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Grandezas
Escalares e Vetoriais
Prof. Climério Soares
Definição de grandeza:
É tudo aquilo que pode ser medido
Exemplos:
 Comprimento
Aceleração
Força
 Velocidade
Tipos
Grandezas escalares
Grandezas Vetoriais
Grandezas Escalares
São grandezas que se caracterizam apenas por
um valor acompanhado uma unidade de medida.
Exemplos:
 Massa ( a massa de uma pessoa é 57 kg);
Temperatura (a temperatura da sala de aula é
27°C);
Tempo (uma aula tem duração de 50min).
Grandezas Vetoriais
São grandezas que para serem definidas precisam
de um módulo (valor + unidade de medida), direção
e sentido.
Exemplos:
 Velocidade (Um corpo foi lançado com uma
velocidade de 30 m/s);
Aceleração (Um carro manteve uma aceleração
de 5 m/s²);
 Força (Foi aplicada uma força de 50 N).
Representação Gráfica
Direção
A
Sentido
B
Comprimento = módulo
Representa-se um vetor por um segmento de
reta orientado. A origem e a extremidade do
vetor pode ser representado por duas letras
maiúsculas (A = origem; B = extremidade)
Representação Simbólica
Uma grandeza vetorial deve sempre ser
representada, simbolicamente, por uma letra com
umaseta em cima:
V  vetorV

V  Módulo do vetor V
V = Módulo do vetor V
AB  Módulo do vetor de extremidades A e B
Comparação de Vetores
 Vetores iguais
 Vetores opostos
Dois vetores são iguais quando possuem mesmo
módulo (valor, intensidade), mesma direção e
mesmo sentido.
Dois vetores são opostos quando possuem
mesmo módulo, mesma direção e sentidos
opostos.
Comparação de Vetores
Exemplos:

x

z

y
2,5 u
4u

w
4u
2,5 u
 
x  y Vetores iguais
 Vetores opostos

z  w
Operações com Vetores
 Soma
 Diferença
 Multiplicação de um número real por
um vetor
Operações com Vetores
Adição de Vetores
Podemos
regras:
somar
vetores
 Regra do Polígono
Regra do Paralelogramo
usando
duas
Operações com Vetores
 Regra do Polígono
É usada, principalmente, para somar sistemas
com mais de dois vetores.
Exemplo: No plano
quadriculado a seguir temos



três vetores a , b e c :
Operações com Vetores
Regra do Polígono
Qual o módulo do vetor resultante da soma desses
vetores?
Operações com Vetores
Regra do Polígono
Resolução:
Inicialmente, devemos transladar os vetores, de
modo que a origem de um coincida com a
extremidade do outro, tomando cuidado para
manter as características (módulo, direção e
sentido) de cada vetor sem alteração.
O vetor soma (resultante) será aquele que fecha o
polígono, partindo da origem do primeiro vetor e
chegando à extremidade do último vetor.
Operações com Vetores
Regra do Polígono
Observe que o vetor soma é a hipotenusa de um triângulo
retângulo de catetos 3 u e 4 u. Aplicando, então, o
Teorema de Pitágoras, temos:
s 2  32  4 2  s 2  9  16  s 2  25
s=5u
Operações com Vetores
Regra do Polígono
Observação:
Quando os segmentos orientados que representam os
vetores formam um linha poligonal fechada (a
extremidade do último segmento orientado coincide
com a origem do primeiro), o vetor
 soma é chamado
vetor nulo e é representado por 0
    
S  V1  V2  V3  0
O módulo do vetor nulo é zero
Operações com Vetores
 Regra
do Paralelogramo:
Essa regra é usada quando os vetores têm a
mesma origem e formam um ângulo entre si.
Para encontrar o vetor resultante, devemos:
1. Tracejar retas paralelas aos dois vetores;
2. O vetor soma (resultante) sai do ponto comum
até encontrar o ponto de interseção das retas
tracejadas.
Operações com Vetores
Regra do paralelogramo

r1

R


r2
Para encontrar o módulo do vetor soma (resultante),
utilizamos a Lei do cossenos:
R  r1  r2  2  r1  r2  cos 
2
2
2
Operações com Vetores
Regra do paralelogramo
Exemplo:
 
Dois vetores a e b , de mesma origem, formam entre si
um ângulo   60 , como mostra a figura a seguir. Se os
módulos desses vetores são a = 7 u, e b = 8 u, qual o
módulo do vetor soma?

a
  60


b
Operações com Vetores
Regra do paralelogramo

s

a
Resolução:

b
Usando a lei dos cossenos, temos:
s² = 7² + 8² + 2 ∙ 7 ∙ 8 cos θ  s² = 49 + 64 + 112∙ cos 60° 
s² = 169
s = 13 u
Operações com Vetores
Casos particulares:
A) Se o ângulo formado pelo vetores é α = 0°, eles
possuem a mesma direção e o mesmo sentido.

