Exercícios_determinantes_com gabarito

Exercícios de Determinantes
1. (Ita) Considere A e B matrizes reais 2 × 2, arbitrárias. Das afirmações a seguir assinale a
verdadeira.
a) Se A é não nula então A possui inversa.
b) (AB)t = AtBt
c) det (AB) = det (BA)
d) det A2 = 2 det A
e) (A + B)(A - B) = A2 - B2
2. (Uff ) Considere a matriz.
Os valores de k que tornam nulo o determinante da matriz M - kI, sendo I a matriz identidade,
são:
a) 0 e 4
b) 4 e 5
c) -3 e 5
d) -3 e 4
e) 0 e 5
3. (Ufrrj ) Dadas as matrizes
O valor de x tal que det A = det B é
a) 0.
b) 5.
c) 1.
d) -1.
e) 2.
4. (Ufrj ) Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Calcule
o determinante da matriz
Justifique.
5. (Ita) Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n × n, n ≥ 2:
I. O determinante de A é nulo se, e somente se, A possui uma linha ou uma coluna nula.
II. Se A = (aij) é tal que aij = 0 para i > j, com i, j = 1,2,...,n, então det A = a11a22...ann.
III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por 2 +1 e a segunda por
mantendo-se inalteradas as demais colunas, então det B = det A.
Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)
a) apenas II.
b) apenas III.
c) apenas I e II.
d) apenas II e III.
e) todas.
2 -1,
6. (Ita 2006)
a) 0
b) 4
c) 8
d) 12
e) 16
7. (Ita) Sejam A e C matrizes n × n inversíveis tais que det (I + C-1 A) = 1/3 e det A = 5.
Sabendo-se que B = 3(A-1 + C-1)t, então o determinante de B é igual a
a) 3n
b) 2 . (3n/52)
c) 1/5
d) 3n - 1/5
e) 5 . 3n - 1
8. (Udesc ) Dada a matriz A (figura 1).
Seja a matriz B tal que A-1BA=D, onde a matriz D (figura 2), então o determinante de B é igual
a:
a) 3
b) -5
c) 2
d) 5
e) -3
9. (Mackenzie ) Considerando 0 < x <
 log(tg(x))
det 
1

3π
, o número de soluções da equação
2
log(cot g(x)) 
0é
1

a) 2
b) 3
c) 0
d) 1
e) 4
aij  10,se i  j
e B = (bij)3x3 tal que
 aij  0,se i  j
10. (Mackenzie ) Dadas as matrizes A = (aij)3x3 tal que 
bij  3,se i  j

,


bij  0,se i  j
o valor de det(AB) é
a) 27 x 103
b) 9 x 103
c) 27 x 102
d) 32 x 102
e) 27 x 104
11. (Fgv ) Uma matriz 4 x 4 que admite inversa é
1 2 3 4 


4 3 2 1
a) 
2 4 6 8 


5 6 7 8 
1 2 3 4 


1 4 5 16 
b) 
 2 6 8 20 


5 6 11 8 
1

2
c) 
3

4
1 1 1

2 2 2
3 3 3

4 4 4
1

5
d) 
9

13
4 

6 7 8
10 11 12 

14 15 16 
2
3
12. (Uerj ) Considere a matriz A 33 abaixo:
 1
 2 a12

A   a21 1
a
1
 31


a13 

1 
1 


Cada elemento desta matriz é expresso pela seguinte relação:
aij  2   seni    sen j  i, j  1,2,3
 -1

1
e) 
9

13
4 

-6 7
8 
10 - 11 12 

14 15 - 16 
2
3
Nessa relação, os arcos 1, 2 e 3 são positivos e menores que

radianos.
3
Calcule o valor numérico do determinante da matriz A. .
 1 2
 1 2
1
 eB
 . O determinante da matriz (AB) é:
 1 0 
 1 0 
13. Se A  
a) 
1
.
10
b)
21
.
10
c)
13
.
10
d) 
13
.
10
1
e)
4
14. (Insper) Dado um número inteiro e positivo n, considere a matriz A, de ordem 2  n,
definida por
1 2 3
A
1 1 1
n
.
1
1 2 3 
Por exemplo, para n  3, temos que A  
.
1 1 1
n(n  1)(2n  1)
e representando por AT a matriz
6
transposta de A, o determinante da matriz A  AT é
Dada à identidade 12  22  32 
a)
n2  n
.
6
b)
n4  n2
.
12
c)
n4  n2  2
.
18
d)
n2  n
.
12
e)
n 4  n2
.
6
15. (Espm ) Dadas as matrizes
 n2 
 x 2
1 x 
A
eB

