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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE FÍSICA
MECÂNICA I - FMT 305 - 1° SEMESTRE DE
2003
período noturno
profa. Mazé Bechara
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TÓPICO II. OSCILAÇÕES NA MECÂNICA CLÁSSICA
REFERÊNCIAS:
1. Jerry B. Marion e Stephen
T. Thornton (M&T) em “Classical
Dynamics of Particles and Systems” da “Saunders College
Publishing”, 4a. edição; Caps. 3 e parte do 4 e/ou
2. Keith
R. Symon (S) em “Mecânica” da Editora Campus; Cap.2,
Seções 2.7 a 2.11, 3.9 e 3.10.
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tempo previsto: três semanas
II.1 O movimento harmônico simples uni,
bidimensional e tridimensional a partir da equação
de Newton. O espaço de fase e as informações do
diagrama no espaço de fase.
II.2 Movimentos harmônicos amortecidos.
II.3 Oscilador forçado cossenoidal. O fenômeno
de ressonância.
II.4 O princípio de superposição e forças
arbitrárias
em
sistemas
oscilantes
unididmensionais - série e integral de Fourier.
II.5 A resposta de um oscilador a uma força
impulsiva. O método de Green para uma força
arbitrária unidimensional.
II.6 Noções sobre oscilações não lineares e de
caos.
outros textos:
3. T. B. Kibble; “Mecânica Clássica”.
4. H. Goldestein; “Classical Mechanics”.
Obs. importante: as questões que seguem são o
mínimo que os estudantes devem trabalhar para ter
um certo domínio do assunto. Outras questões
estão no final dos capítulos indicados dos textos.
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Mecânica I – Lista tópico II
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QUESTÕES REFERENTES AO TÓPICO II
Questão 1.
Uma mola com constante k e massa negligenciáveis tem
uma extremidade fixa no ponto A, em um plano inclinado
de ângulo  e uma massa m à
outra extremidade, como indicado
na figura ao lado.
Admita que a massa m é puxada
para baixo a uma distancia x0
abaixo da posição de equilíbrio e
então é solta. Nessas condições,
ache o deslocamento da posição de equilíbrio em um
instante t qualquer para os seguintes casos:
(a) quando não há atrito entre o plano e o corpo,
(b) quando há atrito com coeficiente de fricção .
Questão 2.
Uma mola vertical de constante elástica k, tem um
suporte em sua extremidade
superior com um peso W em cima,
como mostra a figura ao lado.
Determinar a maior freqüência com a
qual a mola pode oscilar, tal que o
peso ainda permaneça encostado no
suporte.
3
Questão 3.
Uma partícula sujeita a uma força de restituição linear é
submetida a uma outra força F t   F0 cos t   , na
mesma direção que a força elástica. A partícula parte do
repouso no instante t = 0.Escreva a equação do
movimento da partícula.
No caso particular em que a freqüência da força que
provoca as oscilações do sistema coincide com a
freqüência própria do mesmo, mostre que a amplitude
das oscilações cresce linearmente com o tempo.
Questão 4.
Um anel de massa m é forçado a mover-se em um fio
sem atrito na forma de
um ciclóide (veja figura
abaixo) cujas equações
paramétricas são :
x  a  sin 
y  acos   1
, onde x e y estão em um
plano vertical. Se o anel parte de repouso no ponto O:
(a) Ache o módulo da velocidade no ponto inferior da
trajetória.
(b) Mostre que o anel oscila com um período equivalente
ao do pêndulo de comprimento 4a.
4
Mecânica I – Lista tópico II
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Questão 5.
Uma partícula move-se em um movimento harmônico
simples, ao longo do eixo x. Nos instantes T0, 2T0 e 3T0
ela está em x = a, b e c, respectivamente. Prove que o
4 T0
período de oscilação é
.
a

c


cos 1 

 2b 
Questão 6.
(a) Determine, usando o princípio de superposição, o
movimento de um oscilador subamortecido com
b
1
   0 , onde  
(coeficiente de amortecimento)
3
2m
k
e o 
(freqüência natural do oscilador),
m
inicialmente em repouso e submetido após t = 0 à
ação da força F  Asen( 0 t )  sen0 t ) .
(b)Qual deve ser a razão entre A e B para que as
oscilações forçadas com freqüência 30 tenham a
mesma amplitude que as oscilações cuja freqüência
é 0?
Questão 7.
Um corpo de massa m está suspenso por uma mola de
constante k. Supondo que a força resistiva do ar é
proporcional à velocidade do corpo, e que o sistema é
subamortecido, calcule o movimento do corpo, se no
5
instante inicial nós o deslocamos uma distancia d para
cima do ponto de equilíbrio e o abandonamos com
velocidade nula.
Questão 8.
A figura ao lado mostra a potência média como função
da freqüência da força
externa que age sobre um
oscilador
amortecido
(massa m, freqüência
natural 0 e amortecimento
 ). O valor do fator Q é tão
grande que a potência
média, que é máxima em
0 se reduz à metade do valor máximo para as
freqüências 0,98 0 e 1,02 0.
(a) Qual é o valor numérico de  ?
(b) Se a força externa for removida mostre que a
energia média decresce de acordo com E  E0et .
Qual é o valor de ?
(c) Qual é a fração de energia média perdida em um
ciclo?

