Números Complexos

Números Complexos
Definição: Um número complexo z pode ser definido como
um par ordenado (x, y) de números reais x e y,
z = (x, y)
(1)
sujeito às regras e leis de operações
dadas a seguir (2) a (5).
(2) (x, 0) = x  Existe uma correspondência biunívoca
entre o par (x, 0) e os reais. Assim, (x, 0) é identificado
como o número
real x;
(0, 1) = i
é chamado de unidade imaginária;
(x, y) representam a parte real e a parte imaginária,
isto é, R(z) = x e Y(z) = y.
(3) (x1, y1) = (x2, y2)
Se
z1 = (x1, y1) e
<=> x1 = x2 e y1 = y2
z2 = (x2, y2)
então
(4) z1 + z2 = (x1+ x2 , y1 + y2) = (x1, y1) + (x2, y2)
(5) z1 z2 = (x1 y1) x (x2 y2) = (x1 x2 - y1 y2, x1 y2 +x2 y1)
(6) Cada número complexo (não real) pode ser
escrito como a soma de um número real e um
número complexo puro z = (x, y) = x+ yi
Como consequência da equação (6), pode se
escrever a fórmula (5) como:
(x1+ y1i) x (x2+ y2i) = x1 x2 - y1 y2 + (x1 y2 +x2
y1)i
Exemplo: Dados os números z1 = (2,1) e z2 = (3, 0)
Calcular z1 + z2 , z1 x z2
e z12
Solução:
z1 + z2 = (2, 1) + (3, 0) = (2 + 3, 1 + 0) = (5, 1)
z1 z2 = (2, 1) x (3, 0) = (2 x 3 - 1 x 0, 2x0+3x1) = (6, 3)
z12 = (2, 1) x (2, 1) = (2 x 2 - 1 x 1, 2x1+2x1) = (3, 4)
2 - Propriedades
Subtração (inverso da adição)
z1 - z2 = z3
z1 =z2 + z3 ou
(x2 , y2) + (x3 , y3) = (x1 , y1)
Assim,
z1 - z2 = (x1 - x2, y1- y2) = (x1 - x2) + (y1- y2)i
Divisão (inversa da multiplicação)
(z1 / z2) = z3
se z1 = z2 z3, (z2  0)
(x2 x3 - y2 y3 , x2 y3 + x3 y2) = (x1 , y1)
ou
Logo, igualando os pontos correspondentes e resolvendo em
relação a x3, y3, temos:
z1/ z2 = (x1 x2 + y1 y2)/ (x22 +y22 ) +(x2 y1 - x1 y2)i / (x22 +y22 ),
z2  0.
Assim
z1/ z2 = z1(1/ z2),
1/(z2 z3) = (1/z2) (1/z3), ( z2  0 z3  0)
Exemplo: Determine o valor da expressão:
[(-1+3i)(1+2i) / (2-i)] + 2i
= [(-1- 6+i) / (2 - i) ]+ 2i= [(-7 + i) / (2 -i)] +2i
= [(- 14 -1) / (4 +1)] + [(2 -7)i /5] + 2i = -3 +i
3 - Leis para adição e subtração:
a) z1 + z2 = z2 + z1
(comutativa)
b) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2)+ z3 (associativa)
c) z1 (z2 z3) = (z1 z2) z3
(associativa)
d) z1 (z2 + z3) = z1 z2+ z1z3
(distributiva)
4 - Módulos
Se x e y são reais, chama-se módulo de um número
complexo z = x + yi ao real não negativo
| z || x  yi | x  y
2
2
Assim,
| z1  z2 |  | ( x1  x2 )  ( y1  y2 )i |  ( x1  x2 )  ( y1  y2 )
2
2
5 - Conjugados complexos
Chama-se conjugado do número complexo
z = (x, y) = x + yi ao complexo z = x - yi = (x, -y)
Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2), então
------z1 + z2 = x1+ x2 - (y1 + y2)i = (x1- y1i) + (x2 - y2i)
= z-- + z-1
2
Ou seja o conjugado da soma é igual a soma dos
conjugados.
Associado a cada número complexo z há 3 números
reais já definidos |z|, R(z) e I(z) que resultam
|z|2 = |R(z)|2 + |I(z)|2
e as condições
|z|  |R(z)|  R(z)
e
e que
_
zz = x2 + y2 = |z|2,
__
|z| = |z| , |z1 z2| = |z1| | z2|
|z1 / z2| = |z1| / | z2|,
z2  0
e as desigualdades
|z1 + z2|  |z1| + | z2|
|z1 - z2|  | |z1| - | z2| |
|z|  |I(z)|  I(z)
6 - Representação gráfica
Cada número complexo corresponde a um único ponto,
e reciprocamente, no plano cartesiano xy.
Exemplo: O número z = -2 + i
é representado por
y
x + yi
-2 + i
i
x
-1 0
1
y
Soma: lei do paralelogramo,
Igual que vetores
em 2 dimensões.
z1+z2
z2
z1
x
Produto diferente, por que?
y
z1.z2
z2
1+2
2
1
z1
E também valem:
_____
__ __
z1 - z2 = z1 - z2
____
z1 z2 = z1 z2
____
__ __
(z1 / z2) = z1 / z2
e ainda:
_
z + z = 2x = 2R(z) -- a soma de um complexo com o seu
_ _
conjugado é um real;
_
z - z = 2yi = 2I(z)i -- a diferença entre um complexo
e seu conjugado é um imaginário puro;
7 - Forma polar
Sejam r e  as coordenadas polares do ponto representado
z, Figura a seguir, onde r  0. Então x = rcos  e y = rsen 
e z pode ser escrito como z = r (cos  + i sen ) onde
r x y
2
2
Isto é r = |z| e  é o argumento de z denotado por argz.
Quando z  0,  pode ser determinado por tg  = y/ x.
Y
P
y
z
r

