol. 1, Cap. 2. outros textos: 3. T. B. Kibble; “Mecânica Clássica”. 4. H. Goldestein; “Classical Mechanics”. Obs. importante: as questões que seguem são o mínimo que os estudantes devem trabalhar para ter um certo domínio do assunto. Outras questões estão no final dos capítulos indicados dos textos. Mecânica I – Lista tópico II QUESTÕES REFERENTES AO TÓPICO II Questão 1. Uma mola com constante k e massa negligenciáveis tem uma extremidade fixa no ponto A, em um plano inclinado de ângulo e uma massa m à outra extremidade, como indicado na figura ao lado. Admita que a massa m é puxada para baixo a uma distancia x0 abaixo da posição de equilíbrio e então é solta. Nessas condições, ache o deslocamento da posição de equilíbrio em um instante t qualquer para os seguintes casos: (a) quando não há atrito entre o plano e o corpo, (b) quando há atrito com coeficiente de fricção . Questão 2. Uma mola vertical de constante elástica k, tem um suporte em sua extremidade superior com um peso W em cima, como mostra a figura ao lado. Determinar a maior freqüência com a qual a mola pode oscilar, tal que o peso ainda permaneça encostado no suporte. Questão 3. Uma partícula sujeita a uma força de restituição linear é submetida a uma outra força F t F0 cos t , na mesma direção que a força elástica. A partícula parte do repouso no instante t=0.. (a) Escreva a equação do movimento da partícula. (b) No caso particular em que a freqüência da força que provoca as oscilações do sistema coincide com as freqüência própria do mesmo, mostre que a amplitude das oscilações cresce linearmente com o tempo. Comente esse resultado do ponto de vista de realidade física. Questão 4. (questão 3-8 do M&T) Um anel de massa m é forçado a mover-se em um fio sem atrito na forma de um cicloide (veja figura abaixo) cujas equações paramétricas são : x a sin y acos 1 , onde x e y estão em um plano vertical. Se o anel parte de repouso no ponto O: 2 Mecânica I – Lista tópico II (a) Ache o módulo da velocidade no ponto inferior da trajetória. (b) Mostre que o anel oscila com um período equivalente ao do pêndulo de comprimento 4a. Questão 5. Uma partícula move-se em um movimento harmônico simples, ao longo do eixo x. Nos instantes T0, 2T0 e 3T0 ela está em x = a, b e c, respectivamente. Prove que o período de oscilação é T 4T0 . 1 a c cos 2b Questão 6. (a) Determine, usando o princípio de superposição, o movimento de um b 1 0 , onde oscilador subamortecido com (coeficiente de 3 2m k amortecimento) e o (freqüência natural do oscilador), inicialmente m em repouso e submetido após t=0 à ação da força F Asen( 0 t ) sen0 t ) . (b) Qual deve ser a razão entre A e B para que as oscilações forçadas com freqüência 30 tenham a mesma amplitude que as oscilações cuja freqüência é 0? 3 Mecânica I – Lista tópico II Questão 7. Um corpo de massa m está suspenso por uma mola de constante k. Supondo que a força resistiva do ar é proporcional à velocidade do corpo, e que o sistema é subamortecido, calcule o movimento do corpo, se no instante inicial ele é deslodo de uma distancia d acima do ponto de equilíbrio e o e abandonado com velocidade nula. Questão 8. A figura ao lado mostra a potência média como função da freqüência da força externa que age sobre um oscilador amortecido (massa m, freqüência natural 0 e amortecimento ). O valor do fator Q é tão grande que a potência média, que é máxima em 0 , se reduz à metade do valor máximo para as freqüências 0,98 0 e 1,02 0. (a) Qual é o valor numérico de ? (b) Se a força externa for removida mostre que a energia média decresce de acordo com E E0et . Qual é o valor de ? (c) Qual é a fração de energia média perdida em um ciclo? (d) Mostre que Q 0 2 Questão 9. Uma partícula de massa m esta sujeita a uma força restauradora FR kx , num meio viscoso ( Fv bv ) com uma força externa dependente do tempo, t 0 0 F0t dada por F t , onde T e F0 são constantes. No instante a t T T t T F0 t = 0, a partícula se encontra em repouso. Determine a amplitude de oscilação da partícula. Questão 10. 