Trigonometria 2

TRIGONOMETRIA
TRIÂNGULO RETÂNGULO
1
TRIGONOMETRIA
Triângulo Retângulo
Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa
que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra.
Sabendo-se que a altura das paredes é de 4 3 m
e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, em graus,
que a rampa formará com o solo.
sen  =
cos  =
tg  =
b
a
c
a
b
c
4 3
12
3
tg α 
3
tg α 
4 3

 = 30o
12m
2
( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x
B
y
AD = x
tg
C
D
A
30o
3
=
3
DC= x - 38
=
BD = y
x = 3(x – 38)
x
x = 3x – 114
114 = 2x
3 (x – 38) 3
=
x
3
x – 38
x
y
y
x
60o
30o
60°
30°
tg
60o
=
3 =
y
x – 38
y
x – 38
57 = x
(x – 38) 3 = y
3
TRIGONOMETRIA
SENO COSSENO TANGENTE E DEMAIS
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
4
SENO E COSSENO E TANGENTE
SENO
TANGENTE
COSSENO
+1
+
_
+
_
_
–1
_
+
+1
+
_ +
+ _
–1
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen2x
+
cos2 x
=1
1
cossec x =
sen x
sen x
tg x =
cos x
sec x =
cotg x =
1
tg x

cos x
sen x
1
cos x
5
Sendo sen  = 
+
e 3    2 , calcule:
2
d) sec x
b) tg x
a) cos x
sen2x
4
5
cos2 x
=1
2
 4
2
    cos x  1
 5
16
 cos x  1
25
16
cos x  1 
25
9
cos x 
25
sen x
tg x =
cos x
tg x 
4
3
2
2
2
3
cos x 
5
5
5
4
tg x  
3
sec x 
1
5

cos x 3
e) cossec x
1
5
cossec x 

cos x
4
SENO
COSSENO
TANGENTE
c) cotg x
cotg x 
1
3

tg x
4
+ +
_ _
_ +
_ +
_ +
+ _
6
Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
01. F
A medida em radianos de um arco de

180o
225o
x
225o 
225º
=
11π
é
6
rad
x.180o
x
5
4
02. V A equação sen x = 2m – 5 admite solução para 2  m  3
– 1  2m – 5  1
– 1 + 5  2m  1 + 5
4  2m  6
2 m3
7
04. F Se sen x > 0, então cossec x < 0
sen 30o = 1/2
cossec 30o = 2
sen 210o = - 1/2
cossec 210o = - 2
08. V Se tg
tg160  tg340
tg200
o
tg160  tg340
= a, o valor de
é -2
tg200
o
20º
o
tg 160o = – tg 20o = – a
tg 200o = tg 20o = a
tg 340o = – tg 20o = – a
o
o
- a ( a)
a
 2a
a
–2
o
160o
180o
200o
F
P F
360o
340o
_ +
+ _
8
16. V Para todo x  1o quadrante, a expressão
(sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2x é igual a cos2x
1 – sen2 x
(sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2x
 1
sen x   1
sen x 



.
  sen x
 cos x cos x   cos x cos x 
cos2 x
2
 1  sen x   1  sen x 

.
  sen x
 cos x   cos x 
2
 1  sen x 

  sen x
cos
x


2
2
2
2
 1  sen x 

  sen x
 cos x 
sen2x + cos2 x = 1
 cos x 

  sen x
cos
x


cos2x = 1 – sen2 x
2
2
2
2
sen2x = 1 – cos2 x
2
2
9
32. V
A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para 0  x  2 é
x=

ou x =
6
5
6
2 sen2 x + 3 sen x – 2 = 0
 = b2 – 4ac
 = 32 – 4.2.(-2)
 = 25
b 
x
2a
35
sen x 
4
1
sen x  ou sen x  2
2
1
sen x 
2
30o
150o
+
+
 5 
S  , 
6 6 
10
( UFSC ) Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o
valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é:
cossec x =
5
4
sen2x + cos2 x = 1
4
   cos x  1
5
16
 cos x  1
25
16
cos x  1 
25
9
cos x 
25
3
cos x 
5
2
4
5
sen x
cos x
2
2
sen x =
tg x =
2
2
sec x 
5
3
4
tg x  5
3
5
4
tg x 
3
9.(sec2 x + tg2 x)
 5   4  
9     
 3   3  
 25 16 
9  
9 9
 41
9 
9
2
2
41
11
TRIGONOMETRIA
OPERAÇÃO COM ARCOS
12
Adição e Subtração de Arcos
sen (a  b) = sen a . cos b  sen b . cos a
cos (a  b) = cos a . cos b

sen a . sen b
sen (a + b) =
sen a . cos b + sen b. cos a
sen (30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30º
sen 75º
=
sen 75º
=
1
.
2
2 6
4
2
2

2
.
2
3
2
cos (a – b) =
cos a . cos b + sen a. sen b
cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º
2
3
2
1
cos 15º
=
.

