professor adriano ribeiro

Adriano A. Ribeiro
TAUTOLOGIA
 Uma tautologia é toda proposição cujo valor lógico
é sempre verdade (V).
 Uma fórmula H é uma tautologia se o valor verdade de
H sempre for verdadeiro, quaisquer que sejam os
valores verdade de seus símbolos constituintes.
TAUTOLOGIA
 É imediato que as fórmulas:
PPePP
São tautologias
TAUTOLOGIA
 As tautologias são também
denominadas Proposições:
Tautológicas ou Logicamente
verdadeiras.
TAUTOLOGIA
 Exemplo 1:
 ‘A fórmula ~ (P ^ ~P) é uma tautologia.
(Princípio da não contradição)
P
~P
(P^~P)
~(P^~P)
V
F
F
V
F
V
F
V
 Portanto, dizer que uma proposição não pode ser
simultaneamente verdadeira e falsa é sempre verdadeiro.
TAUTOLOGIA
 Exemplo 2:
 ‘A fórmula P v ~P é uma tautologia.
(Princípio do terceiro excluído)
P
~P
P v ~P
V
F
V
F
V
V
 Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é
falsa é sempre verdadeiro.
TAUTOLOGIA
 Exemplo 3:
 A fórmula P ^ Q  (P  Q) é uma tautologia.
P
Q
P ^Q
(P Q)
P^Q(P Q )
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
Exercicio
 Verifique se a fórmula P ^ R  ~Q v R é uma
tautologia.
CONTRADIÇÃO
 Uma contradição é toda proposição composta cujo
valor lógico é sempre falso (F), quaisquer que sejam os
valores lógicos de seus símbolos constituintes.
 Como uma tautologia é sempre verdadeira (V), a
negação de uma tautologia é sempre falsa (F), ou seja,
uma contradição, e vice-versa.
CONTRADIÇÃO
 Exemplo 1:
 ‘A fórmula (P ^ ~P) é uma contradição.
P
~P
(P^~P)
V
F
F
F
V
F
 Portanto, dizer que uma proposição pode ser
simultaneamente verdadeira e falsa é sempre falso.
CONTINGÊNCIA
 Toda proposição composta cuja última coluna da sua
tabela-verdade contenha as letras V e F cada uma pelo
menos uma vez.
 Ou seja, contingência é toda proposição composta que
não é contradição nem tautologia.
CONTINGÊNCIA
 Exemplo:
 ‘A fórmula (P  ~P) é uma contingência.
P
~P
(P  ~P)
V
F
F
F
V
V
PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE
EQUIVALENTES
 Proposições Logicamente Equivalentes
são constituídas pelas mesmas proposições
simples e os resultados de suas tabelasverdade são iguais.
PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE
EQUIVALENTES
 A equivalência lógica entre duas proposições, p e q,
pode ser representada
 simbolicamente: p q,
 ou por p = q
PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE
EQUIVALENTES: Equivalências Básicas
p^p=p
 André é inocente e inocente = André é inocente
pvp=p
 Ana estudou ou estudou = Ana estudou
p^q=q^p
 o carro é bonito e caro = o carro é caro e bonito
PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE
EQUIVALENTES: Equivalências Básicas
 pvq=qvp
 a casa é grande ou azul = a casa é azul ou grande
 p↔q=q↔p
 Gosto se e somente se é belo = é belo se e somente se
gosto
 p ↔ q = (p  q) ^ (q  p)
 Gosto se e somente se é belo = Se gosto então é belo, e se
é belo então gosto
PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE
EQUIVALENTES: Equivalências Básicas
 RESUMO
RESUMO DAS PROPOSIÇÕES
p ^p = p
pvp=p
p ^q = q ^ p
pvq=qvp
p q=q p
p  q = (p q) ^ (q p)
PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE
EQUIVALENTES: Condicional
 Se p, então q = Se não q, então não p.
 Se estudo então aprendo = Se não aprendo então não
estudo
 Se p, então q = Não p ou q.
 Se jogo então ganho = Não jogo ou ganho
p q = ~q ~p
p q = ~p v q
PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE
EQUIVALENTES: Nenhum e Todo
 Nenhum A é B = Todo A é não B
 Nenhum TREZEANO é feliz = Todo TREZEANO é não
feliz (= Todo TREZEANO não é feliz)
 Todo A é B = Nenhum A é não B
 Todo CAMPINENSE é campeão = Nenhum
CAMPINENSE é não campeão (= Nenhum
CAMPINENSE não é campeão)
PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE
EQUIVALENTES: Outras equivalências úteis
 p e (p ou q) = p  p ^ (p v q) = p
 Ana é bela, e Ana é bela ou Sarah é alta =
Ana é bela
 p ou (p e q) = p  p v (p ^ q) = p
 Ana é bela, ou Ana é bela e Sarah é alta =
Ana é bela
Leis Associativas, Distributivas e
da Dupla Negação
 Abaixo, algumas leis que podem eventualmente nos
ser úteis:
 Leis Associativas


