Limites Tendendo ao Infinito

Ensino Superior
Cálculo 1
1.4- Limites Tendendo ao Infinito
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 1 - Limites

Infinito e Limite (Sutil e profundo)
O
conceito de limite está intimamente atrelado ao
conceito de infinito. Trata-se de um dos conceitos mais
fecundos da matemática e o principal para o
desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral.
 Ele
primeiro surgiu sob a forma de processos
convergentes ilimitados.
O
primeiro testemunho literário encontra-se nos
paradoxos de Zenão de Eléa, matemático e discípulo de
Parmênides.
Cálculo 1 - Limites

O Paradoxo da Dicotomia
 O argumento desse paradoxo consiste basicamente na
idéia de que aquilo que se move tem que chegar na
metade de seu percurso antes de chegar ao fim.
O
raciocínio é o seguinte: antes de percorrer todo o
percurso, o objeto que se move deve percorrer metade
do percurso. Antes de percorrer a metade que falta,
deve percorrer a metade deste, ou seja, a metade da
metade (um quarto do percurso inicial), e assim
sucessivamente, o objeto deverá percorrer um conjunto
infinito de intervalos.
1
2
M1
1
4
M2
1
M3 ...
8
Cálculo 1 - Limites
 O Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga
 O paradoxo de Aquiles e a Tartaruga possui o mesmo
argumento que o paradoxo da dicotomia, porém em vez
de um objeto, temos dois objetos em movimento com
velocidades diferentes.
 Ele é assim enunciado: Numa corrida entre Aquiles e a
Tartaruga em que a Tartaruga sai com uma certa
vantagem, mesmo sendo mais lenta que Aquiles, este
jamais a alcança; pois aquele que persegue tem primeiro
de chegar ao ponto de onde a fuga do mais lento
começou, e o mais lento tem necessariamente de já
estar a alguma distância à frente.
Cálculo 1 - Limites
 O Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga
 Suponha que Aquiles é 10 vezes mais rápido que a Tartaruga
e que esta parte com uma vantagem de 1000 m. Quando
Aquiles percorre os 1000 m, a Tartaruga já está 100 m a sua
frente. Aquiles percorre os 100 m que o separa da Tartaruga,
mas, nesse tempo, a Tartaruga já percorreu 10 m, mantendo a
vantagem. Aquiles percorre os 10 m, mas, nesse tempo, a
Tartaruga está 1 m a sua frente e assim sucessivamente. Isto
quer dizer que Aquiles nunca alcança a Tartaruga?
100  10  1 
1
1

 ...
10 100
Cálculo 1 - Limites

Infinito e Limite

Considere que o intervalo AB do primeiro paradoxo é igual a
1. O ponto M1 divide o intervalo ao meio, portanto a primeira
metade equivale a ½. O segundo ponto, M2, divide a metade
restante ao meio, portanto equivale a ¼ do comprimento
original. Logo, o intervalo pode ser expresso como uma
soma de intervalos que cresce ilimitadamente por partes que
sempre são menores que a imediatamente anterior:
1 1 1 1
    ...  1
2 4 8 16

O paradoxo está no fato de a série não crescer até ao
infinito, pois a sua soma sempre permanece menor que 1,
por mais intervalos que por ventura viermos a adicionar.
Cálculo 1 - Limites
Zenão de Eléa
(*501 - † 425 a. C.)
Bertrand Russell
*18/05/1872 – †02/02/1970
Cálculo 1 - Limites

Conceito intuitivo de Limite
 Vamos supor que temos que preencher um quadrado de
lado L, hachurando sempre a metade da área restante:
Cálculo 1 - Limites

Conceito intuitivo de Limite
 A próxima
área a ser hachurada seria a metade daquela
que restou, portanto:
Cálculo 1 - Limites

Conceito intuitivo de Limite
 A próxima
área a ser hachurada seria a metade daquela
que restou, portanto:
Cálculo 1 - Limites

Conceito intuitivo de Limite
 A próxima
área a ser hachurada seria a metade daquela
que restou, portanto:
Cálculo 1 - Limites

A solução dos paradoxos

A solução dos paradoxos têm a ver com o conceito de limite
e convergência de séries numéricas.

Para o pensamento ingênuo da Antiguidade, o entendimento
puramente quantitativo segundo o qual quando alguma
coisa sempre aumenta acabará por ultrapassar todos os
limites é que conduz ao erro.

O erro está em supor, intuitivamente, que a soma de infinitos
intervalos deve ser necessariamente infinita.

Tanto no caso do paradoxo da dicotomia quanto no de
Aquiles a soma da série tende a convergir para um valor
finito. É nesse ponto que Aquiles encontra a Tartaruga!
Cálculo 1 - Limites

Limite de f(x) quando x tende a “mais infinito”
1
Considere, por exemplo, a função f ( x ) 
x

Perceba que, quando x tende a +, isto é, quando x cresce
indefinidamente, os valores a função f(x) tendem a se
aproximar cada vez mais de 0.
1
lim  0
x   x
Cálculo 1 - Limites

Os símbolos +  e -  , não representam números reais, não
podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de
cálculo algébrico.