0
z
Exemplo: Seja
Então:
x
X
3 i
r 
3 1  2
 
1
3



3
6
3
log o
z  2 (cos(

6
)  i sen(

6
))
8 - Produto, Potência e Quociente
O produto de dois números complexos
z1 = r1 (cos 1 + i sen 1)
e z2 = r2 (cos 2 + i sen 2) é
z1 z2 = r1 r2 [cos (1+ 2 )+ i sen (1 + 2 )].
Logo,
arg(z1 z2 ) = arg(z1) + arg(z2)
Assim, z1 z2 ...zn = r1 r2 ...rn [cos (1+ 2 +...+n ) +
+ i sen ( 1+ 2 +...+n )].
Se z = r (cos  + i sen )
e n  Z+,
zn = r n (cos n + i sen n).
Se r = 1 temos o Teorema De Moivre
(cos + i sen) n = cos n + i sen n.
O quociente de dois números complexos é dado por
(z1/ z2) = (r 1/ r2) [cos (1- 2) + i sen (1- 2)], r2  0.
Que pode ser obtida pelo inverso da multiplicação
(1/ z) = (1/ r) [cos (- ) + i sen (- )] = (1/ r) [cos () - i sen
()] (caso particular). Logo
z-n = (1/ z)n = (1/ rn) [cos (-n) + i sen (-n)]
9 - Extração de raízes
Extrair as raízes n-ésimas z1/n de um complexo z é
resolver a equação zon = z.
n
z  zo  z  z
Podemos escrever
z0 = r0 (cos 0 + isen 0) ou
r0n (cos no + isen n0) = r (cos  + i sen )
Se os ângulos são dados em radianos,
n
o
r0n  r
n 0    2k ,
e
k Z
2k
n
n
Assim, existem exatamente n raizes diferentes quando z  0, a saber
  2k
  2k
z0  n r [cos(
)  sen(
)i ]
n
n
Agora  0 

k  0,

Onde k = 0, 1, ...(n-1), e zo são os valores de z1/n.
Exemplo: Calcular as raízes cúbicas de 8.
Neste caso temos os valores z = 8, n = 3 e  = 0.
Para k = 0, z0 = 81/3 (cos 0 +i sen 0) = 2
k = 1, z0 = 81/3 [cos (2/3) +i sen (2/3)] = -1 + 31/2i
k=2,
z0 = 81/3 [cos (4/3) +i sen (4/3)] = 1 - 31/2i