(d) Mostre que Q  0
2
6
Mecânica I – Lista tópico II
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Questão 9.
Uma partícula de massa m esta sujeita a uma força
restauradora FR   kx , num meio viscoso ( Fv  bv )
com uma força externa dependente do tempo, dada por
t 0
0
F t
, onde T e F0 são constantes.
F t    0 a  t  T
T

t T
 F0
No instante t = 0, a partícula se encontra em repouso.
Determine a amplitude de oscilação da partícula.
Questão 10.
Um oscilador não amortecido ( = 0), inicialmente em
repouso (x0 = 0, v0 = 0), está sujeito a uma força:
t  t0
 0
 P
F t    0
t0  t  t0  t .

t

t  t0  t
 0
(a) ache a posição em x(t) em qualquer instante t.
(b) para um dado P0, para que valor  t a amplitude final é
máxima?
(c) Mostre que quando  t  0 a solução x é:
0
t  t0

 P
x 0
sen  o t  t0  
t  t0
 m0
Determine, pelo método de
Fourier, a solução
estacionária para um oscilador harmônico sujeito à força
1


0
se
nT

t

n


T

2


, onde n é um
F( t )  
1


F
se  n   T  t  n  1T
0

2

inteiro e T = 6 /0 e 0 é a freqüência natural do
oscilador. Mostre que se  << 0, o movimento é
aproximadamente senoidal com período T/3.
Questão 12.
Determine usando a série de Fourier, o estado
estacionário de um oscilador harmônico sem
amortecimento, sujeito a ação da força que tem a forma
de uma onda senoidal retificada: F ( t )  F0 sen 0t ,
onde 0 é a freqüência natural do oscilador.
Questão 13.
Considere um oscilador harmônico amortecido com 0 >
 com as condições iniciais x( 0 )  xo e ( dx dt )o  vo ,
sujeito a uma força F ( t )  Fo cos 3 ( t ) . Determinar x(t)
usando o método de Fourier.
Questão 14.
Questão 11.
7
8
Mecânica I – Lista tópico II
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Determine x(t)
para um oscilador harmônico
superamortecido para os casos:
(a) Com as condições iniciais x0   x( 0 )  0 , e sujeito a
uma força impulsiva cujo momento transmitido é p0.
(b) Com as mesmas condições iniciais e usando os
resultados do item anterior, determinar x(t) pelo
método de Green, sabendo-se que o oscilador está
sujeito a uma força F(t).
(c) Usando também o método de Green, com as
mesmas condições iniciais, mas com a força aplicada
dada por F t   F0 e  t .
Questão 15.
A força F t   F0 ( 1  e  t ) age sobre um oscilador
harmônico que está em repouso em t = 0. A massa é m,
a constante da mola e k = 4ma2 e b = ma. Determine o
movimento usando o método de Green . Considere os
três casos de amortecimento. O que acontece se as
condições iniciais não forem nulas?
Use o método de Green para determinar a resposta de
um oscilador harmônico superamortecido quando a
força tem a forma
t 0
0
F t   
t 0
 Fo exp(   t ) sin(  t )
Questão 17.
Determinar o deslocamento de uma partícula de massa
m submetida à ação de uma força restauradora –kx e a
uma força de amortecimento   m g, onde g é a
aceleração da gravidade, devido ao atrito entre
superfícies secas. Mostre que as oscilações são
isócronas (o período independe da amplitude) com
2 g
amplitudes de oscilação decrescendo de
em cada
02
meio período.
Questão 18.
Um oscilador têm uma força de restauração atuante,
cuja
magnitude
é
2
-x-x , onde  é pequeno comparado a . Prove que o
deslocamento do oscilador (neste caso, geralmente
chamado de oscilador não harmônico) da posição de
equilíbrio
é
dado,
aproximadamente
por
A 2
cos 2t    3 onde A e  são
x  A cos t   
6
determinados pelas condições iniciais.
Questão 16.
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Questão 19.
(a) Dê exemplos de sistema físico macroscópico nos
quais a equação do movimento não é uma equação
linear.
(b) Nestes casos, se você conhecer duas soluções para
o movimento do sistema, você pode chegar a outra
solução? Justifique
(c) Todos os sistemas não lineares levam ao chamado
movimento caótico? Justifique conceituando o
movimento caótico clássico (em palavras!).
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