.
2
2
2
2
cos 15º
=
2 6
4
13
sen (a  b) = sen a . cos b  sen b . cos a
cos (a  b) = cos a . cos b

sen a . sen b
O valor de cos 10o cos 35o – sen 10o. sen 35º, é:
cos (a + b) =
cos a . cos b - sen a. sen b
cos (10º + 35o) =
cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º
cos 45o
=
cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º
2
2
=
cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º
14
sen (a  b) = sen a . cos b  sen b . cos a
cos (a  b) = cos a . cos b

sen a . sen b
sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos x
cos (x + x) = cos x . cos x – sen x . sen x
Seno e Cosseno do arco duplo
sen (2x) = 2sen x . cos x
cos (2x) = cos2 x - sen2 x
15
Sendo cos x =
Cálculo do sen x
sen2x + cos2 x = 1
2
4
sen x     1
5
2
16
sen 2 x 
1
25
sen 2 x  1 
sen 2 x 
16
25
9
25
sen x  
3
5
4
5
e 3  x  2 , calcule sen 2x e cos 2x:
2
sen (2x) = 2sen x . cos x
 3 4
. 
 5 5
sen (2x) = 2. 
sen (2x) = 
24
25
cos (2x) = cos2 x - sen2 x
16 9
cos (2x) =

25 25
7
cos (2x) =
25
16
TRIGONOMETRIA
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
GRÁFICOS
17
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO SENO y = sen x
x 0o 90o 180o 270o 360o
x 0

2
sen x 0 + 1

0
3
2
2
-1
0
DOMÍNIO: REAIS
IMAGEM: [-1, 1]
CRESCENTE:
1º. e 4º. q
DECRESCENTE: 2º. e 3º. q
PERÍODO: 2
18
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO COSSENO y = cos x
x 0o 90o 180o 270o 360o
x 0

2
cos x +1 0

-1
3
2
0
2
DOMÍNIO: REAIS
IMAGEM: [-1, 1]
CRESCENTE:
+1
3º. e 4º. q
DECRESCENTE: 1º. e 2º. q
PERÍODO: 2
19
FUNÇÕES DA FORMA:
f(x) = a + b sen m x
f(x) = a + b cos m x
Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto
imagem de:
a) y = 2 + sen x
x 0o 90o 180o 270o 360o
x 0

2
sen x 0 + 1
2 + sen x 2 3

3
2
2
0
-1
0
2
1
2
IMAGEM: [1, 3]
PERÍODO: 2
20
FUNÇÕES DA FORMA:
f(x) = a + b sen m x
f(x) = a + b cos m x
Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto
imagem de:
b) y = 3sen x
x 0o 90o 180o 270o 360o
x 0

2
sen x 0 + 1
3sen x 0
3

3
2
2
0
-1
0
0
-3
0
IMAGEM: [-3, 3]
PERÍODO: 2
21
FUNÇÕES DA FORMA:
CONCLUSÕES:
f(x) = a + b sen m x
f(x) = a + b cos m x
a  desloca o gráfico
b  estica o gráfico
Determinar a imagem da
função f(x) = 2 + 3sen x
Determinar a imagem da
função f(x) = 5 + 2cos x
f(x) = 2 + 3 sen x
f(x) = 2 + 3 (-1) = - 1
f(x) = 5 + 2 cos x
f(x) = 5 + 2 (-1) = 3
f(x) = 2 + 3 (1) = 5
f(x) = 5 + 2 (1) = 7
IMAGEM: [-1, 5]
IMAGEM: [3, 7]
IMAGEM DA FUNÇÃO SENO E COSSENO: [a – b; a + b]
22
FUNÇÕES DA FORMA:
f(x) = a + b sen m x
f(x) = a + b cos m x
PERÍODO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO
2π
Período T 
m
Determinar o período da função
f(x) = sen 2x
Período T 
2π

2
Determinar o período da função
f(x) = 3sen x/2
2π
Período T 
 4
1
2
23
Determine o período da função f(x) = cos4x – sen4x é:
Um pouquinho de matemática
básica
(a + b)(a – b) = a2 – b2
(x + 3)(x – 3) = x2 – 9
fórmulas do arco duplo
sen 2x = 2sen x.cos x
cos 2x = cos2 x – sen2 x
(x + 5)(x – 5) = x2 – 25
(cos2x + sen2x )(cos2x – sen2x) = cos4x – sen4x
(1)(cos2x) = cos4x – sen4x
cos2x = cos4x – sen4x
f(x) = cos4x – sen4x
f(x) = cos 2x
Período T 
2π
m
Período T 
2π

2
24
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DOMÍNIO: 
{x  |x 
FUNÇÃO TANGENTE y = tg x
x 0o 90o 180o 270o 360o
x 0
tg x
0

2
não
existe

0
3
2
não
existe
2
0
2
+ k}
IMAGEM: REAIS
CRESCENTE: SEMPRE
PERÍODO: 
O domínio da função f(x) = tg 2x é:
2x 


2
x 2

 k
 k
2
k
x 
4
2
25