F1  30 N

F2  40 N
Sendo S o módulo do vetor resultante, temos:
  
R  F1  F2  R  30  40

R
R  70N
Operações com Vetores
Casos particulares:
B) Se α = 90°, podemos calcular o módulo do vetor
resultante R utilizando o Teorema de Pitágoras:

F1  30 N

R

F2  40 N
R 2  302  402  R 2  900  1600  R  2500
R  50N
Operações com Vetores
Casos particulares:
C) Se o ângulo formado pelos vetores é de 180°, eles
possuem a mesma direção e sentidos opostos.

F2  40 N

F1  30 N

R
O módulo do vetor R fica determinado por:
R  40  30  R  10N
Operações com Vetores
Subtração de Vetores
 
Considere dois vetores x e y. A diferença entre esses dois
vetores é dada por:
   

d  x  y  x  ( y )


Portanto para
 subtrair y de x, deve-se
oposto de y.
adicionar

x ao
Operações com Vetores
Subtração de Vetores

x


d
x

 y
 Fig. 2
d
 
y
Fig. 1

x

y
Fig. 3
Operações com Vetores
Subtração de Vetores
 Na figura 2, para obter o vetor diferença foi usado a
regra do paralelogramo;
 
 No caso da
 figura 3, foi unida as origens de x e y
e o vetor d foi obtido apontando
 se
  para o vetor que
primeiro na expressão d  x  y , no caso o vetor x.
lê
Operações com Vetores
 O módulo do vetor diferença pode ser calculado como:
d  x  y  2  x  y  cos 
2
2
Observação:
A adição e a subtração de vetores são definidas de forma
que podemos trabalhar com equações vetoriais da
mesma maneira como é feita com equações com números
reais, passando um termo de um lado para outro, trocando
de sinal.   
  
Exemplo: d  x  y é equivalente a x  y  d
Operações com Vetores
Exemplo:
No plano quadriculado
abaixo, estão representados

  dois
vetores x e y. O módulo do vetor diferença x  y vale:

y
Usando o teorema de Pitágoras, d  32  42  d  5u
a) 1 u
b) 2 u
c) 3 u
d) 4 u
e) 5 u
Operações com Vetores
Multiplicação de um número real por um vetor

Ao multiplicar um
 número real n por um vetor r1
um outro vetor p tal que:
obtemos


p  n  r1

Para n ≠ 0, p terá as seguintes características:
módulo: p  n  r1 (produto
 dos módulos)
direção: a mesma do vetor
 r1.
sentido: o mesmo de r1, se n > 0; oposto se n < 0.
Operações com vetores
Multiplicação de um número real por um vetor
Exemplo:
Decomposição de um vetor

Qualquer vetor a
, em um plano, pode ser representado
pela soma de dois outros vetores, chamados de
componentes retangulares como:
y

py
0
 

p  px  p y

p


px
x
Decomposição de um vetor

px

e py ,
Para encontrarmos o módulo das componentes
devemos usar as relações trigonométricas do triângulo
retângulo:

p


py

px
px
cos  
 px  p  cos 
p
sen 
py
p
 p y  p  sen
p 2  px2  p y2
Decomposição de um Vetor
Exemplos:
1. Um avião sobe com velocidade de 200 m/s e com 30°
de inclinação em relação à horizontal conforme a figura.
Determine as componentes da velocidade na horizontal
(eixo x) e na vertical (eixo y).
Dados: sen 30° = 0,5 e cos 30° ≈ 0,9.
Decomposição de um vetor
Resolução:
Nafigura abaixo são mostrados os vetores componentes
e vy :
vx = v ∙ cos 30° ⇒ 200 ∙ 0,9 ⇒ vx = 180 m/s
vy = v ∙ sen 30° ⇒ 200 ∙ 0,5 ⇒ vy = 100 m/s

vx
Decomposição de um vetor
2. Na figura a seguir, cada quadradinho tem lado que mede
4 N de força. Determine o vetor força em módulo, direção e
sentido, usando a decomposição de vetores e a regra do
polígono.
Decomposição de um vetor
3. Determine o módulo e a representação do vetor força
resultante das forças apresentadas na figura abaixo.
(Dados: sen 30° = 0,5; cos 30° ≈ 0,9; sen 20° ≈ 0,3; cos ≈
0,9; sen 45° = cos 45° ≈ 0,7).