 a diferença entre os valores de x, tais
1 1
 1 2 
que det(A  B)  3x, pode ser igual a:
a) 3
b) -2
c) 5
d) -4
e) 1
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[C]
Resposta da questão 2:
[C]
Resposta da questão 3:
[B]
Resposta da questão 4:
Como a, b, c, d estão em PA, então, para algum número real n, temos b = a + n, c = a + 2n, d =
a + 3n.
Portanto, detA = e2a+3n - e2a+3n = 0.
Resposta da questão 5:
[D]
Resposta da questão 6:
[D]
Resposta da questão 7:
[D]
Resposta da questão 8:
[D]
A 1 BA  D  det( A 1 BA)  det D
 1  det B  det A  det D
det A
 det B  det D  2  2  (1)  1  5
Resposta da questão 9:
tg(x) > 0 e cotg(x) > 0(definição de logaritmo)
Calculando o determinante temos:
log(tg(x)) – log(cotg(x)) = 0
log
tg ( x)
tg ( x)
=0
= 10 0  tg2(x) = 1  tg(x) = 1 ou tg(x) = -1
cot gx
cot gx
x

4
3
3
logo x 
(não convém, pois tg
0 )
4
4
5
4
logo a equação possui 2 raízes.
Resposta da questão 10:
[A]
10

A 0
0

3

B  0
0

0 0

10 0   det( A)  10 3
0 10 
0 0

3 0   det(B)  3 3
0 3 
det(A.B) = det(A).det(B) = 103.33= 27.103
Resposta da questão 11:
[E]
a) Não admite inversa, pois a linhas 1 e 3 são proporcionais e seu determinante vale zero.
b) Não admite inversa, pois a terceira linha é uma combinação linear das duas primeiras. Seu
determinante também é zero
c) Não admite inversa, pois as linhas da matriz são proporcionais, seu determinante vale zero.
d) Não admite inversa, pois a terceira linha é igual ao dobro da segunda menos a primeira, seu
determinante vale zero.
e) Seu determinante é – 36416 (diferente de zero). Logo, admite inversa.
Resposta da questão 12:
 
Como a22  a33  1 e 1, 2 e 3  0,  , segue que
 3
2sen 2 cos 2  2sen3 cos 3  1  sen22  sen23  sen
 2  3 

2

rad.
4
Logo,
a21  2sen 2 cos 1
a31  2sen 3 cos 1  a21  a31.
2  3
Portanto, como A apresenta duas linhas idênticas, det A  0.
Resposta da questão 13:
[E]
Como A  B, segue que
det(AB)1  det(A 2 )1 
1
det(A 2 )

1
(det A)2
.
Portanto,
det A 
1 2
1 0
 1 0  ( 1)  2  2  det(AB)1 
Resposta da questão 14:
[B]
Se
1 2 3
A
1 1 1
n
,
1
então
1
2

A T  3


n
1
1
1 .


1
Logo,
1 2 3
A  AT  
1 1 1
1
2
n 
 3
1 

n
1
1
1


1
12  22  32   n2 1  2  3 

1 1 1
 1 2  3   n
 n(n  1)(2n  1) n(n  1) 

6
2 

.
n(n  1)

n 


2
Portanto,
 n

1 
1
.
4
n(n  1)(2n  1)
6
det(A  A T ) 
n(n  1)
2
n(n  1)
2
n

n2 (n  1)(2n  1) n2 (n  1)2

6
4

n2 (n  1)  2n  1 n  1 



2
2 
 3

n2 (n  1)  4n  2  3n  3 


2
6


n2 (n  1)(n  1)
12
4
n  n2

.
12

Resposta da questão 15:
[C]
De acordo com o Teorema Binet, segue que
det(A  B)  3x  det A  detB  3x
 (x  2)  (x  2)  3x
 x 2  3x  4  0
 x  1ou x  4.
Portanto, a diferença entre os valores de x, tais que det(A  B)  3x, pode ser igual a
4  (1)  5 .