Modelos Teóricos Contínuos de Probabilidade

Modelos Teóricos Contínuos
de Probabilidade
Aula 7
Variável aleatória contínua
unidimensional

Conceito:
– “Se uma variável aleatória x assume todos os
valores de um intervalo real, então x é
denominada variável aleatória contínua”.
– Processos definidos a partir da contagem
conduzem a modelos que envolvem variáveis
aleatórias, enquanto os processos definidos a
partir de medidas conduzem aos modelos que
envolvem variáveis aleatórias contínuas.
Função densidade de probabilidade

No caso de uma variável contínua não podemos
mais atribuir um único valor para x. Assim termos
que verificar qual é a função pra esse valor.
f ( x)  0

A região compreendida sob o gráfico da função e
o eixo x é igual a 1.
f(x)
A probabilidade é dada pela área da f(x)
x
Função densidade de probabilidade

Exemplos:
– Considere o intervalo real [2,10] e a função que associa a
cada ponto deste intervalo sua distância ao ponto 2.
f
0,8 
R
x
 f ( x)  1 / 8
 Calcule a probabilidade de:
p(3  x  5)
p ( 2  x  6)
p( x  3)
 Função de densidade de probabilidade:
f(x)
1/8
1
2
3
4
1
p(3  x  5)  2   0,25
8
5
6
7
8
1
p (2  x  6)  4   0,5
8
x
1
p( x  3)  3   0,375
8
Função densidade de probabilidade

Exemplo 2:
– Considere a variável aleatória x que assume valores no
intervalo [0,5] com a seguinte função densidade de
probabilidade:
f
0,5  R
x
 f ( x)  0,08 x
– Construa o gráfico da função f e calcule:
p(0  x  5)
p ( x  2)
p (1  x  4)
p(0  x  5) 5  0,4  1
2
 2  0,16 
p ( x  2)  1  
  0,84
 2 
f(x)
0,4
5
x
4  0,32 1 0,08
p (1  x  4)

 0,6
2
2
Função densidade de probabilidade

Porém outras funções, assim como o valor
esperado, a variância e desvio padrão, só
podem ser calculadas através do calculo
da integral, o torna o processo bastante
complicado.

Assim para os principais casos, foram
construídas tabelas que apresentam esses
valores de probabilidade prontos.
Modelos Teóricos Contínuos de
Probabilidade

Distribuição Normal de Probabilidade
– Características do modelo: Suponha que uma variável
2
x, com média µ e desvio-padrão σ (x) , apresenta-se
as seguintes características:
 Valores da variável aleatória x mais próximos da
média ocorrem com maior frequência.
 Valores da variável aleatória x simétricos em
relação à média ocorrem com mesma frequência.
 A região definida pelo gráfico da função e pelo eixo
x tem área unitária (=1)
Modelos Teóricos Contínuos de
Probabilidade

Descrição do modelo:
– .   x  
–.
1
f ( x) 
e
2 
f(x)
1  x   


2  
2
Distribuição Normal – (Gauss)
x
Cálculo da Probabilidade

A probabilidade de p[a<x<b] é a área da região sob a curva definida
pelo intervalo ]a,b[.
f(x)

a
b
x
Para superar essa dificuldade, uma particular distribuição normal z
com média 0 e variância = 1, foi construída.
f(z)
0
z
x
Cálculo da Probabilidade

Exemplo:
– Calcule a probabilidade de a variável normal
padrão z assumir valores entre 0 e 1.
f(z)
1
x
– Olhando na tabela z=1,00 é 0,3413
Cálculo da Probabilidade

Exercícios
– Calcule para a distribuição z normal padrão:
 P(z<2,00)
 P(-2,00<z<3,00)
 P(2<z<2,5)
 P(-3,27<z<-1,74)
Cálculo da Probabilidade

Qualquer distribuição normal pode ser transformada em
distribuição z (valor esperado=0 e variância=1) utilizando
a seguinte relação:
z

x

Por exemplo:
– Uma variável aleatória x normal apresenta média 20 e desviopadrão3. Calcule p(20<x<23).
 Usando a mudança de variável:
z
x

20  20

0
3
z
x

23  20

1
3
 Portanto, esse caso equivale a calcular p(0<z<1) = 0,3413.
Cálculo da Probabilidade

Exercício:
– Se a variável aleatória x admite distribuição
normal com média 30 e desvio padrão 3,
calcule:
 P(30<x<36)
 P(x>38)
 P(32<x<35)
Cálculo da Probabilidade

Exercício:
– O levantamento do custo unitário de
produção de um item da empresa revelou que
sua distribuição é normal com média 50 e
desvio-padrão 4.
– Se o preço de venda unitário é de 60, qual a
probabilidade de uma unidade desse item
escolhida ao acaso ocasionar prejuízo a
empresa?
Resposta: 0,62%
Cálculo da Probabilidade

Exercício:
– Os balancetes semanais realizados em uma
empresa mostram que o lucro realizado
distribui-se normalmente com média
R$48.000,00 e desvio padrão de R$8.000,00.
Qual a probabilidade de que:
 Na próxima semana o lucro seja maior que
R$50.000?
 Na próxima semana o lucro esteja entre
R$40.000,00 e R$45.000,00?
 Na próxima semana haja prejuízo?
Aproximação da Binomial pela
Normal

Se y admite distribuição binomial de probabilidade, mas o
número n de repetições do experimento E é grande (n>30),
com a probabilidade p de sucesso próximo a 0,5, podemos ,
com uma pequena margem de erro, calcular as probabilidades
da distribuição binomial y através de um distribuição normal x,
com as seguintes condições:
– 1.
– 2.
– 3.
  n p
 2 x   n. p.q
A probabilidade binomial p[k=ki] corresponderá a:
p[ki-0,5<x<ki+0,5]
Aproximação da Binomial pela
Normal

Exemplo:
– Um exame do tipo teste é constituído de 50 questões, cada
uma delas com quatro respostas alternativas, das quais
apenas uma é correta. Calcule a probabilidade de que um
aluno, respondendo ao acaso as questões, acerte
exatamente 15 questões.
– Solução:
 Sucesso: acertar questão, Fracasso: não acertar.
(A - p(A)=1/4; N – p(N)=3/4).
 N= 50 e k =15.
 50 
15
35
p(k  15)   0,25 0,75
15 
 0,0888
Aproximação da Binomial pela
Normal
Aproximando pela normal:
 Com média:
  n  p 50  0,25  12,5
 E desvio padrão: 
x  
n. p.q  50  0,25  0,75  3,0618
 Essa probabilidade pode ser obtida pela distribuição normal:
pk  ki   pki  0,5  x  ki  0,5
pk  15  p14,5  x  15,5
 Transformando para a normal z:
pk  15  p0,65  z  0,98
 0,3365  0,2422  0,0943
Aproximação da Binomial pela
Normal

Exercício:
– Um candidato, pela última pesquisa, detém
20% dos votos de uma região. Calcule a
probabilidade de que em um conjunto de 200
eleitores selecionados ao acaso nesta região
ele obtenha:
 Exatamente 45 votos.
Resp.: 4,59%