(p e q) e s
(p ou q) ou s
|
|
p e (q e s)
p ou (q ou s)
 Leis Distributivas


p e (q ou s)
p ou (q e s)
|
|
 Leis da Dupla Negação

~(~p) = p
(p e q) ou (p e s)
(p ou q) e (p ou s)
Leis Associativas, Distributivas e
da Dupla Negação
 Leis da Dupla Negação
 ~(~p) = p

Daí, concluiremos ainda que:




S não é não P = S é P
Todo S não é não P = Todo S é P
Algum S não é não P = Algum S é P
Nenhum S não é não P = Nenhum S é P
Exemplo (Lógica equivalente)
A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma,
então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à
afirmação:
a) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’.
b) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está
em Paris’.
c) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não
está em Paris’.
d) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está
em Paris’.
e) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.
Exemplo (Lógica equivalente)
 Vejamos que a frase em análise começa com “não é verdade
que...”.
 Logo, estamos lidando com uma negação! E o que se segue
a esta negação? Uma proposição condicional, ou seja, uma
sentença do tipo “Se p, então q”.
 Recordemos que, para negar uma condicional, manteremos
a primeira parte e negaremos a segunda. Teremos:
1) Mantendo a primeira parte: “Pedro está em Roma” e
2) Negando a segunda parte: “Paulo não está em Paris”.
O resultado ficou assim: “Pedro está em Roma e Paulo não
está em Paris”.
Exemplo (Lógica equivalente)
 A resposta encontrada seguindo a regra da negação
não se encontra nas possibilidades do exemplo.
 O que fazer????
Exemplo (Lógica equivalente)
 Daí, procuraremos entre as opções de resposta, alguma que
diga justamente que: “É verdade que ‘Pedro está em Roma e
Paulo não está em Paris”. Encontramos? Não encontramos!
 Só há duas opções de resposta que começam com “É
verdade que...”, que são as letras a e e. Estão, pois,
descartadas essas duas opções.
 Restam as letras b, c e d. Todas essas começam com
“Não é verdade que...”. Ou seja, começam com uma
negação! Daí, fica claro perceber que o que precisamos
fazer agora é encontrar uma proposição cuja negativa
resulte exatamente na frase Pedro está em Roma e Paulo
não está em Paris, a qual havíamos chegado.
Exemplo (Lógica equivalente)
 Ou seja, a proposição Pedro está em Roma e Paulo
não está em Paris será o resultado de uma negação!
 Ora, aprendemos há pouco que negando uma
disjunção (ou), chegaremos a uma conjunção (e), e
vice-versa. Vejamos:
~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q e
~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q
 Estamos com o primeiro caso, em que o resultado é
uma conjunção (e):
~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q
Exemplo (Lógica equivalente)
 Observem que Pedro está em Roma e Paulo não está em
Paris corresponde ao resultado ~p ∧ ~q, que é a segunda
parte da igualdade.
 Estamos à procura da primeira parte, que é ~(p ∨ q).
 Logo, teremos que:
 o til (~) corresponde a: “Não é verdade que...”
 o p corresponde a: “Pedro não está em Roma”;
 o ∨ corresponde a ou;
 o q corresponde a: “Paulo está em Paris”.
E chegamos a:
“Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo
está em Paris”.
Exemplo (Lógica equivalente)
 Esta é nossa resposta! Letra d.
 Vejamos o caminho que foi trilhado, até chegarmos à
resposta:
1º) Fizemos a negação de uma proposição condicional
(se...então). O resultado deste primeiro passo é sempre
uma conjunção (e).
2º) Achamos a proposição equivalente à conjunção
encontrada no primeiro passo.
RESUMO
RESUMO
Exercícios
2) A negação da sentença “Todas as mulheres são
elegantes” está na alternativa:
a) Nenhuma mulher é elegante.
b) Todas as mulheres são deselegantes.
c) Algumas mulheres são deselegantes.
d) Nenhuma mulher é deselegante.
Exercícios
3) João tem um peixe a menos que Inara. Ela tem um a
menos que Ana, que tem o dobro de João. Quantos
peixes têm cada um?
a) João 2 peixes, Inara 6 peixes, Ana 4 peixes.
b) João 2 peixes, Inara 3 peixes, Ana 4 peixes.
c) João 4 peixes, Inara 3 peixes, Ana 2 peixes.
d) João 1 peixes, Inara 3 peixes, Ana 4 peixes.
Exercício Proposto
 Crie no EXCEL as tabelas verdade para as proposições
 Conjuntivas
 Disjuntivas
 Negação
 Negação conjuntiva
 Negação disjuntiva
 Condicional
 Negação Condicional