Matemática 1 Determinantes: definição e propriedades. Prof. Figo 1

Matemática 1
Determinantes: definição e propriedades.
Prof. Figo
1. (Fgv 2011) O sistema linear nas incógnitas x, y e z :
 x  y  10  z

y  z  5  x
z  x  7  y

pode ser escrito na forma matricial AX = B , em que:
x
10 


X   y  e B   5  .
 z 
 7 
Nessas condições, o determinante da matriz A é igual a:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
 x 2
1 x 
eB

 , a diferença entre os
1 1
 1 2
2. (Espm 2011) Dadas as matrizes A  
valores de x, tais que det(A  B)  3x, pode ser igual a:
a) 3
b) -2
c) 5
d) -4
e) 1
3. (Mackenzie 2010) Considerando 0 < x <
é
a) 2
b) 3
c) 0
d) 1
e) 4
3π
, o número de soluções da equação
2
aij  10,se i  j
4. (Mackenzie 2010) Dadas as matrizes A = (aij)3x3 tal que 
eB=
 aij  0,se i  j
bij  3,se i  j
(bij)3x3 tal que 
,

bij  0,se i  j
o valor de det(AB) é
a) 27 x 103
b) 9 x 103
c) 27 x 102
d) 32 x 102
e) 27 x 104
5. (Pucsp 2008) Se os coeficientes da função quadrática definida por f(x) = ax2 +
bx + c satisfazem a condição
então é CORRETO afirmar que
a) f tem um máximo.
b) a e c têm sinais opostos.
c) o gráfico de f é uma parábola cujo vértice pertence ao eixo das ordenadas.
d) o gráfico de f está contido no primeiro e segundo quadrantes.
e) o gráfico de f tangencia o eixo das abscissas.
6. (Fatec 2008) Se x é um número real positivo tal que
,
e det (A.B) = 2, então x-x é igual a
a) - 4
b)
1
4
c) 1
d) 2
e) 4
7. (Unesp 2008) Seja A uma matriz. Se
a) 8.
b) 2 2
c) 2.
d) 3 2 .
e) 1.
, o determinante de A é:
8. (Fgv 2005) Seja
Se D = 0 e
, então:
a) x =
b) x
π
(5π )
4
(4π )
d) x =
3
(7π )
e) x =
6
c) x =
9. (Ufscar 2005) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 3 tal que,
p, se i  j

aij = 
2p, se i  j

com p inteiro positivo. Em tais condições, é correto afirmar que, necessariamente,
det A é múltiplo de
a) 2.
b) 3.
c) 5.
d) 7.
e) 11.
10. (Mackenzie 2003) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante
maior que zero e A-1 a sua inversa. Se 16 . det A-1 = det (2A), então o determinante
de A vale:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 2
e) 16
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
Reescrevendo o sistema dado, obtemos:
 x  y  10  z

y  z  5  x
z  x  7  y

x  y  z  10

x  y  z  5 .
x  y  z  7

Desse modo,
1 1 1
A  1 1 1
1 1 1
e, portanto,
det A  1 1 1 (1 1 1)  4.
Resposta da questão 2:
[C]
De acordo com o Teorema Binet, segue que
det(A  B)  3x  det A  detB  3x
 (x  2)  (x  2)  3x
 x 2  3x  4  0
 x  1ou x  4.
Portanto, a diferença entre os valores de x, tais que det(A  B)  3x, pode ser igual a
4  (1)  5 .
Resposta da questão 3:
tg(x) > 0 e cotg(x) > 0(definição de logaritmo)
Calculando o determinante temos:
log(tg(x)) – log(cotg(x)) = 0
log
tg ( x)
tg ( x)
=0
= 10 0  tg2(x) = 1  tg(x) = 1 ou tg(x) = -1
cot gx
cot gx
x

4
3
3
logo x  (não convém, pois tg  0 )
4
4
5
4
logo a equação possui 2 raízes.
Resposta da questão 4:
[A]
10 0 0 


A   0 10 0   det( A)  10 3
 0 0 10 


 3 0 0


B   0 3 0   det( B )  3 3
 0 0 3


det(A.B) = det(A).det(B) = 103.33= 27.103
Resposta da questão 5:
[E]
Resposta da questão 6:
[B]
Resposta da questão 7:
[C]
Resposta da questão 8:
[B]
Resposta da questão 9:
[C]
Resposta da questão 10:
[D]