Dado b  IR, teremos as seguintes igualdades simbólicas:
b + (+  ) = + 
b+(-)=-
(+  ) + (+  ) = + 
(-  ) + (-  ) = - 
(+  ) + (-  ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo  - ,
é dito um símbolo de indeterminação.
(+  ) . (+  ) = + 
(+  ) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente.
É uma indeterminação.
 /  = nada se pode afirmar inicialmente.
É uma indeterminação.
Cálculo 1 - Limites
No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a
expressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor
do limite, teremos que levantar a indeterminação, usando as técnicas
algébricas. Os principais símbolos de indeterminação, são:

-
.0
/
0
00
1
1-
Cálculo 1 - Limites

Exemplo:
Calcule o limite, se existir, de:
3x  1
lim
x   4 x  1
Não basta apenas substituir “x” por “”, pois ao fazer isto,
teria uma indeterminação do tipo


Cálculo 1 - Limites
Portanto, o método aqui consiste em dividir o numerador e o
denominador por x:
1
1
1
lim
3

lim
 
3
lim (3  ) x
x


3x  1
x  
x  30 3

x
x
lim
 lim




x   4 x  1
x  
1
1
1 40 4

4
lim (4  ) lim 4  lim  
x
 
x  
x   x
x
x
 

Para calcular o limite de f(x) quando x tende a menos infinito,
o raciocínio é análogo.
Longe, ao norte, numa terra chamada INFINITO, existe uma rocha.
Possui 100 Km de altura, 100 Km de largura e 100 Km de
comprimento. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico.
Assim, quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do
pássaro, um dia na eternidade terá se passado. (Hendrick Van Loon)
Noção Intuitiva
Sucessões
numéricas
1, 2, 3, 4, 5, ....
1 2 3 4 5
, , , , ,.....
2 3 4 5 6
1, 0, -1, -2, -3, ...
3 5 6
1, ,3, ,5, ,7,...
2 4 7
Dizemos que:
Os termos tornam-se
cada vez maiores, sem
atingir um limite
x+
Os números
aproximam-se cada vez
mais de 1, sem nunca
atingir esse valor
x1
Os termos tornam-se
cada vez menor, sem
atingir um limite
x-
Os termos oscilam sem
tender a um limite
Limites Intuitivos

<
<


(c )
(b ) (d )
(a )
(b )

(c )


(b )

=


(a)
(d ) 

(d )
(c )
>
(a )
(a ) lim f ( x)  0
(a ) lim f ( x)  
(a) lim f ( x)  0
(b) lim f ( x)  1
(b) lim f ( x)  
(b) lim f ( x)  entre[1,1]
(c) lim f ( x)  
(c) lim f ( x)  0
(c) lim f ( x)  
(d ) lim f ( x)  0
(d ) lim f ( x)  entre[1,1]
x 0
x 0
x  
(d ) lim f ( x)  
x  
x 0
x 0
x  
x  
x 0
x 0
x  
x  
Limites Intuitivos

(b )
(a) lim f ( x)  0
x 1
(b) lim f ( x)  
x 

(a )
Limites Infinitos
y
lim
x1
2
2
(x  1)
  e lim
 lim
x1
x1
2
2
(x  1)
2
(x  1)2
2
2
(x  1)
 
 
Limites Infinitos
y = tg x
lim  tg x   e lim  tg x  
x

2
x

2
 não existe lim tg x
x

2
Limites no Infinito
lim f(x)  1 e lim f(x)  1
x 
x 
Limites Infinitos
Limites nos extremos do domínio da
função exponencial
Limites Infinitos
Limites nos extremos do domínio da
função logarítmica
Limite Trigonométrico Fundamental
senx
lim
1
x
x0
Limite Trigonométrico Fundamental
Demonstração
Consideremos um círculo de raio unitário e 0 < x < /2.
Verificamos que:
Área OPH  Área do setor OAP  Área do OAT
Limite Trigonométrico Fundamental
Como PH = sen x; OA = 1 e AT = tg x, temos que:
Área OPH = cos x.sen x ; Área setor OAP = x.1
2
2
e Área OAT = 1.tg x .
2
Logo, cos x.sen x < x < 1.tg x .
2
2
2
Dividindo todos os membros por (sen x)/2 (>0), vem:
Limite Trigonométrico Fundamental
cos x < x < _1_ .
sen x cos x
Como todos os termos são positivos, podemos
escrever 1/cosx >(sen x)/x > cos x.
Visto que 1/cosx e cos x tendem a 1 quando x
tende a 0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
(sen x)/x também tende a 1 quando x  0.
De maneira análoga, provamos também para x < 0.
Limite Exponencial Fundamental
x
1


lim 1   e
x
x 
Limite – Cálculo 1
Continuidade de uma função em um número
Uma função f é contínua em um número x0 se
lim f ( x)  f ( x0 )
x x0
a)
b)
c)
Nenhuma destas funções é contínua em x = xo.
Limite – Cálculo 1
Continuidade de uma função em um intervalo aberto
Uma função f é contínua em um intervalo aberto
se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
a, b
Limite – Cálculo 1
Teorema do valor intermediário
Se f é uma função contínua num intervalo
fechado a, b e N é um número qualquer entre f(a) e
f(b), então existe um número x0  a, b para o qual
f(xo) = N.