4 Mecânica I – Lista tópico II Um oscilador não amortecido ( = 0), inicialmente em repouso (x0 = 0, v0 = 0), t t0 0 P0 t0 t t0 t . está sujeito a uma força: F t t t t0 t 0 (a) ache a posição em x(t) em qualquer instante t. (b) para um dado P0, para que valor t a amplitude final é máxima? (c) Mostre que quando t 0 a solução x é: 0 t t0 P x 0 sen o t t0 t t0 m0 Questão 11. (questão 60 do cap2 do S) Determine, pelo método de Fourier, a solução estacionária para um oscilador 1 0 se nT t n T 2 harmônico sujeito à força F ( t ) , onde n é 1 F se n T t n 1T 0 2 um inteiro e T = 6 /0 e 0 é a freqüência natural do oscilador. Mostre que se << 0, o movimento é aproximadamente senoidal com período T/3. Questão 12. Determine usando a série de Fourier, o estado estacionário de um oscilador harmônico sem amortecimento, sujeito a ação da força que tem a forma de uma onda senoidal retificada: F ( t ) F0 sen 0t , onde 0 é a freqüência natural do oscilador. Questão 13. Considere um oscilador harmônico amortecido com 0 > com as condições iniciais x( 0 ) xo e ( dx dt )o vo , sujeito a uma força F ( t ) Fo cos 3 ( t ) . Determinar x(t) usando o método de Fourier. Questão 14. Determine x(t) para um oscilador harmônico superamortecido para os casos: (a) Com as condições iniciais x0 x( 0 ) 0 , e sujeito a uma força impulsiva cujo momento transmitido é p0. 5 Mecânica I – Lista tópico II (b) Com as mesmas condições iniciais e usando os resultados do item anterior, determinar x(t) pelo método de Green, sabendo-se que o oscilador está sujeito a uma força F(t). (c) Usando também o método de Green, com as mesmas condições iniciais, mas com a força aplicada dada por F t F0 e t . Questão 15. A força F t F0 ( 1 e t ) age sobre um oscilador harmônico que está em repouso em t = 0. A massa é m, a constante da mola e k = 4ma2 e b = ma. Determine o movimento usando o método de Green . Considere os três casos de amortecimento. O que acontece se as condições iniciais não forem nulas? Questão 16. (questão 3-42 do M&T) Use o método de Green para determinar a resposta de um oscilador harmônico superamortecido quando a força tem a forma t 0 0 F t t 0 Fo exp( t ) sin( t ) Questão 17. Determinar o deslocamento de uma partícula de massa m submetida à ação de uma força restauradora –kx e a uma força de amortecimento m g, onde g é a aceleração da gravidade, devido ao atrito entre superfícies secas. Mostre que as oscilações são isócronas (o período independe da amplitude) com 2 g amplitudes de oscilação decrescendo de em cada meio período. 02 Questão 18. Um oscilador têm uma força de restauração atuante, cuja magnitude é -x-x2, onde é pequeno comparado a . Prove que o deslocamento do oscilador (neste caso, geralmente chamado de oscilador não harmônico) da posição de equilíbrio é dado, aproximadamente por A 2 cos 2t 3 onde A e são determinados pelas x A cos t 6 condições iniciais. Questão 19. (a) Dê exemplos de sistema físico macroscópico nos quais a equação do movimento não é uma equação linear. 6 Mecânica I – Lista tópico II (b) Nestes casos, se você conhecer duas soluções para o movimento do sistema, você pode chegar a outra solução? Justifique (c) Todos os sistemas não lineares levam ao chamado movimento caótico? Justifique conceituando o movimento caótico clássico (em palavras!). Questão 20. (questão 42 do S) Deseja-se construir uma balança de banheiro cuja deflexão da plataforma tenha 2,5cm quando registra o peso de uma pessoa de 91kg. (a) Se o movimento for criticamente amortecido, determine a constante k da mola que deve ser usada e a constante de amortecimento b. (b) Mostre que o movimento será superamortecido para uma pessoa mais leve. (c) Se uma pessoa de 91kg subir na balança, qual a força máxima para cima que a plataforma da balança exercerá sobre os pés dele, enquanto a plataforma volta para a posição de repouso? 7